2023年高考数学一轮复习（学生版）：第十二单元直线和圆的方程

§12.1直线的方程

（对应答案分册第42~43页）

学基础知识……夯实基础巩固提升

《知识清单》

1.直线的倾斜角

（1）定义:当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，与直线/

之间所成的角叫作直线/的倾斜角.

（2）规定:当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.

（3）范围:直线/的倾斜角的取值范围是.

|!墨飙酒酒

直线都有倾斜角,但不一定都有

斜率当a音时，斜率攵不存在;当

。£（0,习时,a越大，斜率攵就越大;

同样当兀）时也是如此但当

诳（0万）且。吟时就不是了.

2.斜率公式

Q）定义式:直线/的倾斜角为《aH厕斜率k=.

（2）坐标式:点吊（吊,女）,外（血刃）在直线/上，且XI声也则直线/的斜率

23

X2-X1

□特别提醒

斜率公式与两点的顺序无关，即

两个纵坐标和两个横坐标在公式中

的次序可以同时调换.

3直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式匕附=4*-刖）不含直线x=Xo

不含垂直于

斜截式y=kx+b

X轴的直线

不含直线X=X1

y-y1二x-xi

两点式（X1^X2）和直线

y2-yi-X2-X1

y=yi{yity2）

不含垂直于坐标轴

截距式Y=i

ab和过原点的直线

Ax+By+C=^平面内所有

一般式

（4+炉HO）直线都适用

□特别提醒

（1）"截距"是直线与坐标轴交

点的坐标值，它可以是正，可以是负，

也可以是零，而"距离"是一个非负

数.

（2）注意直线过原点的特殊情况，此时

在两坐标轴上的截距都为零.

£＞拓展知识

L倾斜角a与斜率攵的关系

石ae[o,§时，斜率ke[0,+3;

段。音时，斜率攵不存在；

尤&兀）时，斜率相（-8,0）-

2.特殊直线的方程

⑴直线过点外（相向,且垂直于x轴

的方程为x=xi；

⑵直线过点修(吊,川,且垂直于y轴

的方程为y=yi-,

(3)p轴的方程为x=0;

(4)x轴的方程为y=0.

«夯实基础»

【概念辨析】

判断下面结论是否正确.(对的打"V",错的打"X")

Q)只根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()

(2)过点的直线的倾斜角是45°.()

(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()

(4)直线的倾斜角越大，斜率Z就越大.()

【对接教材】

若经过力(4,2Hl),8(2,-3)两点的直线的倾斜角为拳则y=().

A.-lB.-3C.OD.2

过点打2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为,

【易错自纠】

已知直线/的斜率攵£(-1,8],则直线倾斜角的取值范围为().

B.

C.

D.

过直线上的点氐2,2)作直线若直线Z/77与x轴围成的三角形的面积

为2,则直线)的方程为.

考点考向•)精研考向锤炼技能

母SO直线的倾斜角与斜率【典例迁移】

@><1(1)(一题多解)(2022]已知直线f.x+ycos

8+3T)(8£R),贝ij直线/的倾斜角a的取值范围是().

A.[O,TT)

(2)已知点41,3),8(2-1).若直线/:y=k(x-2)+l与线段

力8恒相交，则斜率Z的取值范围是().

A.£B.k<-2

2

C.&g或心-2D.-2W尾

【变式设问】本例(2)直线/改为y=kx,若/与线段28恒相交则斜率Z的

取值范围是.

点拨(1)倾斜角a与斜率左的关系

砥会［。理时作［0,+8)；

段a三时，斜率左不存在；

(3^时，比(RO).

(2)斜率的两种求法

②定义法:若已知直线的倾斜角a或a的某种三角函数值，一般根据Z-tan

a求斜率.

②公式法:若已知直线上两点4的,力),仇松刃)，一般根据斜率公式

攵且之(X1WE)求斜率.

x2-xl

(3)当倾斜角a的取值范围与直线斜率的取值范围互求时，要充分利用

y=tana的单调性.

【追踪训练1】(1)022，若/(4,3),仅5,a),Q6,5)三点共线，贝ija

的值为.

(2)若直线/经过43,1),8(2,-苏)(/77£3两点则直线/的倾斜角a的取值

范围是.

毓⑥直线的方程【题组过关】

若直线/经过点4用,3),且倾斜角为直线Ex+y+1=o的倾斜角的一半，则该

直线的方程为

在△/8U中，已知/(5,-2),8(7,3),且力。的中点例在p轴上,8。的中点/V在x

轴上厕直线/V7/V的方程为.

过点/6,-2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程

为.

上三41.求解直线方程的两种方法

(1)直接法:根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程.

(2)待定系数法:。设所求直线方程的某种形式；

②由条件建立所求参数的方程(组)；

③解这个方程(组)求出参数；

©把参数的值代入所设直线方程.

2.谨防三种失误

Q)应用"点斜式"和"斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在.

(2)应用"截距式"方程时，要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.

⑶应用一般式Ax+By+C=0确定直线的斜率时，要注意讨论8是否为0.

(3意乱直线方程的综合应用【典例迁移】

例0已知直线hkx-y+1+2〃=03R).

(1)证明:直线/过定点.

(2)若直线不经过第四象限，求Z的取值范围.

(3)若直线/交x轴的负半轴于点4交p轴的正半轴于点的面积为

S求S的最小值并求此时直线/的方程.

al直线方程综合应用的类型与解题策略

Q)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数,再利用

基本不等式求解.

(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接

写出方程.

(3)求参数值或取值范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程，再结

合函数的单调性或基本不等式求解.

【追踪训练2】(1)已知直线是正数)，当此直线在x轴、y轴

上的截距之和最小时，正数a的值是().

A.OB.2C.V2D.1

(2)若直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数b

的取值范围是().

A.[-2,2]

B.(-8,-2]U[2,+8)

C.[-2,0)U(0,2]

D.(-8,+od)

.............................宿方法技巧.........＞方法探究分类突破

05比突破O数形结合法求倾斜角或斜率的取值范围

数形结合求倾斜角或斜率的取值范围是一种常用的方法.直线逆时针旋转水

变大，顺时针旋转，攵变小.

画倒直线/过点用1,0),且与以42,1),8(0,8)为端点的线段有公共点，求直

线/的斜率和倾斜角的取值范围.

E方法总结:

（i）由倾斜角（或取值范围）求斜

率（或取值范围）利用定义式Xr-tan

仪衣90°）解决

（2）由两点坐标求斜率运用两点斜率

公式攵著包（M。至）求解.

x2-xl

（3）涉及直线与线段有交点问题常数

形结合利用公式求解.

【突破训练】已知两点4-3,4）,8（3,2）,过点/2,-1）的直线/与线段有

公共点，求直线/的斜率Z的取值范围.

请完成骤后作业

链接《精练案》分册P79

§12.2两条直线的位置关系

（对应答案分册第43页）

学基础知识……夯实基础巩固提升

一知识清单＞»

1.两条直线平行与垂直的判定

Q）两条直线平行

②对于两条不重合的直线4,4,若其斜率分别为％,后，则有加力=.

②当直线4,与不重合且斜率都不存在时，.

（2）两条直线垂直

②若两条直线的斜率存在，设为％,依则有hlg

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为。时,/i_LZ.

特别提醒

在判定两条直线平行或垂直时,

应注意不要忽略了一条直线或两条

直线斜率不存在的情形.

2.两条直线的交点的求法

若直线直线h'.Aix+Biy+Ci^,

则直线A与人的交点坐标就是方程组件x:职：?=?的解.

+B2y+C2=0

3.三种距离关系

22

Q）两点外（xi,刃）,外（加,先）之间的距离/PL/^/-7（X2-%I）+（yz-yi）.

（2）点凡（四，网到直线F.Ax+By+C=O的距离a=等"组旦

JA2+B2

⑶两条平行线勺Z+G=O与向Z+G-0（其中GH0间的距离

1储+M

|!1舒加泄d坦

在利用两条平行线间的距离公

式时，需要先将两条平行线方程化为

X,y的系数对应相等的一般式.

L与直线

Ax+By+C=Q(A^/匹0)垂直或平

行的直线方程可设为：

(5SM：Bx-Ay+m=Q-,(2^-

行:ZX+砂+/7=O(/7W。.

2.与对称问题相关的四个结论：

⑦点(%力关于点(a,6)的对称点为

(2a-x,2b-%

②点(％勿关于直线x=a的对称点为

(2a-%勿，关于直线p=6的对称点为

(-260

③点(％勿关于直线y=x的对称点为

①团,关于直线p=-x的对称点为(-

④点(％勿关于直线x+y=Z的对称点

为伏夕攵-M,关于直线x-p=〃的对称

点为(k+y,x-a.

«＜夯实基础一

【概念辨析】

判断下面结论是否正确.(对的打，错的打"X")

(1)当直线人和人斜率都存在时，一定有卜=后0万16()

(2)已知直线4：4X+8IP+G-0,6/2X+82HG-0(4,8I,G,/2,82,G为常数)，若

直线4_1_〃,则44+81员力.()

(3)如果两条直线4与〃垂直，那么它们的斜率之积一定等于-1.()

(4)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()

【对接教材】

已知点牛3,6),96,5),且直线PQ垂直于直线x+y+l力，则m=.

已知点(a,2)(a>0)到直线hx-y+3=Q的距离为1,则a=().

A.V2B.2-72

C.V2-1D.V2+1

【易错自组】

若两直线(3a+2)x+(14a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7-0垂直，则

直线2x+2y+l力与直线x+y+2=0之间的距离是

考点考向，精研考向锤炼技能

至基两条直线的位置关系【题组过关】

已知过点4-2,6)和点8(6,4)的直线为庆直线2x+y-

1-0为〃，直线x+qz+1-O为6.若4则实数的值为().

A.-10B.-2C.OD.8

已知三条直线4：2x-3y+lR,〃:4x+3y+5=0念/nxjz-lX)不能构成三角形,

则实数m的取值集合为().

A.｛-状｝

匚｛-木1aNT，-抬｝

已知两直线k：mx+8y+n=0和〃:2x+"y-lT),试确定m,"的值(或取值范

围)，使

(1%与人相交于点

(2)A11^;

(3/_L〃，且&在y轴上的截距为-1.

1.已知两直线的斜率都存在，判断两直线平行或垂直的方法

(1)两直线平行=两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等；

(2)两直线垂直=两直线的斜率之积等于-1.

提醒:当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况.

2.由一般式确定两直线位置关系的方法

h：.Aix+Biy+Ci=O(Ai+B升0),

直线方程

+B分0)

4与人平行的学区4&G/0)

充要条件A?D2

4与6垂直的

44+=0

充要条件

人与人相交的AiBi.

不工旅(22&工0)

充要条件A2B2

4与人重合的AlBlJ

充要条件A?D2

CH®两条直线的交点与距离问题【典例迁移】

劭d⑴若三条直线p=2x,X+y=3,/77X+/7y+5=O相交于同一点厕点(/77,/7)

与原点之间的距离的最小值为().

A.V5B.V6

C.2V3D.2V5

(2)若过点6L2)作一直线/,使直线/与点做2,3)和点M4,-5)的距离相等，

则直线/的方程为.

点滤距离问题的常见题型及解题策略

Q)求两点间的距离的关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来

判断三角形的形状等.

(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点

到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.

(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中W的对应项系数转化成相等

的形式，再利用距离公式求解，也可以转化成点到直线的距离问题.

【追踪训练1]已知两条平行直线/i：mx+8y+n=Q与

62x+w/-lT)间的距离为强，则直线直的方程为.

(5点⑥对称问题【考向变换】

考向1点关于点的对称

幽0过点60,1）作直线/使它被直线4:2x”-8=0和直线Ax-3p+10T）

截得的线段被点户平分，则直线/的方程为.

点援点关于点对称的求解方法

若点M&V）和点M用”关于点对称,则由中点坐标公式得

［；二短;;进而求解・

【追踪训练2］将一张坐标纸折叠一次,使得点（0,2）与点（4,0）重合，点（7,3）

与点（加,〃）重合则m+n=（）.

A.yB.10C.yD.5

考向2点关于直线的对称

在等腰中勿=/4。=4/是边力8上异于点48的一点.光线从点

户出发，经8CC4反射后又回到点如图）.若光线Q/?经过△/8U的重心厕/4〃

为（）.

A.2B.lC.|D.i

33

二—点关于直线对称的解题方法

若两点&凡"）与外（检以关于直线t,Ax+By+C大对称，则由方程组

+C=0,

可得到点P1关于直线/对称的点P1的坐标

（检词（其中Br0,x\丰於.

【追踪训练3］已知入射光线经过点M34）,被直线£x-y+3=0反射，反射

光线经过点M2,6）,则反射光线所在直线的方程为.

考向3直线关于直线的对称

创E!直线2x-p+3=0关于直线*少+2-0对称的直线方程

是.

点次直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

【追踪训练4】直线众一片2大关于直线3x,+3=0对称的直线方程

是.

..........................[3方法技巧............＞方法探究分类突破

0法突做。直线系方程

在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线

系有平行直线系、垂直直线系和过直线交点的直线系.

角度一:平行直线系的直线方程

施JU求与直线3x+4y+14)平行且过点(1,2)的直线/的方程.

E方法总结:

因为所求直线与直线

3x+4y+l-0平行，所以可设该直线

方程为3x+4y+c=0（今1）.

【突破训练1］求过点4L4）且与直线2x+3p+5=O平行的直线方程.

角度二:垂直直线系的直线方程

初回求经过点力（2,1）且与直线2x+y-10T）垂直的直线/的方程.

E方法总结

依据两直线垂直的特征设出方

程，再由待定系数法求解.

【突破训练2】已知直线/过点/(2,-3),若直线/与直线p=-2x+5垂直，求

直线/的方程.

角度三:过直线交点的直线系的直线方程

倒❸经过两条直线2x+3y+l=0和x-3y+4=0的交点，并且垂直于

3¥+4y-7R的直线方程为

可以分别求出直线4与〃的交

点坐标及所求直线的斜率左直接写

出方程;也可以根据垂直关系设出所

求方程，再把交点坐标代入求解;还可

以利用过交点的直线系方程设直线

方程，再用待定系数法求解.

【突破训练3］已知两条直线A:x-2yM-0和b:x+y-2=0的交点为只求

过点"且与直线垂直的直线/的方程.

请完SB课后作业

链接《精练案》分册P80

§12.3圆的方程

(对应答案分册第43~44页)

学基础知识•卜夯实基础巩固提升

知识清单

1.圆的定义与方程

［圆的］］平面内到定点的距离等于定长的点的

::卜集合(轨迹)叫作圆.定点是圆心，定长

Iy-J;是圆的半径

两点间距

离公式

圆的标(x-aY+iy-b)Jr2->0),表示以(0,6)

准方程为圆心，以r为半径的圆

展

配

开

整

方

理

x1+y2+Dx+Ey+F=0(Dil+E2>4F'),表示以

圆的一(昌,-1~)为圆心，以;VM炉f

般方程

为半径的圆

特别提醒

当》+R9F>0时，此方程表示

的图形是圆;当U+R9FR时，此

方程表示一个点(-11)；当D+R-

4尸<0时,它不表示任何图形.

2.点与圆的位置关系

圆的标准方程为(x-a)2+(y/)2=/V>0),圆心。的坐标为(a,6),半径为/;设

点用的坐标为(次，乂)).

1位置j关系］［几臂1［代［法］

点MG。,九)」

在圆外L\MC\>r

点MG。,%)：

\MC\=r(如-Q)2+(”b)2=/

在圆上r一

点4f(%o,yo)

口(s»)2+(yN)守

在圆内L\MC\<r

O拓展知识

(1)二元二次方程

力层+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=G表示

(A=CW0

圆的充要条件是B=0,

D2+E2-4AF>0.

⑵以4AlM，血M为直径端点的

圆的方程为(X-AI)(X-至)</-

㈤=0.

如夯实基础»》

【概念辨析】

判断下面结论是否正确.(对的打"V",错的打"X")

Q)确定圆的几何要素是圆心与半径.()

(2)若点M*)，w)在圆A2"+Dx+Ey+F=Q外，则就+流+Dxo+Eyo+F>Q.()

(3)方程炉+/+4/7?*-2;/=0不一定表示圆.()

(4)方程(片3)2+(7-6)2=汽区田表示圆心为(3,6),半径为子的一个圆.()

【对接教材】

以点(2,-1)为圆心且与直线3x4p+5-0相切的圆的方程为().

A.(x-2)2+(y+l)2=3

B.(x+2)2+(y-l)2=3

C(x-2)2位川2=9

D.(x+2)2+3-1)2=9

过点4L-1),8(-L1),且圆心在直线x+p-2=0上的圆的方程是.

【易错自纠】

若方程序切+ax+2ay+2*+a-l=0表示圆，则实数a的取值范围

是.

若坐标原点在圆(X-〃7)2+(y+6)2=4的内部，则实数6的取值范围是.

.....................E3考点考向……，精研考向锤炼技能

CH⑧求圆的方程【题组过关】

设42,-1),8(4,1),则以线段为直径的圆的方程是

().

A.(x-3)2"=2

B.(x-3)2"=8

C.(x+3)2"=2

D.(x+3)2"=8

2.(2022•浙江绍兴也已知圆C与x轴的正半轴相切于点4圆心在直线y=2x

上，若点/在直线x-y^=0的左上方且到该直线的距离等于加，则圆U的标准方

程为().

A.(x-2)2+(y+4)2=4

B.(x+2)2+(y+4)2=16

C.(x-2)2+(y4)2=4

D.(x-2)2+(y4)2=i6

3.(2022-r圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线/x丁+84对称的圆的

方程为().

A.(x+3)2+(y+2)2=4

B.(x+4)2+(y-6)2=4

C.(x/)2+(y£)2=4

D.(x+6)2+(yM)2=4

点拨求圆的方程的两种方法

几何法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程

待定©艮据题意,选择标准方程与一般方程；

系数法②t艮据条件列出关于a,b,r或D,£尸的方程组；

整出a,b,r或代入标准方程或一般方程

提醒:解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.

与圆有关的轨迹问题【典例迁移】

例0（一题多解）已知的斜边为28,且4-1,0），以3,0）.求直角顶点

U的轨迹方程.

【变式设问】已知条件不变，求直角边8c的中点例的轨迹方程.

点一求与圆有关的轨迹问题的三种方法

(1)直接法:当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐

标表示等式,直接求解轨迹方程.

(2)定义法:当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径,

写出圆的方程.

(3)代入法:当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关

时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程.

【追踪训练1】自圆U(x-3)2+(y+4)2=4外一点厘乂力引该圆的一条切线,

切点为Q/Q的长度等于点户到原点。的距离厕点户的轨迹方程为().

A.8z-6y-21=0

B.8x+6_y-21=0

C.6x+8y-21=0

D.6z-8y-21^0

CH®与圆有关的最值问题【考向变换】

考向1斜率型最值问题

邮0已知实数满足方程解则(的最大值和最小值分别为

和.

M形如〃上的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.

【追踪训练2］已知实数xj满足(x-2)2+(y-l)2=l,则z#的最大值

和最小值分别为和.

考向2截距型最值问题

施］❸已知实数xj满足方程解"/x+l=0,则p-x的最大值和最小值分别

为和

形如仁纱的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

【追踪训练3】已知MxM为圆U解炉4x-14y+45=0上任意一点，且点

Q23).

(1)求/例Q的最大值和最小值；

(2)求亭的最大值和最小值.

考向3距离型最值问题

施JCJ已知实数xj满足x+2%5力则(x-l)2+(y-l)2的最小值为().

C独D逗

55

点—形如(看团2+『印的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的

最值问题.

【追踪训练4】若实数孙满足(x+5)2+(y-12)2=142,则解"的最小值为

().

A.2B.lC.V3D.V2

................................盅方法技巧……，方法探究分类突破

C逾突破O函数思想在圆中的应用

在解决与圆有关的最值问题时，通过转化，结合函数知识进行求解.

图3国设6%4是圆解+"-3)2=1上的动点，定点

/(2,0),a-2,0),则方•丽的最大值为.

0方法总结

根据题中条件列出相关的函数

关系式，再根据函数知识或基本不等

式求最值.

【突破训练】设取,勿是圆:(x-3)2"=4上的动点，定点

力(0,2),8(0,-2)厕厢+而佛最大值为.

请完成群后作业-------,

链接《精练案》分册P81

§12.4直线与圆、圆与圆的位置关系

(对应答案分册第44~45页)

学基础知识，夯实基础巩固提升

<«知识清单>»

1.直线与圆的位置关系(半径为/；圆心到直线的距离为d)

相交

J>0

几何观点d>rd=rd<r

2.圆与圆的位置关系(两圆半径分别为n^,c/=/aa/)

相离外切相交内切内含

量

的d>r\d=ri

dv/h-应/

关+/2+ri

系

圆的切线方程常用结论

⑴过圆足"=户上一点

汽池,次)的圆的切线方程为

XQX+y^y=fi-.

(2)过圆(x-a)2+[y-b)2=/上一

点氏府,加)的圆的切线方程为(府-

a)(x-a)+(j4)-/?)(/-/?)=t2.

(3)过圆N+y^-z2外一点

M刈次)作圆的两条切线，则两切点

所在的直线方程为%x+刈/二尺

夯实基础

【概念辨析】

判断下面结论是否正确.(对的打"V",错的打"X")

(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交.()

(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直

线方程.()

⑶过圆ON"：/2上一点卬⑪乂))的圆的切线方程是检次_/=足()

(4)如果直线与圆组成的方程组有解,那么直线与圆相交或相切.()

【对接教材】

若直线力与圆(x-a)2"=2有公共点厕实数a的取值范围

是.

若直线3x-y-6=0与圆炉"-2x/y=0相交于48两点厕/4勿=.

【易错自纠】

若圆/"=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切厕常数a=.

已知圆心解+必达,过点63,1)作圆U的切线，则切线方程

为.

讲考点考向•，精研考向锤炼技能

(考点垂直线与圆的位置关系【题组过关】

(一题多解)直线/.mx-y+l-m=0与圆C:^+[y-l)2=5的位置关系是().

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

若无论实数a取何值时，直线ax+y+a+l=0与圆/"-2x-

2H6=0都相交，则实数6的取值范围为().

A.(-8,2)B.(2,+od)

C.(-8,⑹D.(£+<x>)

若圆〃"二/(1>0)上恒有4个点到直线>少-2=0的距

离为1,则实数/•的取值范围是().

A.(V2+l,+od}B.(V2-1,V2-^1)

C.(0,V2-l)D.(0,V2+l)

「判断直线与圆的位置关系的一般方法

+圆心到直线的距离与圆半径h匕较大小，即可判断直线与圆的位置关系.这种方法的特点

几n何法日、工薪―.,

是计算量较小

将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程,该方程解的情

代数法况即对应直线与圆的位置关系.这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位

置关系

CH®圆与圆的位置关系【典例迁移】

初11已知圆G：(x-a)2+(y+2)2=4与圆C：(x+6)2+(y+2)2=l夕卜切，贝ij的

最大值为（）.

嘻《D.2V3

224

【变式设问】（1）若将本例条件中的"外切"变为"内切"，求ab的最大

值.

（2）若将本例条件中的"外切"变为"相交"，求公共弦所在的直线方程.

点一圆与圆位置关系问题的解题策略

Q)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半

径之间的关系，一般不采用代数法.

(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去

后/项得到.

【追踪训练1】圆G:/"=4与圆

4x+4y-12句的公共弦的长为().

A.V2B.V3C.2V2D.3V2

■1⑥直线与圆的综合应用【考向变换】

考向1圆的切线问题

30(1)过点/2,4)引圆(x-l)2+(y-l)2=1的切线，则切线

方程为().

A.4x-3yM=0

B.3x4y+4=0

C.x=2或4x-3y-4=0

D.%-2或4x-3y+4=0

(2)由直线y=x+l上的一点向圆(x-3)2"=l引切线，则切线长的最小值为

().

A.lB.2V2C.V7D.3

点拨1.求过圆上的一点(迎，次)的圆的切线方程的方法

先求切点与圆心连线的斜率左若左不存在，则结合图形可直接写出切线方程

为片次;若h0,则结合图形可直接写出切线方程为>=%；若%存在且后0,则由

垂直关系知切线的斜率为由点斜式可写出切线方程.

K

2.求过圆外一点(迎，乂))的圆的切线方程的两种方法

当斜率存在时，设为左则切线方程为即以-y+%-奴)力.由圆心到直线的

几何法

距离等于半径，即可求出〃的值，进而写出切线方程

当斜率存在时，设为£则切线方程为p为=">-的)，即片依-依)+乂),代入圆的方程得到

代数法

一个关于x的一元二次方程，由/力,求得左的值，切线方程即可求出

提醒:当点(府小))在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况.

【追踪训练2】(1)，。年U已知0MA2"-2x-2y-2T),直线

/:2x+y+2=0,P为/上的动点，过点户作。例的切线外,户8,切点为48,当

/户％/最小时，直线力8的方程为().

/\.2x-y-l-4)B.2x+y-l=0

C.2x/1-0D.2x+p+l=0

(2)022.L已知圆U与直线x+y+24和圆

解"+12x+12y+54=0都相切则半径最小的圆U的标准方程为().

A人x+2)2+{y+2)2=2

Q.(x-2)2+(y-2)2=2

C.(x4)2+(y«)2=4

D.(x+4)2+[y+^Y-4

考向2圆的弦长问题

蒯❸⑴"拟若3岸+3岳/岸=0,则直线ax+by+cH)被圆

所截得的弦长为().

A.fB.lC.1D.j

324

(2)322成都模弘已知直线",如y=0与圆O层"=1相交于48两

点，且明分幼，则•布的值是().

A=B.；C：D.0

223

点拨有关弦长问题的两种求法

几何法直线被圆截得的半弦长;,弦心距d和圆的半径「构成直角三角形，即z2^)2+cP

联立直线方程和圆的方程消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系，即可

代数法求得弦长/5/=门市•%-及/=，?不用J(X1+X2)2-4X1X2或

优8/=』1+a•仅少/=J1+/J(y]+y2)2-4y1y2

【追踪训练3](1)直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-

3产=4截得的弦长为2百，则直线的斜率为().

A.V3B.±V3

C停D.4

33

(2)已知直线x"+8=0和圆层"=，(/>0)相交于A,B

两点.若/句=6则/•的值为

考向3综合问题

倒您已知圆U的圆心U的坐标为Q,2),且圆U与直线

/:x-2y-7=0相切，过点/(2,0)的动直