向量数乘运算及其几何意义

第二章§2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其

几何意义泉港一中黄生生1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.学习目标知识梳理自主学习知识点一向量数乘运算和运算律答案1.向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个

，这种运算叫做向量的

，记作__，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝_______.(2)λa(a≠0)的方向当

时，与a方向相同，当

时，与a方向相反；特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝___或λ0＝__.向量数乘λ>0λ<0λa|λ||a|002.向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝____.(2)(λ＋μ)a＝_______.(3)λ(a＋b)＝_________.特别地，有(－λ)a＝______＝_____；λ(a－b)＝_________.思考你能理解λa的几何意义吗？答案答案意义有两条，一是a的模变为|λ|倍；二是λ的正负改变λa的方向.(λμ)aλa＋μaλa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb知识点二共线向量定理1.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______.2.向量的线性运算向量的

、

、

运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________.思考若向量a与b共线，一定有a＝λb吗？答案不一定.因为当b＝0，而a≠0时，则不能表示为a＝λb的形式.b＝λa加减数乘λμ1a±λμ2b返回答案题型探究重点突破题型一向量的线性运算解析答案例1计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；解原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.解析答案(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).反思与感悟解原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.反思与感悟题型二向量共线的判定及应用解析答案例2

已知非零向量e1，e2不共线.∴A、B、D三点共线.反思与感悟(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.解∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，∴k＝±1.解析答案解析答案观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线.＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，题型三向量数乘运算的综合应用解析答案反思与感悟解析答案反思与感悟②反思与感悟课堂小结1.实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的.还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模长有关.2.利用数乘运算的几何意