4.2.1等差数列的概念 课件

第四章数列4.2.1等差数列的概念（1）我们知道，数列是一种特殊的函数。在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用。下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。【学习目标】(1)经历等差数列概念的形成过程，能够描述等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列；(2)学会利用等差数列的定义推导等差中项；(3)理解等差数列通项公式的推导过程，并会应用其解决相关问题；(4)通过对比等差数列与一元一次函数，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性.任务一：创设情境，引入等差数列概念观察下面几个实例：1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为：9,18,27,36,45,54,63,72,81①2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是：38,40,42,44,46,48②3.某地从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为：25.0,24.4,23.8,23.2,22.6③4.某人向银行贷款a万元，如果个人贷款利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为：ar，ar-br，ar-2br，ar-3br，…④①

9，18，27，36，45，54，63，72，81.②38，40，42，44，46，48.③25，24，23，22，21.④

ar,ar-br,ar-2br,ar-3br……如果用{an}表示数列①

，这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。对于实例1，我们发现：18-9=9，27-18=9....81-72=9.2.邻项比较，归纳发现1.抽象概括，建立模型问：②-④也有相同的取值规律吗？你可以用{an}表示一下吗？那么有a2-a1=9，a3-a2

=9，...a9-a8=9.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，就称这个数列为等差数列，这个常数就称为等差数列的公差，用d来表示。追问1：①-④中的首项和公差分别是什么？追问2：公差可以是0吗？公差的取值范围是什么？追问3：能否用符号语言表示等差数列的定义？等差数列的符号语言：

an－an-1

=

d

(d是常数,n≥2且n∈N*)或an+1－an=d

(d是常数,n∈N*)概念辨析

注意：1.判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an

是不是同一个常数.2.公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.任务二：等差中项问：观察如下几组数，在两数中插入什么数后，三个数就会成为一个等差数列？①2，

，4；②-1，

，5；③0，

，0；④a，

，b追问1：第2项与第1项，第2项与第3项之间的关系是什么？追问2：对于④，设在a，b中插入数A，如何将A用a，b来表示？可以设插入的数为x，既然这组数列是等差数列，一定会有x-2=4-x，所以2x=4+2，即x=3。其它数列以此类推。

A叫做a与b的等差中项任务三：归纳猜想，探究等差数列通项公式设一个等差数列{an}的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义,可得an+1－an=d于是a2=a1＋d，a3=a2＋d=(a1＋d)＋d=a1＋2d，a4=a3＋d=(a1＋2d)＋d=a1＋3d，‧‧‧‧‧‧an=a1＋(n－1)d，(n≥2)当n=1时，a1=a1＋(1－1)d=a1，也就是说，上式当n=1时也成立.这时，我们把an=a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式.an-

a1=(n－1)d，(n≥2)即：an=a1+(n－1)d，(n≥2)方法一：方法二：（不完全归纳法）（累加法）探究：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d等差数列的通项公式a1,an,n,d知三求一am=a1

+(m-1)dan-am

=(n-m)dam=?an-am

=?思考任务四：深入探究，理解等差数列与函数的关系

①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.(k＋b)k

an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d)思考：我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？

等差数列与一次函数的关系125a1xf(x)O346a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k,b为常数)，则f(1)＝k＋b,f(2)＝2k＋b,…,f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为________，公差为____.12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a6xf(x)O3456a1－da5a4a3a2a1f(x)＝dx＋(a1－d)结论：当d＞0时，数列{an}单调递增;当d＜0时，数列{an}单调递减；当d＝0时，等差数列{an}为常数列.探究：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？任务五：理解应用，利用等差数列解决问题例1(1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}公差和首项;

(2)求等差数列8，5，2，···的第20项.解:(1)当n≥2时，由{an}的通项公式为an＝5－2n，可得

an－1＝5－2(n－1)＝7－2n.

于是d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2，a1＝5－2＝3.∴{an}公差为－2，首项为3.(2)由已知条件，得d＝5－8＝－3，a1＝8.∴an＝a1＋(n－1)d＝8－3(n－1)＝－3n＋11.

∴a20＝－3×20＋11＝－49.知三求一例2－401是不是等差数列－5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解.解：由a1=－5，d=－9－(－5)=－4，所以数列的通项公式为an=－5－4(n－1)=－4n－1.令－4n－1=－401，解得n=100.所以，－401是这个数列的项，是第100项。