广东省揭阳市普宁市华美重点学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷（含答案）

华美重点学校2023-2024学年度第一学期第二次月考高二数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．复数，则等于（

）A． B． C． D．2．1．已知，则（

）A．2 B．3 C．0 D．3．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，是过去官员或私人签署文件时代表身份的信物。图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则该几何体的体积是（

）A．32 B． C． D．644．直线l：与x轴交于点A，把l绕点A顺时针旋转得直线m的斜率为（

）A．B．C． D．5．下列命题错误的是（

）A．已知非零向量，，，则“”是“”的必要不充分条件B．已知，是实数，则“”的一个必要不充分条件是“”C．命题“，”的否定为“，”D．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是6．定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（

）A．6 B． C．9 D．37．在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条8．劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（

）A． B． C． D．二、多选题（每道题至少两个正确答案，5x4=20分，全对5分，不全3分，错误0分。）9．已知集合，，若，则实数的值可以为（

）A．2 B．1 C．0 D．-110．若为圆：上任意一点，点，则的取值可以为（

）A．0.6 B．2 C．3.41 D．3.4211．已知曲线C：（其中，为参数），下列说法正确的是（

）A．若，则曲线C表示圆B．若，则曲线C表示椭圆C．若，则曲线C表示双曲线D．若，，则曲线C表示两条直线12．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于、两点，直线、分别交于、，则（

）A．的准线方程为 B．C．的最小值为 D．的最小值为第II卷（非选择题）三、填空题（5x4=20分）13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则.14．已知，，则的值为.15．已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为．16．激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为.给出以下结论：①函数是增函数；②函数是奇函数；③函数的值域为；④对于任意实数，函数至少有一个零点.其中所有正确结论的序号是.解答题（6道共70分，要写出必要的步骤）17．（10分）①为抛物线上的点，且；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．已知抛物线的焦点为，______，若直线与抛物线相交于A、两点，求弦长．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，点为棱上的点，且.(1)证明：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知圆与圆．(1)求两圆公共弦所在的直线方程；(2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．20．（12分）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如下：

(1)本次比赛参赛选手共有人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为；(2)赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖，某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由；(3)成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．21．（12分）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．(1)求椭圆和其“准圆”的方程；(2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围．22．（12分）已知双曲线E：的中心为原点O，左、右焦点分别为，，离心率为.(1)求实数a的值.(2)若点P坐标为，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足.证明：点H恒在一条定直线上.华美重点学校2023-2024学年度第一学期第二次月考数学答案一、选择题（每题5分，共60分）题号123456789101112答案CACABDDBABCABCACDABD二、填空题（每题5分，共20分）解答题。17.若选①：在抛物线上，且，，则p＝1；若选②：∵焦点到准线的距离是1，∴p＝1；故抛物线的方程为．联立，可得，设，，则，，．18.（1）由为矩形可知：，又因为，，，平面，所以平面，又，所以面，又面，故.（2）由（1）可知，，，所以，在中，，所以；又，，，面，所以面；故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）.

则，，，，，又在中，，则，，，.设面的法向量，则即故，设直线与面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为：19.（1）因为圆与圆，所以将代入，得两圆公共弦所在直线的方程为（2）由，解得，则交点为，，圆心在直线上，所以设圆心为，则，即，解得，故圆心，半径，所求圆的方程为20.（1）从频数直方图中可以看出“59.5～69.5”的人数为，从扇形统计图可以看出“59.5～69.5”所占比例为，故本次比赛参赛选手共有人，从频数直方图中可以看出“89.5～99.5”的人数为，故“89.5～99.5”所占比例为，所以扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为；（2）不能够获奖，理由如下：他的成绩位于“69.5～79.5”之间，由题可知“59.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为，因为成绩由高到低前的参赛选手获奖，他位于后，故他不能够获奖.（3）成绩前四名中2名男生设为，2名女生设为，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，共有6种情况，如下：，又恰好选中1男1女的情况为，共4种情况，故概率为.21.（1）由题意知，且，可得，故椭圆的方程为，其“准圆”方程为．（2）由题意，设，则有，不妨设，，所以，，所以，又，则，所以的取值范围是．22.（1）依题意得，，，因