小学数学经典奥数专题

PAGEPAGE4小学数学经典奥数专题鸡兔同笼鸡兔共有a头，脚共有b只，则：兔的数量=（b－2a）÷2鸡的数量=a－兔的数量鸡兔同笼延伸甲的特征为a，乙的特征为b（a>b），甲乙总数为c，甲乙按其特征得到的结果和为d，则：甲的数量=（d－bc）÷（a－b）甲乙实际特征结果甲乙单个与甲乙全部按乙的数量特征特征b之间的差额差额乙的数量=c－甲的数量例：四(2)班学生共52人，到公园去划船共租用11条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，刚好坐满。求租用的大船、小船各多少只？解：甲为大船，特征a为坐6人，乙为小船，特征b为坐4人，甲乙的总数c为11条船，甲乙按其特征得到的结果和d为共坐52人。则：大船数量=（d－bc）÷（a－b）=(52－4×11）÷（6－4）=8÷2=4(条)小船数量=c－大船数量=11－4=7(条)答有大船4条，小船7条。⑴鸡和兔共100只，共有腿280条，鸡、兔各有多少只？⑵10元和5元一张的人民币共有40张，攻击325元，两种人民币各几张？⑶一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天只能运12次，它一连运了112次，平均每天运14次。问：这几天当中有几个晴天？⑷★仓库所存的苹果是香蕉的3倍,春节前夕，平均每天批发出250千克香蕉、600千克苹果，几天后香蕉全部批发完，苹果还剩900千克？这个仓库原有苹果、香蕉各多少千克？⑸一辆汽车装运玻璃仪器360个，每个运费5元，若损坏一个仪器不但不给运费，还要赔50元，结果司机只收到运费1250元。问：损坏了几个仪器？平均数平均数=总数÷份数总数=平均×数份数份数=总数÷平均数重点：要注意总数、份数、平均数的对应关系，计算平均数要找出与这一平均数相对应的总数、份数，计算总数、份数也应这样。平均数的变化=总数的变化÷份数重点：在份数不变的情况下，平均数的变化是由与之相对应的总数的变化引起的，因此，解题时，根据题意，也可以直接根据总数的变化计算平均数的变化。这一变化可以是增加或减少，平均数与总数同增同减。平均数计算的基准数法：当需要计算的一组数的数值比较接近时，我们可以设定一个合适的基准数，然后把这组数中的每个数表示为基准数与一个较小数的和或差，这组较小数的合计数的平均数加上基准数，就是这组数的平均数。如：计算240、239、244、235、236、241、245、244的平均数。解：设定240为基准数，则这组数可表示为：240、240-1、240+4、240-5、240-4、240+1、240+5、240+40-1+4-5-4+1+5+4=44÷8=0.50.5+240=240.5所以，平均数为240.5。⑴甲、乙、丙三个数中，甲、乙的平均数是30，乙、丙的平均数是36，甲、丙的平均数是33。问：这三个数的平均数是多少？⑵某班女同学人数是男同学的2倍，如果女同学的平均身高是150厘米，男同学的平均身高是162厘米，那么，全班同学的平均身高是多少？⑶四(1)班共有学生41人，数学期中考试时有3位同学因病缺考，平均成绩是80分，后来这三位同学补考，成绩分别为：100分、96分和85分。这时全班的平均成绩是多少？⑷赵、钱、孙三学生平均身高是1.24米，加上李，四人的平均身高为1.25米。李身高多少？⑸已知甲、乙、丙、丁四个数的平均数是15，甲数是18，那么其他三个数的平均数是多少？⑹甲、乙、丙、丁四个数，甲数是35，乙数是41，丁数是44，丙数比这4个数的平均数少3。求丙数。⑺计算79、82、86、75、76、84、87、78这组数的平均数。差倍问题已知大、小二数的“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少？小的数=两数之差÷倍数之差大的数=两数之差小的数注意：倍数之和即“倍数－1”。复杂差倍问题的画线段图法：在一些比较复杂的差倍问题中，“差”与“倍”是隐藏在已知条件中的，我们要善于沿着这些条件，找出解题方法。解决此类问题，我们也可以用画线段图的方法弄清已知条件之间、未知条件与已知条件之间的关系，发现隐藏的“差”与“倍”。例：小王与小赵各有一些故事书，如果再给小王20本，小王的书便与小赵的一样多，如果给小赵10本书，小赵的书便是小王的3倍。求小王与小赵原来各有多少本书？解：用线段图表示题中2人数的数量：给小王20本小王的书给小赵10本小赵的书根据题意，小赵比小王多20本，给小赵10本书后，小赵与小王的书的差数为30本，倍数差为2；所以，小王的书有：(20+10)÷(3-1)=15(本)；小赵的书有：15+20=35(本)。答⑴甲、乙两工程队，甲队有56人，乙队有34人，两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的3倍。问：调动后两队各还有多少人？⑵甲、乙、丙三人去郊外钓鱼，甲比乙多钓2条，丙钓的条数是甲的2倍，比乙多钓19条。问他们三人各钓了多少条鱼？⑶甲的钱是乙的4倍，甲用掉260元，乙用掉20元后，两人钱数相同。求甲、乙两人原有多少钱？⑷有A、B、C三辆卡车，A车比C车多装160千克，C车是B车的2倍少20千克，A车是B车4倍。求A、B、C三辆车共装货物多少千克？⑸★花店运来紫罗兰花和郁金香花，紫罗兰花是郁金香花的5倍，如果每天卖掉50枝紫罗兰花和15枝郁金香花，则郁金香花卖完后还剩100枝紫罗兰花。求花店运来两种花各有多少枝？行程问题路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度路程之和=速度之和×时间路程之差=速度之差×时间路程路程之和路程之差时间=——=————=————速度速度之和速度之差甲、乙同时从A、B出发，相向而行，在距AB中点O相距a的C点相遇。设甲、乙所用时间为T，甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，则：甲：V甲aaV乙：乙AOCBACBC2aABT=——=——=————=————V甲V乙V甲－V乙V甲＋V乙重点：⑴相遇问题：甲、乙同时从两地相向而行，中途相遇。此类问题根据题意，通常采用路程和公式（路程之和=速度之和×时间）来解题。⑵追及问题：甲从A地出发一段时间后，乙以比甲更快的速度也从A地出发，经过若干时间后追上甲。此类问题根据题意，通常采用路程差公式（路程之差=速度之差×时间）来解题。⑶环形行程问题：分两种情况，①环形路，甲、乙在封闭的环形路上运动，如果同时同地相背而行，属相遇问题；如果同时同地同向而行，属追及问题。环形行程问题，解题时一般先找出相遇一次所需的时间，再根据情况来具体分析，解出结果；⑴甲乙两辆汽车同时从A地开往B地，速度分别是42千米/小时和38千米/小时，甲车到达B地后立即返回，在距B地20千米的地方两车相遇，问AB两地相距多远？⑵两人同时从相距76.5千米的两地步行出发，速度分别为每小时5千米和每小时4千米。他们将在相距中点多远的地方相遇？⑶小李和小张同时从A、B两地相向而行，他们相遇时距A、B两地中点处8千米，已知小李的速度是小张的1.2倍，那么A、B两地之间的距离是多少？⑷一位自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地，两小时后一辆摩托车以每小时56千米的速度也从甲地到乙地，在甲乙两地中点处追上了自行车运动员，问甲乙两地相距多远？⑸兄弟两人在周长为400米的环形跑道上跑步，他们从同一地点同时出发，背向而行，兄每秒跑6米，弟每秒跑4米②直线跑道，甲、乙在直线跑道的两端来回运动，属相遇问题，解题时应注意第一次相遇甲乙的路程和就是跑道长，第二次开始每次相遇的路程和是跑道长的两倍。⑷要特别注意行程问题涉及的路程、速度、时间三者之间的对应性，避免张冠李戴。⑸要特别注意相遇问题、追击问题、环形行程问题中时间的同时性，即同一时间内适用路程与速度、时间之间的关系公式。火车行程⑴火车过隧道（大桥）：火车通过隧道（大桥）所用的时间T：隧道长度+火车车身长T=———————————速度⑵两列相向而行的火车的交汇时间（也叫错车时间，即从车头相遇到车尾相离）T：两列火车车身长之和T=——————————两列火车速度之和⑶两列同向而行的火车的超车时间（即从快车追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头）T：两列火车车身长之和T=——————————两列火车速度之差⑷人坐在列车上往窗外看另一列车，相当于人在一定时间内走过一座桥。如：两列列车甲、乙相向而行，甲乙两列列车的长度分别为L甲、L乙，A坐在列车甲往窗外看列车乙驶过窗口的时间为TA，B坐在列车乙往窗外看列车甲驶过窗口的时间为TB，两列火车的速度和为V，则：L甲L乙V=——=——TBTA⑹★小林和小明在相距120米的跑道上来回跑步，小明每秒跑2.5米，小林每秒跑3.5米⑺一列火车全车通过990米长的大桥⑻甲乙两列火车停靠在两个不同的站口，已知甲车车身长200米，速度每秒10米；乙车车身长150米，速度每秒15米。两车同时相向而行，经过2分钟两列火车完成错车，问原来两个车头之间相距多远？⑼一列慢车车身长125米，每秒行驶17米；一列快车车身长140米，车速是每秒22米，慢车在前面行驶，快车与它同向行驶，从后面追上到完全超过需要多少秒？⑽★快、慢两列火车分别长150米和200米，相向行驶在平直的轨道上。若坐在快车上的人看见慢车驶过窗口的时间是8秒，则坐在慢车上的人看见快车驶过窗口的时间是几秒？流水问题水速=（顺流速度－逆流速度）÷2净水速度=（顺流速度＋逆流速度）÷2顺流速度=净水速度＋水速逆流速度=净水速度－水速顺流速度=逆流速度＋水速×2逆流速度=顺流速度－水速×2提醒：飞机航行问题类似于流水行程问题。还原问题概念：从问题所叙述事情的最后结果出发，利用已知条件一步一步倒着推理，逐步靠拢所求，直到解决问题，这种思考问题的方法，我们通常把它叫做还原法（倒推法）。解题方法：要根据题意，从所给的结果出发，抓住顺序相反、运算相反这两条原则，由后向前一步步倒推。对于与“一半”有关的还原问题，要找准与“一半”相对应的数量，用“乘以2”的方法求总数量，可借助于画线段图解题。顺序相反：计算从结果出发，由后向前一步步倒推；验算从题目开始计算，由前向后顺推。运算相反：原来是加法，回过去是减法；原来是减法，回过去是加法；原来是乘法，回过去是除法；原来是除法，回过去是乘法。例1：一棵石榴树上结有若干石榴，石榴数目减去6，乘以6，加上6，除以6，结果等于6。请你算一算，石榴树上一共有多少个石榴？解：根据题意，我们可以列出下面的流向图：树上的石榴数目→－6→×6→＋6→÷6→6用还原法（逆推法）帮助思考：树上的石榴数目←＋6←÷6←－6←×6←6很容易列出算式：(6×6－6)÷6＋6=11(个)。答。⑴长江支流汉水河，水流速度是每小时15千米，现在有船在汉水河中顺水而行，8小时行320千米，若逆水行320千米需要几小时？⑵★一条轮船往返于古城荆州、三峡宜昌之间，由宜昌到荆州是顺流用了6小时，由荆州到宜昌所用的时间是宜昌到荆州的1.5倍，已知船在净水中的速度是每小时20千米。求水流速度。⑶★有一架飞机顺风而行5小时飞3000千米，今出发至某地顺风去，逆风回，返回的时间比去的时间多2小时，已知飞机的逆风速度为每小时450千米，飞机飞行的路程一共是多少千米？⑷一个数加上3，乘以5，再减去8，等于12.求这个数。⑸耕一块地，第一天耕的比整块地的一半少5公顷，第二天耕的比余下的一半多2公顷，第三天耕了20公顷⑹马小虎做一道整数减法题时，把减数各位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问：正确答案是几？例2：工人们修一段路，第一天修的公路比全长的一半还多2千米，第二天修的比余下的一半还少1千米，还剩20千米没有修。公路全长是多少千米？解：线路问题我们可以通过画线路图来帮助分析解题。画图时可以按照叙述顺着画，如下图。2千米20千米全长的一半余下的一半1千米解题时，我们采用逆推法。第一天修后余下的一半的长度为：20－1=19(千米)；全长的一半为：19×2＋2=40(千米)；公路全长为：40×2=80(千米)。综合算式得：[(20－1)×2＋2]=(38＋2)×2=80(千米)。答。植树问题⑴不封闭线路的植树问题：段数=总距离÷棵距；①两端都植树：棵数=段数＋1；②一端植树，另一端不植树：棵数=段数；③两端都不植树：棵数=段数－1；⑵封闭线路的植树问题：棵数=段数。重点：日常生活中的上几层楼楼梯、锯木头等问题，都包含着植树问题的思想方法。解决此类问题时，要把植树问题的基本数量（如棵距、段数、棵数等）与这些问题中的基本要素一一对应，在分清属于何种植树方式的前提下，巧妙合理地进行解答。⑺两棵树上共有麻雀25只，有5只从第一棵树上飞到第二棵树上，又从第二棵树上飞走7只，这时第一棵树上的麻雀是第二棵树上的2倍。问：原来每棵树上的麻雀各有几只？⑻★袋子里有若干个球，每次拿出其中的一半又一个球，这样共操作了4次，袋中还有5个球。那么袋中原有多少个球？⑼两棵杨树相距400米，计划在这两棵树之间等距离地栽上39⑽长青路长150米，在路的两旁种梧桐树和樟树。每隔6米⑾★有海、陆、空三兵种士兵组成的仪仗队，每兵种队伍400人，都分成8竖行并列行进。陆军队伍前后两人间隔1米，海军队伍前后两人间隔2米，空军队伍前后两人间隔3米。每兵种队伍之间间隔4米，三兵种士兵每分钟都走80米，问三兵种的仪仗队通过98米的检阅台需多长时间？⑿★父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？（重复踏的台阶只算一个）年龄问题解题要点：⑴两人的年龄差是个永远不变的量；⑵两人的年龄随着年月的变化，增加或