广东省东华高级中学2024届高一数学第一学期期末监测试题含解析

广东省东华高级中学2024届高一数学第一学期期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．化简：A.1 B.C. D.22．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是A. B.C. D.3．已知，则的值为（）A.-4 B.C. D.44．已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为（）A. B.C. D.5．若是的重心，且（，为实数），则（）A. B.1C. D.6．函数的零点所在的大致区间是（）A. B.C. D.7．当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能为A. B.C. D.8．函数的零点个数为（）A.个 B.个C.个 D.个9．甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C.甲的环数的众数比乙的大D.甲打靶的成绩比乙的更稳定10．已知函数，，其中，若，，使得成立，则（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．设函数.则函数的值域为___________；若方程在区间上的四个根分别为，，，，则___________.12．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对，，使得，则实数m的取值范围为______13．函数的定义域为D，给出下列两个条件：①对于任意，当时，总有；②在定义域内不是单调函数.请写出一个同时满足条件①②的函数，则______________.14．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.15．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则______三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知圆的圆心坐标为，直线被圆截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）求经过点且与圆C相切的直线方程.17．如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，CD=23，∠DAB=∠CDB=θ，0<θ<π2，∠ADB=π（1）求四边形ABCD面积的最大值；（2）求DA+DB+DE的取值范围18．已知函数（1）求函数最小正周期与单调增区间；（2）求函数在上的最大值与最小值19．已知函数，.（1）利用定义证明函数单调递增；（2）求函数的最大值和最小值.20．已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）若，求的最值以及取得最值时相应的的值.21．已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、C【解析】根据二倍角公式以及两角差的余弦公式进行化简即可.【详解】原式.故选C.【点睛】这个题目考查了二倍角公式的应用，涉及两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数值的应用属于基础题.2、A【解析】∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.3、A【解析】由题，解得.故选A.4、C【解析】先分析出的奇偶性，再得出的单调性，由单调性结合奇偶性解不等式得到，再利用均值不等式可得答案.【详解】的定义域满足，由，所以在上恒成立.所以的定义域为则所以，即为奇函数.设，由上可知为奇函数.当时，，均为增函数，则在上为增函数.所以在上为增函数.又为奇函数，则在上为增函数，且所以在上为增函数.所以在上为增函数.由，即所以对任意实数x恒成立即，由当且仅当，即时得到等号.所以故选：C5、A【解析】若与边的交点为,再由三角形中线的向量表示即可.【详解】若与边交点为，则为边上的中线，所以，又因为，所以故选:A【点睛】此题为基础题，考查向量的线性运算.6、C【解析】由题意，函数在上连续且单调递增，计算，，根据零点存在性定理判断即可【详解】解：函数在上连续且单调递增，且，，所以所以的零点所在的大致区间是故选：7、C【解析】当时，单调递增，单调递减故选8、C【解析】根据给定条件直接解方程即可判断作答.详解】由得：，即，解得，即，所以函数的零点个数为2.故选：C9、C【解析】甲：8,6,8,6,9,8，平均数为7.5，中位数为8，众数为8；乙：4,6,8,7,10,10，平均数为7.5，中位数7.5，众数为10；所以可知错误的是C．由折线图可看出乙的波动比甲大，所以甲更稳定.故选C10、B【解析】首先已知等式变形为，构造两个函数，，问题可转化为这两个函数的值域之间的包含关系【详解】∵，，∴，又，∴，∴由得，，设，，则，，，∴的值域是值域的子集∵，时，，显然，（否则0属于的值域，但）∴，∴(*)由上讨论知同号，时，(*)式可化为，∴，，当时，(*)式可化为，∴，无解综上：故选：B【点睛】本题考查函数恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先是分离两个变量，然后构造新函数，问题转化为两个函数值域之间的包含关系．其次通过已知关系确定函数值域的形式（或者参数的一个范围），在这个范围解不等式才能非常简单地求解二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、①.②.【解析】根据二倍角公式，化简可得，分别讨论位于第一、二、三、四象限，结合辅助角公式，可得的解析式，根据的范围，即可得值域；作出图象与，结合图象的对称性，可得答案.【详解】由题意得当时，即时，，又，所以；当时，即时，，又，所以；当时，即时，，又，所以；当时，即时，，又，所以；综上：函数的值域为.因为，所以，所以，作出图象与图象，如下如所示由图象可得，所以故答案为：；12、【解析】先求出时，，，然后解不等式，即可求解，得到答案【详解】由题意，可知时，为增函数，所以，又是上的奇函数，所以时，，又由在上的最大值为，所以，，使得，所以.故答案为【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与应用，以及函数的最值的应用，其中解答中转化为是解答的关键，着重考查了转化思想，推理与运算能力，属于基础题.13、【解析】根据题意写出一个同时满足①②的函数即可.【详解】解：易知：，上单调递减，上单调递减，故对于任意，当时，总有；且在其定义域上不单调.故答案为：.14、9【解析】根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式求解.【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2，所以，所以扇形的面积为，故答案为：9.15、【解析】先由三角函数定义得，再由正切的两角差公式计算即可.【详解】由三角函数的定义有，而.故答案为：三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）；（2）和.【解析】(1)根据圆心坐标设圆的标准方程，结合点到直线的距离公式求出圆的半径即可.(2)当切线斜率不存在时满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程，结合点到直线的距离公式和圆心到直线的距离为半径，计算求出直线斜率即可.【详解】（1）设圆的标准方程为：圆心到直线的距离：，则圆的标准方程：（2）①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.②当切线斜率存在时，设切线：，即则圆心到直线的距离：.解得：，即则切线方程为：综上，切线方程为：和17、（1）2+（2）2,1+2【解析】（1）依题意可得DA=2cosθ，DB=2sinθ，再由∠CDB=θ，得到BE=2sin2θ（2）依题意可得DA+DB+DE=2cosθ+2sinθ+2sin【小问1详解】解：因为∠ADB=90°，AB=2，∠DAB=θ，所以DA=2cosθ，又因为∠CDB=θ，所以BE=BDsinθ=2则S==2==2因为0<θ<π2，-π当2θ-π3=π2时，即θ=5π【小问2详解】解：DA+DB+DE=2设t=cosθ+sin所以2cosθsin因为t=2sinθ+π而DA+DB+DE=(t+1)2-2可得DA+DB+DE的取值范围2,1+218、（1），单调增区间（2），【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，可得函数的最小正周期与的单调区间；（2）利用整体法求函数的最值.【小问1详解】解：，函数的最小正周期，令，解得，所以单调递增区间为【小问2详解】，，，即，所以，.19、（1）证明见详解；（2）最大值；最小值.【解析】（1）任取、且，求，因式分解，然后判断的符号，进而可得出函数的单调性；（2）利用（1）中的结论可求得函数的最大值和最小值.【详解】（1）任取、且，因为，所以，，，，，，即，因此，函数在区间上为增函数；（2）由（1）知，当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值.【点睛】关键点睛：求函数的最值利用函数的单调性是解决本题的关键.20、（1）（2）时，，时，【解析】（1）根据图像先确定，再根据周期确定，代入特殊点确定，即可得到函数解析式；（2）将作为一个整体，求出其取值范围，进而求得函数最值，以及相应的x的值.【小问1详解】由图知，，，即，得，所以，又，所以，,即，由得，所以.【小问2详解】由得，所以当，即时，，当，即时，.21、（1）；（2）