中学物理学中的数学问题上

试卷第=page66页，共=sectionpages66页中学物理学中的数学问题目录引言：中学数学与物理关系一窥…………………3第一章初中数学在中学物理学中的应用举例……61比例法在中学物理学中的应用…………62力学中的方程与方程组应用举例………93稳恒电流中方程与方程组问题…………174电磁场中的方程与方程组应用举例……19第二章函数的性质在中学物理学中的应用………221函数的定义域在物理学研究中的作用…………………222函数的值域在中学物理学中的应用……273一次函数在中学物理学中的应用………284线性回归在中学物理学中的应用………325二次函数与一元二次方程在中学物理学中的应用……336分段函数在中学物理学中的应用………397函数的单调性在中学物理学应用及其局限性…………428函数的周期性在中学物理学中的应用…………………46第三章导数和定积分在中学物理学中的应用……501利用导数求某些物理量的变化率问题…………………502利用导数求某些物理量的最值问题……563定积分及其在中学物理学中的应用(选学)……………624极限思想在中学物理学中的应用(选学)………………66第四章不等式在中学物理学中的应用…………721不等式的解法在中学物理学中的应用………………722利用均值不等式求最值在中学物理学中的应用……773判别式在中学物理学中的应用………834线性规划在中学物理学中的应用（选学）…………87第五章三角函数在中学物理学中的应用…………871锐角三角函数在中学物理学中的应用…………………882同角的三角函数之间的关系在中学物理学中的应用…933三角函数的单调性在中学物理学的应用………………1004三角函数的值域在物理学中的应用……1035三角函数的图象在中学物理学中的应用………………1066反三角函数在中学物理学中的运用……1097两角和与差的三角函数公式在物理学中的应用………1168辅助角公式在中学物理学中的应用……1199二倍角公式在物理学中的应用…………12310半角公式在中学物理学中的应用……12611积化和差、和差化积公式的应用（选学）………………12812正弦定理和余弦定理在中学物理学中的应用……………13013三角函数在几何光学中的应用……………138引言中学数学与物理关系一窥数学与物理学的关系可以追溯到古代，早期的数学家和哲学家已经意识到自然界中的许多现象有着内在的规律，而这些规律常常可以通过数学来表达，例如古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙的本质可以用数字和几何来理解.他们的思想为后来的科学发展奠定了基础.到了公元前4世纪，亚里士多德提出的物质四因说则开始转向自然哲学的领域，但直到近现代，数学才成为物理学的主要工具.到了17世纪，牛顿和莱布尼茨几乎同时发展了微积分，这为物理学的数学化奠定了基础.牛顿的《自然哲学的数学原理》一书中，将力学、天文学等自然现象用数学语言加以描述，标志着物理学与数学关系的形成.在牛顿的经典力学框架下，物理学通过精确的数学公式和定律，可以预测物体的运动和天体的轨迹，这种数学与物理学的结合开启了科学革命的新篇章.随着时间的推移，数学与物理学的关系不断深化.从18世纪的哈密顿力学到20世纪的量子力学与相对论，数学不仅仅作为物理学的工具存在，它开始形成物理学的语言和基础.量子力学和相对论的数学结构，展示了数学如何揭示物理世界的深层结构，例如爱因斯坦的相对论用高维空间的几何学来描述重力，而量子力学则借助复数和矩阵理论来描述粒子的行为.这些深奥的数学结构使得物理学的定律能够在更加抽象的层面上得到统一和简化.过往数学家发明了一些数学方法，但不知道有什么用，后来发现可以用来解释黑洞的某些性质,所以我们认为数学具有前瞻性，甚至可以说整个宇宙自然都是按数学方法生成与运行.尽管物理学和数学密切相关，但在现代教育中，这两门学科通常被分开教授，各自形成独立的知识体系和教学方法.这种分离导致学生常常难以看到它们之间的内在联系，无法充分理解一个学科如何滋养和启发另一个学科.正因如此，一些同时精通数学和关心教育的著名数学家，如菲利克斯·克莱因、理查德·柯朗、弗拉基米尔·阿诺德和莫里斯·克莱因，都强烈主张以更贴近物理科学的方式教授数学.阿诺德的观点尤为直接："数学是物理学的一部分，物理学是实验科学的一部分，是实验科学中概念最简单的部分."这话听起来可能有些极端，但他想表达的是：脱离了物理背景和直观理解的纯数学教育，就像"与身体分离的头脑"一样不健全.事实上，许多数学概念最初就是为了解决物理问题而创造的——例如，微积分就是为了理解运动和变化而发明的，而不是为了抽象的极限定义.在科学的浩瀚星空中，物理学与数学如同双生子，彼此交织，相互启发.物理学提供对自然现象的深刻洞察，而数学则为这些洞察提供了严谨的语言和工具.然而，能够真正将两者完美融合，从数学的视角深入剖析物理世界的著作却凤毛麟角.数学家注重严格证明和逻辑结构，而物理学家则更关注概念直觉和应用价值.当学生后续在物理课程中应用这些数学工具时，常常需要调整思维方式，学会用"物理思维"而非"数学思维"来看待这些工具.数学与物理学的关系就像一支优雅的双人舞，时而由数学领舞，引导物理学向新领域探索；时而由物理学主导，促使数学发展新工具和结构.从欧几里得和阿基米德的时代到现代的弦理论和量子计算，这种相互促进的关系持续塑造着人类对自然界的更深理解.物理学是一门优美的学科，也是一门非常艰深的学科.它提供了对世界的一种理解，一种普适、准确、简洁、时而直观时而晦涩的图景.理解它不是一件容易的事情，但一定是一件值得付出努力的事情.学生从高中毕业后，他们中的大多数可能将告别物理，所学的物理知识终究会被忘记，到那时再回头审视一下：物理留给他们的还有些什么呢？如果在他们的身上，体现不出物理所给予的才智与启迪，那将是物理教学的失败.由此看来，具体的知识通常是作为教学的载体，在知识的背后还有更多值得我们去追求的东西，那种将物理教学等同于物理知识教学的看法是偏面的，以“知识本位”来确立物理教学目标的价值取向是短视的.《面向全体美国人的科学》一书中所说的：“教育的最高目标是为了使人们能够过一个实现自我和负责任的生活作准备.”数学作为一门工具，在高中物理的学习中时时存在数学方法的影子，在解题的过程中，除了面对物理知识的考察和理解外，可能也面临着数学方法、数学知识的考验，而有时数学方法的使用对解题能力的提升起到关键的作用.新的高中物理学科的考试说明对学生的能力考核从五个方面提出了具体的要求：一是理解能力，二是推理能力，三是分析综合能力，四是应用数学知识处理物理问题的能力，五是实验能力，尤其是创新实验能力.其中对应用数学知识处理物理问题的能力具体说明是：要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行相关推导和求解，并根据计算结果得出物理结论；必要时能灵活运用几何图形、图像或函数关系式进行表达、分析.物理学利用种种数学表述手段为理论和实践开辟道路、使物理学的结论可随时加以严格检验.高中物理重视定量分析，要用到数学方面的知识，数学基础的好坏直接影响着物理成绩的高低.比如在谈到力的正交分解时要涉及到平面直角坐标系和三角函数的知识.而匀变速直线运动的规律中就是一次函数和二次函数及有关图象的斜率问题.还有研究电磁感应的感应电流和感应电压时，也经常用函数图象来表示，例如在力学中，我们可以从不同角度来研究力的作用效应，每种效应分别对应相应的规律，这便构成了力学的三条主线.力的瞬时作用效应，是使物体产生相应的加速度，对应规律牛顿第二定律F=ma的数学表达式.力的时间积累效应，是使物体的动量发生改变，对应规律动量定理F·t=P＇-P的数学表达式.力的空间积累效应，是使物体的动能发生改变，对应规律动能定理W=EK2-EK1的数学表达式.我们要训练学生从实际问题的已知条件出发，适当地选择物理规律来解决问题.特别是近几年来高考对数学表达能力的考查要求提高了，所以对一些在高中物理中要用到的数学知识，如一次函数图象、图线的斜率和截距、几何中心、三角函数、解比例、二次函数的极值等等，都有必要进行补充复习和训练，培养和提高数学表达能力.数学是与物理联系最为紧密的学科之一，随着高考改革的深入及素质教育的全面推开，各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，在平时的学习中要随时注重数学知识和物理内容的整合.所谓的思而不学则罔，学而不思则殆，物理的数学和物理的哲学分别就是学与思.运用数学工具解决物理问题的能力，主要指两个方面.一是从物理现象与过程出发，经过概括、抽象，把物理问题转化为数学问题；二是综合运用数学知识，例如比例关系、函数关系、不等式关系、几何关系、极值关系等，正确、简洁地进行有关问题的求解.数学知识不仅是解决物理问题的工具，本身也是一种物理思维方法.具体地讲，物理中考查的主要数学方法有：1.图象处理能力(1)给定图象图表信息，要求学生提取信息并处理，寻找规律.每年的物理试题中都会有大量的图表图例，包括示意图、各种规律图象、数据列表等，尤其是是些空间立体示意图，要求学生从这些图表图象示意图中获取相关的信息--即读图的能力；(2)用图象描述物理规律.要求学生用图象来描述物理现象、物理规律、计算结果等.如描述线框进入有界磁场区域时切割磁感线产生的感应电流或感应电动势随时间的变化图线(全国高考多次考查，是学生的难点)，实验题中的描点连线等；(3)用图象法解决物理问题.图象法解题属于物理解题方法与技巧，是一种非常好的物理思维方法.如速度-时间图象、位移-时间图象、加速度-时间图象、磁通量-时间图象、感应电流或电动势-时间图象、分子力-分子间距离图象、分子势能-分子间距离图象、弹簧弹力-变化量图象等，由于这些图象能生动形象、一目了然地反映问题，因此，若能巧妙地运用对解题带来很多方便.特别是动力学综合题中运用速度-时间图象是一种很好的辅助方法.(4)辅助法比如运动过程草图、受力分析图、电路图、光路图、原子能级跃迁图等，都是解题过程中的一种辅助手段，若能熟练地画出相应的辅助图，对解题带来很大的帮助.物理学是基于实验的学科.实验中获得的各种数据,是得出结论的直接证据.课程标准要求学生要“知道科学探究会受到各种因素的影响,在实验中能关注主要因素,忽略次要因素;能根据实验数据通过归纳推理获得探究结论;有能判断实验数据是否合理、有效的意识”2.特殊数学思维方法在物理解题中要经常用于一些比较特殊的数学方法，比如数学归纳法(碰撞或往复运动模型中常见)，正弦定理法(静力学三力平衡且三力不是直角三角形时多见)，相似三角法，三角函数极值法，二次函数判别式法(追赶问题、求极值问题等中多见)，不等式法(判断题中多见)，数列和二项式定理(能级跃迁求光子种类等中多见)，数形结合法(力学和电学中多见)，等等.还比如圆的对称性及相关知识的运用就是个重要的物理方法，如带电粒子在电磁场中的运动求半径、求圆心、画运动轨迹、判断相关的角度(如进入磁场边界时的对称性)等，求相关极值，如圆形磁场的最小面积(最大弦长对应最小磁场面积)等.3.估算法在物理学中经常用到估算的办法和近似的办法以及小量的处理办法.美国物理教师协会(AAPT)在1988年发表《中学物理课程内容》的报告中指出：“应当让中学生体验到物理学是一门发展中的科学，是现代前沿科学中最为激励人心的学科之一.”为了体现数学学科的工具性和实用性，加强学科间的渗透，并由此强化对学生的能力考查,秋水文章不染尘是笔者追求的目标，编辑本书时特别注意两点：一不求全，物理学作为一门学科，触及的领域相当的广泛，所涉及的知识面也十分的复杂.由于方程与方程组、锐角的三角函数、比例在物理学中应用得最多，而且在化学课中方程、比例也经常应用，同学们也比较熟悉，不写难以保证其完整性，因此本书略写.陆游在《次韵和杨伯子见赠》中所要求的：“文章最忌百家衣，火龙黼黻（fǔfú）世不知．谁能养气塞天地，吐出自足成虹霓．”对一门学科的一个体系或者一个对象进行研究，所要掌握的数学知识也是要相当丰富的，采取的手段和方法也要准确、有意义.本书选题仅涉及中学物理学中数学问题的冰山一角，难以对浩如烟海的物理学中的数学问题做全面的概括；本书仅仅是提出这些问题抛砖引玉，供同学们思考.有些内容应用频率较低，本书没有单列，例如排列组合在中学物理学中的应用较少，但并不是没有应用，例如原子能级的跃迁发射或者吸收光子的种类为Cn2，其它实例不再列举.著名物理学家巴丁(J.Bardeen)的一段话很有启发性：“处在这日益专业化的时代之中，得以认识到基本物理概念可能应用于一大批看起来五花八门的问题，是令人欣慰的.在理解某一领域所获得的进展常常可以应用于其他领域.这不仅对材料科学的众多领域是确实的，对广义而言的物质结构亦复如此.作为阐述的例证，为理解磁性、超流性和超导性所发展的概念也被推广应用于众多的领域，如核物质，弱与电磁相互作用，高能物理学的夸克结构与众多的液晶相”.二不求难，中学物理学难度之大关键在于大量应用数学知识，笔者仅就大部分学生能够接受的问题进行分析研究，起到抛砖引玉的作用，主要是让学生体会数学与物理学的关系，为将来的学习与研究打下坚实的基础.本书初步归纳出了中学物理学中的几个数学问题，以数学问题为主线展开.为了便于学生阅读，书中涉及的数学知识均为中学数学范围之内,由于涉及高中数学和物理学的全部内容，因此本书适用于高三学生阅读.由于时间仓促，错误在所难免，恳请广大读者给予斧正，联系方式——diancizhiliang@163.com.初中数学在中学物理学中的应用举例1.比例法在中学物理学中的应用所谓比值定义法.就是用两个基本的物理量的“比”来定义一个新的物理量的方法.一般地，比值法定义的基本特点是被定义的物理量往往是反映物质最本质的属性，它不随定义所用的物理量的大小取舍而改变.在初中就有过物质密度的定义，电阻的定义，到高中进一步渗透这种方法，如确定的电场中的某一点的场强就不随q、F而变；电容C的定义，用电荷量Q与电势差U的比值来定义，但电容C是由电容本身决定的，与Q和U无关；到后面的电势、电势差、磁通密度等都用这种方法来定义，当然用来定义的物理量也有一定的条件，如q为点电荷，S为垂直放置于匀强磁场中的一个面积等.类似的比值还有：压强、速度、功率等等，就这样把这种定义物理量的方法渗透在整个物理学中.比例是最基本也是最常用的数学建模方法之一.在物理学中有很多是基于这种方法而得到的公式,例如牛顿第二定律F=ma，虎克定律F=kS，(虎克定律:弹力大小与形变成正比).比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，要清楚公式的物理意义和每个量在公式中的作用，以及所要讨论的比例关系是否成立．同时要注意以下几点．(1)比例条件是否满足．物理过程中的变量往往有多个，讨论某两个量间的比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．(2)比例是否符合物理意义．不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义．(如不能根据R＝eq\f(U,I)认定电阻与电压成正比)(3)比例是否存在．讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量．如果该条件不成立，比例也不能成立．(如在串联电路中，不能认为P＝eq\f(U2,R)中P与R成反比，因为R变化的同时，U也随之变化而并非常量)许多物理量都是用比值法来定义的，常称之为“比值定义”．如密度ρ＝eq\f(m,V)，导体的电阻R＝eq\f(U,I)，电容器的电容C＝eq\f(Q,U)，接触面间的动摩擦因数μ＝eq\f(f,FN)，电场强度E＝eq\f(F,q)等．它们的共同特征是：被定义的物理量是反映物体或物质的属性和特征的，它和定义式中相比的物理量无关．通过数学推理的方法使复杂的计算过程简单化，常遇到有些综合题所反映的物理过程往往比较复杂，其中，有些物理量是并不要求解出的，但它在解题中恰恰又需要，这样的物理量称作中间量.对中间量的处理如果指导学生用数学的方法进行推导，往往这些中间量不但不需要计算出来，甚至还可以不需要在解题过程中体现，可舍去反复套用公式的过程，免去不必要的中间量计算，从而减少大量的计算，使解题既科学又简捷.例1一支刻度均匀，但读数不准的温度计，在1标准大气压下，放入沸水中示数为94℃，放在冰水混合物中示数为4℃，用它测教室温度为22℃，求教室内实际温度.利用数学比例法较为方便，由题意可列比例计算.,解得t=20℃.例2Ａ、Ｂ两球的密度之比是4:3,质量之比是5:3,如果把它们同时浸没在同一种液体之中.它们受到的浮力之比是多少?解析：本题不知质量和密度的具体数值，又不知道浸没在何种液体之中，无法求出两球受到的具体浮力.但是知道质量和密度的关系，要确定它们受到的浮力之比，只有通过已知的比值关系来解决.答：它们的浮力之比是5：4.例3一个物体浸没于煤油中受到的浮力为7.84N，若将它浸没于水中，它受到的浮力为多大？解：由于排开液体体积相同，都等于物体体积，又g为常数，由公式可知与成正比，所以：，得：例4一标有“220V100W”字样的白炽灯泡接入到240V的电路中，其实际功率为多少？解;由于灯丝的电阻R为常数，由公式可知与成正比，所以：,得：例5通过一理想变压器，经同一线路输送相同的电功率P，原线圈的电压U保持不变，输电线路的总电阻为R.当副线圈与原线圈的匝数比为k时，线路损耗的电功率为P1，若将副线圈与原线圈的匝数比提高到nk，线路损耗的电功率为P2，则P1和eq\f(P2,P1)分别为()A.eq\f(PR,kU)，eq\f(1,n)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(P,kU)))eq\s\up12(2)R，eq\f(1,n)C.eq\f(PR,kU)，eq\f(1,n2)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(P,kU)))eq\s\up12(2)R，eq\f(1,n2)【解析】选D.由原副线圈电压比eq\f(U,U′)＝eq\f(1,k)得，副线圈的电压U′＝Uk，线路损耗P1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(P,U′)))eq\s\up12(2)R＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(P,kU)))eq\s\up12(2)R，同理P2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(P,nkU)))eq\s\up12(2)R，eq\f(P2,P1)＝eq\f(1,n2)，故D项正确．例6如图所示，气缸放置在水平平台上，活塞质量为10kg，横截面积50cm2，厚度1cm，气缸全长21cm，大气压强为1×105Pa，当温度为7℃时，活塞封闭的气柱长10cm，若将气缸倒过来放置时，活塞下方的空气能通过平台上的缺口与大气相通.g取10m/s2求：（1）气柱多长？（2）当温度多高时，活塞刚好接触平台（活塞摩擦不计）.（1）先等温变化：P1=P0+=1.2×105Pa，P2=P0-=0.8×105Pa，P1L1=P2L2L2=15cm（2）后等压变化：T2=T1=（273+7）K=280K，L2=15cm，L3=20cm，eq\f(v2,T2)=eq\f(v3,T3)，T3=eq\f(v3,v2)T2=eq\f(L3,L2)T2=373K例7某位溜冰爱好者在岸上从O点由静止开始匀加速助跑，2s后到达岸边A处，接着进入冰面(冰面与岸边基本相平)开始滑行，又经3s停在了冰上的B点，如图甲所示．若该过程中他的位移是x，速度是v，受的合外力是F，机械能是E，则对以上各量随时间变化规律的描述，图乙中正确的是()解析：选BC.溜冰者前2s做匀加速运动，后3s在滑动摩擦力作用下做匀减速运动．设最大速度为vm，则加速度大小之比为eq\f(a1,a2)＝eq\f(t2,t1)＝eq\f(3,2)，由牛顿第二定律，合外力大小之比eq\f(F1,F2)＝eq\f(a1,a2)＝eq\f(3,2)，选项A错误，B、C正确；前2s机械能增大，后3s机械能减小，选项D错误．例8如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1；金星转过的角度为θ2(θ1、θ2均为锐角)，则由此条件可求得()A．水星和金星绕太阳运动的周期之比；B．水星和金星的密度之比C．水星和金星到太阳的距离之比；D．水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比【解析】选ACD.设水星、金星的公转周期分别为T1、T2，eq\f(2π,T1)t＝θ1，eq\f(2π,T2)t＝θ2，eq\f(T1,T2)＝eq\f(θ2,θ1)，A正确．因不知两星质量和半径，密度之比不能求，B错误．由开普勒第三定律，eq\f(Teq\o\al(2,1),Req\o\al(3,1))＝eq\f(Teq\o\al(2,2),Req\o\al(3,2))，eq\f(R1,R2)＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ2,θ1)))\s\up12(2))，故C正确．a1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T1)))eq\s\up12(2)R1，a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)))eq\s\up12(2)R2，所以eq\f(a1,a2)＝eq\r(3,\f(θeq\o\al(4,1),θeq\o\al(4,2)))，D正确．例8如图所式，矩形MNPQ区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，有5个带点粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁场，在纸面内做匀速圆周运动，运动轨迹为相应的圆弧，，这些粒子的质量，电荷量以及速度大小如下表所示.由以上信息可知，从图中abc处进入的粒子对应表中的编号分别为A.3,5,4B.4,2,5C.5,3,2D.2,4,5【答案】D【解析】根据半径公式结合表格中数据可求得1—5各组粒子的半径之比依次为0.5︰2︰3︰3︰2，说明第一组正粒子的半径最小，该粒子从MQ边界进入磁场逆时针运动.由图a、b粒子进入磁场也是逆时针运动，则都为正电荷，而且a、b粒子的半径比为2︰3，则a一定是第2组粒子，b是第4组粒子.c顺时针运动，都为负电荷，半径与a相等是第5组粒子.正确答案D例9.某学校航模社团在某次模拟火箭低空飞行回收实验中，将问题简化.火箭上升到最大高度后从48m高度处由静止开始先竖直向下做匀加速直线运动，接着竖直向下做匀减速直线运动，成功降落地面时速度为零.已知火箭向下加速的时间为2s，火箭向下运动的最大速度大小为12m/s，重力加速度g取10m/s2，不计火箭质量的变化和空气阻力，求：（1）竖直向下运动的总时间；（2）匀加速阶段加速度大小与匀减速阶段加速度大小之比.【答案】（1）；（2）【详解】（1）设向下做匀加速直线运动时间为，匀减速运动时间为，最大速度为，总位移为，则根据匀变速直线运动规律可得，代入题中数据，解得则竖直向下运动的总时间（2）匀加速阶段加速度大小匀减速阶段加速度大小则匀加速阶段加速度大小与匀减速阶段加速度大小之比为例10如图为一物体在水平面上的运动的速度-时间图像，已知物体在3t时刻返回出发点，有关该物体的运动以下说法正确的是（）A.0~t时间内的加速度大小与t~3t时间内加速度大小之比为1：3B.t=2t时刻的速度为C.在0~3t时间内物体距离出发点最远距离为.D.返回出发点时的速度大小为-2v0【答案】BC【解析】A．设3t时刻速度为，结合v-t图像的图像面积表示位移质点在0～t的位移为根据平均速度公式可知，t～3t的位移为因为，解得图像的斜率表示加速度在0～t内，t~3t时间内所以0~t时间内加速度大小与t~3t时间内加速度大小之比为4：5，故A错误；B．t=2t时刻的速度为.故B正确；C．当速度零时，时刻为，解得在0~3t时间内物体距离出发点最远距离为.故C正确；D．返回出发点时的速度为.故D错误.故选BC.在实际运用中有很多内容，譬如对于存在某种比例关系的物理量之间，运用比例求解往往可使过程简化.海王星发现过程的曲折，也许更能够反映科学发现开始的试凑路径.在1821年，AlexisBouvard出版了天王星的轨道表，随后的观测显示出与表中的位置有越来越大的偏差，使得Bouvard假设有一个摄动体存在.但是这颗新的行星在什么地方，要发现它，想来就像大海捞针一样困难.物理这门科学的基础性和实在性，从其英文的词源就可以看出来.physics和最重要的动词be同源，均来自于古印欧语bheue，其含义是“存在”、“生长”.这个词后来分化的一支演变成古希腊语的physikos、拉丁语的physica，以及英语的physics，意思是对自然的研究.它分化的另外一支演变成be，而“存在”正是其基本含义之一.从字面上看，physics包含了所有对存在事物的研究.中文以“物理”来表达physics是非常贴切的.1820年奥斯特(HansChristianOersted，1777—1851)发现电流能使其附近的小磁针偏转，这一发现使整个欧洲科学界大为振奋，带来的结果之一是安培(1775—1836)关于“超距作用(actionatadistance)”的成功理论.在英格兰法拉第(1791—1867)也因为奥斯特的发现而激动不已，但他缺乏足够的数学训练，所以无法理解安培的工作.在1822年9月3日写给安培的一封信中，法拉第叹息道：“很不幸，我不具备足够的数学知识，也不具备自如地进行抽象推理的能力.我只能从那些相互密切关联着的事实中摸索出自己的道路.”麦克斯韦认为：自然科学的皇后是数学.把数学分析和实验研究联合使用所得到的物理知识,比之一个单纯实验人员或单纯的数学家能具有的知识更坚实,有益和巩固.2.力学中的方程与方程组应用举例物理学是研究物质运动中最基本最普遍的形式,但这些运动又普遍的存在于其它高级的,复杂的运动形式之中.因此可以认为,物理学是一切自然科学的基础.又是当代工程技术的重大理论支柱,这已是物理学的三次大突破,从而引起的三次工业革命的历史所应证.物理学是人类巨大的精神财富的宝地,在这块宝地上不仅结出了震撼世界的花朵,而且孕育了牛顿,爱因斯坦等科学巨匠，所以这块宝地很值得我们去开垦,这些精神财富值得我们去挖掘,去研究.物理学最初是从对力学运动规律的研究发展起来的，它是通过严密的归纳和演绎，运用微积分及微分方程等数学工具，建立起来的统领经典力学的系统理论体系.它的成熟与发展强有力地推动着现代科学和工程技术的发展，例如伽利略和惠更斯关于单摆的研究，为人们精确测量时间开辟了道路，开启了后来整个钟表工业领域；瓦特的离心调速器，是蒸汽机之所以能普遍应用的关键，使蒸汽机成为现代工业的动力；齐奥尔科夫斯基的变质量力学，是火箭运动和航天学的理论基础，开启了宇宙航行的新篇章.到20世纪末，人类在社会实践和对自然科学的研究中，对各种各样的系统、体系的事物、现象建立了多种的数学方程和解法，真可谓走进了方程村，走进了方程林.其中著名的牛顿力学方程、麦克斯韦电磁场方程、爱因斯坦广义相对论方程、薛定谔量子力学方程、杨振宁规范方程以及大统一方程、超大统一方程、超弦方程和混沌、孤波、分形等一类非线性科学方程.在牛顿的《自然哲学的数学原理》的序言中写到：“自然的一切现象，完全可以根据力学的原理用相似的推理一一演示出来.由于古代人在研究自然事物方面，把力学看得最为重要，而现代人则抛弃实体形式与隐秘的质，力图将自然现象诉诸数学定律，所以我将在本书中致力于发展与哲学相关的数学.”在《伯克利物理学教程》第Ⅰ卷力学的序言中写到“一个学生如果清楚地理解了力学中所阐述的基本物理内容，即使他（她）还不能在复杂的情形下运用自如，他（她）也克服了学习物理学的大部分真正的困难了”.力学作为一门经典的学科，一开始就同人们的生活和生产紧密相关.中学阶段所学习的力学知识，不但是为后续课程打基础，也是为毕业后参加生产劳动做准备.力学是物理学的有机组成部分，它在物理学中占重要的位置，并且对天文学及各种工程学都有极大的贡献.我国古代在力学方面就已有了很多伟大的成就.希腊的亚里士多德--他在重心、杠杆、浮力等方面均有建树，为静力学的发展奠定了基础.15世纪以后，欧洲兴起了文艺复兴使力学进入了一个空前未有的发展阶段.在15世纪到18世纪内逐步建立了比较完整的力学系统理论.首先应提到哥白尼，他提出了日心学说引起了宇宙观的大革命；开普勒总结了行星运动之定律；伽利略研究了落体和斜面运动的规律，提出了加速度的概念，并第一次正确认识到加速度与外部作用的关系，为动力学的发展奠定了基础.牛顿的《原理》无疑是物理学史中第一部划时代的著作.他第一次用实验、观察、假设和推理形成了完整的理论体系揭示相互作用和运动的关系，而不限于对个别的现象和过程的描述.他运用微积分这一最为恰当的数学工具刻画力学规律，从而使人们通过相互作用和运动状态的瞬时关系去认识全过程.力学是研究物质机械运动规律的一门科学.力学在整个中学物理教材中占有很重要的地位.首先，力学是物理学的基础.物质的机械运动是一切运动形式中最基本、最普遍的运动形式；每一种较高级、较复杂的运动形式都包含着简单的机械运动.在中学物理中，力学中的一些基本概念，如力、质量、功和能的概念，以及力学的一些基本规律，如牛顿运动定律、动量守恒定律、能的转化和守恒定律等，是物理学最基本、最重要的概念和规律，它们在物理学中贯穿始终.研究力学的基本方法--以观察、实验为基础，抽象、概括出物理规律，把实验同数学方法紧密结合起来，运用图像、数学语言、数学推理来表示和论证物理规律，运用理论知识分析实际问题等等，这也是学习物理学其它部分所必需的.总之，力学知识及其研究问题的方法，在后继课程中用处很大.其次，力学知识最早起源于对自然现象的观察和在生产劳动中的经验.人们在建筑、灌溉等劳动中使用杠杆、斜面、汲水器具，逐渐积累起对平衡物体受力情况的认识.古希腊的阿基米德对杠杆平衡、物体重心位置、物体在水中受到的浮力等作了系统研究，确定它们的基本规律，初步奠定了静力学即平衡理论的基础.古代人还从对日、月运行的观察和弓箭、车轮等的使用中了解一些简单的运动规律，如匀速的移动和转动.伽利略在实验研究和理论分析的基础上，最早阐明自由落体运动的规律，提出加速度的概念.牛顿继承和发展前人的研究成果（特别是开普勒的行星运动三定律），提出物体运动三定律.伽利略、牛顿奠定了动力学的基础.牛顿运动定律的建立标志着力学开始成为一门科学.它虽然是一门古老的学科，但今天仍富有旺盛的生命力.打好经典力学基础，对于进一步学习物理学及其它现代科学技术和生产知识，是必不可少的准备.第三，力学部分在中学物理教材中讨论得比较详细、系统和完整，这从教学法观点及学生的学习效果看来也是可取的.因此，一般的中学物理教材，都把力学作为整个教材的重点，要求学生对整个力学部分的内容掌握的比较牢固，对力学的基本概念与规律，要求做出一定的定量的分析和描述.这也给培养学生实验，逻辑思维和数学运算等三方面能力提供了充分的机会.从学时上来看，力学占整个中学物理教材比重的三分之一强，这也充分说明了它的重要地位和作用.《九章算术》卷八云：“程，课程也.群物总杂，各列有数，总言其实.令每行为率.二物者再程，三物者三程，皆如物数程之.并列为行，故谓之方程.行之左右无所同存，且为有所据而言耳.此都术也，以空言难晓，故特系之禾以决之.又列中、左行如右行也”.例1一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面．如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y＝eq\f(1,2h)x2，探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.(1)求此人落到坡面时的动能；(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？【解析】(1)设该队员在空中运动的时间为t，在坡面落点的横坐标为x，纵坐标为y.由运动学公式和已知条件得x＝v0t①，2h－y＝eq\f(1,2)gt2②根据题意有y＝eq\f(x2,2h)③由机械能守恒，落到坡面时的动能为eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＋mg(2h－y)④联立①②③④式得eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(veq\o\al(2,0)＋\f(4g2h2,veq\o\al(2,0)＋gh))).⑤(2)⑤式可以改写为v2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(veq\o\al(2,0)＋gh)－\f(2gh,\r(veq\o\al(2,0)＋gh))))eq\s\up12(2)＋3gh⑥v2的极小的条件为⑥式中的平方项等于0，由此得v0＝eq\r(gh)⑦此时v2＝3gh，则最小动能为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)mv2))eq\s\do7(min)＝eq\f(3,2)mgh.⑧【答案】eq\f(1,2)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(veq\o\al(2,0)＋\f(4g2h2,veq\o\al(2,0)＋gh)))(2)eq\r(gh)eq\f(3,2)mgh例2假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A．1－eq\f(d,R)B．1＋eq\f(d,R)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))eq\s\up12(2)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))eq\s\up12(2)【解析】选A.由万有引力定律，地面处质量为m的物体重力为：mg＝eq\f(GMm,R2)①，g为地面处重力加速度，M为地球质量，则M＝ρeq\f(4,3)πR3②，ρ为地球密度，由题中信息知该物体在矿井底部重力为：mg′＝eq\f(GM′m,（R－d）2)③，g′为矿井底部的重力加速度且M′＝eq\f(4,3)πρ(R－d)3④.联立①②③④得：eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，故A项正确．例3如图所示，固定放置的竖直斜面AB的下端与光滑的圆弧BCD的B点相切，圆弧轨道的半径R=0.5m，圆心0与A、D在同一水平面上，角COB=370，现有质量为m=0.1kg的小物体从距D点h=0.2R的地方无初速的释放，已知物体恰能从D点进入圆轨道．(重力加速度g=10m／s2)求：(1)为使物体不会从A点冲出斜面，物体与斜面间的动摩擦因数至少为多少?(2)若物体与斜面间的动摩擦因数=0.25，求物体在斜面上通过的总路程.(3)在(2)的条件下，小物体通过圆弧轨道最低点C时，对C的最小压力是多少?CCA为使小物体不会从A点冲出斜面，由动能定理得①,解得动摩擦因数至少为：②（2）分析运动过程可得，最终小物体将从B点开始做往复的运动，由动能定理得③解得小物体在斜面上通过的总路程为：④由于小物体第一次通过最低点时速度最大，此时压力最大，由动能定理，得⑤，由牛顿第二定律，得⑥联立⑤⑥，解得⑦最终小物体将从B点开始做往复的运动，则有⑧⑨联立⑧⑨，解得⑩由牛顿第三定律，得小物体通过圆弧轨道最低点C时对C的最大压力⑾最小压力⑿例4如图所示，静止放在水平桌面上的纸带，其上有一质量为m=0.1kg的铁块，它与纸带右端的距离为L=0.5m，所有接触面之间的动摩擦因数相同.现用水平向左的恒力，经2s时间将纸带从铁块下抽出，当纸带全部抽出时铁块恰好到达桌面边缘且速度为v=2m/s.已知桌面高度为H=0.8m，不计纸带重力，铁块视为质点.重力加速度g取10m/s2，求：（1）铁块抛出后落地点离抛出点的水平距离；（2）动摩擦因数；（3）纸带抽出过程中系统产生的内能.解：（1）设铁块离开桌面后经时间t落地水平方向：x＝vt①，竖直方向：H＝eq\f(1,2)gt2②，由①②联立解得：x=0．8m．（2）设铁块的加速度为a1，运动时间为，由牛顿第二定律，得μmg＝ma1③纸带抽出时，铁块的速度v＝a1t1④，③④联立解得μ=0．1．（3）铁块的位移x1＝eq\f(1,2)a1t12⑤，设纸带的位移为x2；由题意知，x2－x1＝L⑥由功能关系可得纸带抽出过程中系统产生的内能E＝μmgx2＋μmgL⑦由③④⑤⑥⑦联立解得E＝0．3J例5一质量m=200kg，高2.00m的薄底大金属桶倒扣在宽广的水池底部，如图所示.桶的内横截面积S=0.500m2，桶壁加桶底的体积为V0=2.50×10－2m3.桶内封有高度为l=0.200m的空气.池深H0=20.0m，大气压强p0=10.00m水柱高，水的密度ρ=1.000×103kg/m3，重力加速度取g=10.00m/s2.若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底到达水面处，求绳子拉力对桶所需何等的最小功为多少焦耳？（结果要保留三位有效数字）.不计水的阻力，设水温很低，不计其饱和蒸汽压的影响.并设水温上下均匀且保持不变.解析：当桶沉到池底时，桶自身重力大于浮力.在绳子的作用下桶被缓慢提高过程中，桶内气体体积逐步增加，排开水的体积也逐步增加，桶受到的浮力也逐渐增加，绳子的拉力逐渐减小，当桶受到的浮力等于重力时，即绳子拉力恰好减为零时，桶将处于不稳定平衡的状态，因为若有一扰动使桶略有上升，则浮力大于重力，无需绳的拉力，桶就会自动浮起，而不需再拉绳.因此绳对桶的拉力所需做的最小功等于将桶从池底缓慢地提高到浮力等于重力的位置时绳子拉桶所做的功.甲设浮力等于重力的不稳定平衡位置到池底的距离为H，桶内气体的厚度为l′，如图甲所示.因为总的浮力等于桶的重力mg，因而有：ρ(l′S+V0)g=mg，有：l′=0.350m①在桶由池底上升高度H到达不稳定平衡位置的过程中，桶内气体做等温变化，由玻意耳定律得：［p0+H0－H－(l0－l′)］l′S=［p0+H0－(l0－l′)］lS②由①、②两式可得：H=12.240m③由③式可知H＜（H0－l′），所以桶由池底到达不稳定平衡位置时，整个桶仍浸在水中.由上分析可知，绳子的拉力在整个过程中是一个变力.对于变力做功，可以通过分析水和桶组成的系统的能量变化的关系来求解：先求出桶内池底缓慢地提高了H高度后的总机械能量ΔE.ΔE由三部分组成：（1）桶的重力势能增量：ΔE1=mgH④（2）由于桶本身体积在不同高度处排开水的势能不同所产生的机械能的改变量ΔE2，可认为在H高度时桶本身体积所排开的水是去填充桶在池底时桶所占有的空间，这时水的重力势能减少了.所以：ΔE2=－ρgV0H⑤（3）由于桶内气体在不同高度处所排开水的势能不同所产生的机械能的改变ΔE3，由于桶内气体体积膨胀，因而桶在H高度时桶本身空气所排开的水可分为两部分：一部分可看为填充桶在池底时空气所占空间，体积为lS的水，这部分水增加的重力势能为：ΔE3=－ρgHlS⑥.另一部分体积为(l′－l)S的水上升到水池表面，这部分水上升的平均高度为：H0－H－l0+l+，增加的重力势能为：ΔE32=ρgS(l′－l)［H0－H－l0+l+］⑦由整个系统的功能关系得，绳子拉力所需做的最小功为：WT=ΔE⑧.将④、⑤、⑥、⑦式代入⑧式得：WT=ρgS［(l′－l)(H0－l0)+］⑨将有关数据代入⑨式计算，并取三位有效数字，可得：WT=1.37×104J例6如下图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动（笔者注：严格讲为椭圆），星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧.引力常数为G.（1）求两星球做圆周运动的周期.（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2.已知地球和月球的质量分别为5．98×1024kg和7．35×1022kg.求T2与T1两者平方之比.（结果保留3位小数）解析：⑴A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等.且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期.因此有：，，连立解得，，对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得，化简得：.⑵将地月看成双星，由⑴得，将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得，化简得：.所以两种周期的平方比值为.通过计算说明，二者的数值差距不大，地球质量比月球质量明显大，质心与地心距离近，月球的轨迹接近圆，但是地月系统看做是双星现象才抓住了事物的本质，这样才满足对称性原理.例7月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他们都围绕月球连线上某点O做匀速圆周运动.据此观点，可知月球与地球绕O点运动生物线速度大小之比约为A．1：6400B.1:80C.80:1D:6400:1【解析】月球和地球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等.且月球和地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期.因此有，所以，线速度和质量成反比，正确答案C.例8银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由于文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为（D）A．B． C． D．笔者认为，上面的题目说双星大约占1/4是错误的，实际上应该都是双星现象，当两个星体的质量差距很大时，质量较大的星体运动范围较小，难以观察.例9.地月系统的拉格朗日点的计算图1拉格朗日点设地球质量为M,月球质量为m，小物体质量为C，地球与小物体距离为L,月球与其距离为l，小物体受力平衡，对L1点有：(1)其中G为万有引力常数,为月球绕地球旋转的角速度.设R为日月距，且（2）（2）代入（1）得：(3)又(4)所以：(5)(3)式进一步化简，得：（6）因a很小，故舍弃左边括号中a的二次方项，得：（7）右边1-a接近于1，舍弃，得：(8)这一公式对任意这类系统都成立.对L2.L3点有：(9)(10)可解得L2、L3各自的L、l值.对L4、L5点，M对C引力可分为两部分：F1与m对C引力大小相等，夹角为600，其合力F使C沿M与m连线做瞬时定轴转动，剩下的F2部分提供C与m一起绕M转动的向心力.，得：例10.如图所示，质量为mB=1kg的物块B通过轻弹簧和质量为mc=1kg的物块C相连并竖直放置在水平地面上，系统处于静止状态，弹簧的压缩量为x0=0.1m，另一质量为mA=1kg的物块A从距平衡位置也为x0处由静止释放，A、B相碰后立即粘合为一个整体，并以相同的速度向下运动.已知三个物块均可视为质点，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度g=10m/s2，空气阻力可忽略不计.求：（1）A、B相碰后的瞬间，整体共同速度v的大小；（2）A、B相碰后，整体以a=5m/s2的加速度向下加速运动时，地面对物块C的支持力FN；（3）若要A、B碰后物块C能够离开地面，物块A由静止释放位置距物块B的高度最小值h多大.解析：（1）对A应用动能定理有A与B碰撞粘合动量守恒，取A的速度方向为正方向代入数据解得（2）A与B整体应用牛顿第二定律

对受力分析得解得，方向竖直向上（3）根据动能定理有，碰后C恰好能离开地面弹簧伸长量也为x0，初态弹性势能等于末态弹性势能据能量守恒解得例11.泥石流是在雨季由于暴雨、洪水将含有沙石且松软的土质山体经饱和稀释后形成的洪流.石流流动的全过程虽然只有很短时间，但由于其高速前进，具有强大的能量，因而破坏性极大.某课题小组对泥石流的威力进行了模拟研究，他们设计了如图甲所示的模型：在水平地面上放置一个质量为m＝4kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随位移变化如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数为μ＝0.5，g＝10m/s2.则：（1）物体在运动过程中的最大加速度为多少？（2）在距出发点多远处，物体的速度达到最大？（3）物体在水平面上运动的最大位移是多少？解析：（1）当推力F最大时，加速度最大，由牛顿第二定律，得可解得（2）由图象可知，随变化的函数方程为速度最大时，合力为0，即，所以（3）位移最大时，末速度一定为0，由动能定理可得由图象可知，力做的功为.所以例12.中国科技迅猛发展，AI智能驾驶使得汽车具有自动测速和自动跟车调速功能.如图所示，两辆智能汽车在平直公路上同向行驶，前车B的速度为后车A的速度为时刻A向前车B发射一超声波脉冲信号，脉冲信号被前车反射后在t=0.34s被后车接收到，后车立刻启动刹车系统，刹车的加速度大小为到两车速度相等时停止刹车，已知超声波在空气中的传播速度为340m/s，求：（1）后车刹车时两车之间的距离；（2）两车速度大小相等时两车之间的距离.【答案】（1）55.8m；（2）30.8m【解析】【详解】（1）设A车发射声波到B车接收声波时间为t1，B反射后到A接收声波的时间为t2，声波由发射到接收的过程中，由图可知，则两车距离为，代入数据解得m（2）设经过t3两车共速，则有该过程A车的位移为，B车的位移为，两车的距离为，代入数据解得m例13如图，质量为、内壁半径为且内壁光滑、可自由移动的小车放在光滑水平地面上，质量为的小物块（可视为质点）置于斜面右侧顶端，用外力使两者均静止.现同时释放两者使其从静止开始运动，不计所有摩擦，已知重力加速度大小为.小物块沿小车的斜面下滑到最低点的过程中：（1）由动量守恒的条件判断两者组成的系统动量是否守恒？证明你的结论．（2）求小车移动的距离；（3）求小物块通过最低点时的速率.（1）系统动量守恒条件为：系统不受外力或外力矢量和为0.本题中两者组成的系统所受外力矢量和不为0，故动量不守恒.证明如下：如图所示，在运动过程中某时刻小球加速度方向如图所示.把加速度和支持力分解为水平和竖直方向，由牛顿第二定律可得：对斜面体，在竖直方向有：，由牛顿第三定律可知：.联立解得：可见，两者组成的系统所受外力矢量和不为0，故系统动量不守恒.（当然，水平方向不受外力，系统水平动量守恒.）（2）因为两者组成的系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒.设任一时刻两者水平速度大小分别为和，则有：，取一段极短时间，可认为这段时间内两都水平速度均不变，故有：，即，同理，有：全部相加，得又因两者位置关系，有：，联立两式解得：（3）设到最低点时两者速度大小分别为和，两者运动过程中，系统水平动量守恒，机械能守恒，有：，解得：例14.如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向.小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定.一质量的小球自Q点正上方处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起.当弹簧拉力达到时，b解除锁定开始运动.已知a的质量，b的质量，方形物体的质量，重力加速度大小，弹簧的劲度系数，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力.求：（1）小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小、；（2）弹簧弹性势能最大时，b的速度大小及弹性势能的最大值.【答案】（1），水平向左，，水平向右.（2），水平向左，【解析】【小问1详解】根据题意可知，小球从开始下落到处过程中，水平方向上动量守恒，则有由能量守恒定律有，联立解得，即小球速度为，方向水平向左，大物块速度为，方向水平向右.【小问2详解】由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块水平方向上动量守恒，则有解得设当弹簧形变量为时物块的固定解除，此时小球和物块的速度为，根据胡克定律系统机械能守恒联立解得，固定解除之后，小球、物块和物块组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有解得，方向水平向左.由能量守恒定律可得，最大弹性势能为爱因斯坦注重数学的方法，如果他不注重数学方法的运用，他的任何一项科学研究都将搁浅.狭义相对论和广义相对论的成功表述，在于他正确地选择了数学方法，如在等效原理提出后，爱因斯坦曾苦于找不到适当的数学方法推进研究.为了寻求合理的数学形式保持在任意坐标下的协变性，他请教了老同学苏黎世工业大学数学教授格罗斯曼，格罗斯曼向爱因斯坦推荐“绝对微分学”.利用“绝对微分学”，爱因斯坦便尝试着建立起一个满足在任意坐标变换下的引力场方程.爱因斯坦提出了广义相对论促进了整个微分几何的发展；反之，微分几何的高度发展，又使人们可以更为理性和逻辑地思考问题.分析力学是理论力学的一个分支，它以虚功原理和达朗贝尔原理为基础，利用标量形式的广义坐标来代替矢量力学的矢径，将对能量和功的分析来代替矢量力学中对力和力矩的分析，从而有可能利用纯粹数学分析的方法导出基本的运动微分方程，并研究这些方程的本身和积分方法.它是独立于牛顿力学的另一种描述力学世界的体系，且表达式也是对经典力学的高度数学化的表达.自然优美、和谐统一、简洁明了和对称工整是自然规律的首选形式.追求自然的和谐统一是科学思想观的出发点，遵于此，科学理论的形式也追求简单明了、形式优美的方式构建物理理论，比如日心说、引力理论和规范场论等.3.稳恒电流中方程与方程组问题电学综合题的特点：电路中接有多只开关或滑动变阻器，通过开关的断开、闭合或滑动变阻器的滑片的移动来改变电路结构.解答这类型题的方法：分析电路结构，正确画出各状态的等效电路图，熟练掌握串、并联电路的特点，灵活运用电学计算公式，根据题中隐藏的等式或题中已给的等式列出有关的方程或方程组.通常串联电路;并联电路的特点均可作为列方程的依据；除此外状态不同的电路可根据电源电压不变列方程.如果选用几个公式方程联立成方程组作解题方程时：优选乘积形式的公式.如欧姆定律公式基本形式I=U/R、电压变形式U=IR、电阻变形式R=U/I三种.其中U=IR呈乘积形式，属于整式方程.解题方程的组合类型.从众多的方程组优选出结构简单且易于解析的方程组.依据是：一、构成方程组的方程数量越少越好；二、方程里未知数的次数、越低越简单；三、整式方程比分式方程简单.四、单项式方程比多项式方程简单.例1如图，U恒定不变.当RW接入R时，定值电阻R0消耗的功率为P0.要使R0消耗的功率为原来的1/4.求：滑动变阻器接入电路的电阻？分析：此题电路连接并不复杂，两电阻串联，题中出现两种状态的电路，分析两种状态下的情况，发现电源电压始终不变，即U=U，可根据此等式列方程.解：方法一：利用U不变列方程图UR0RWW(R+R0)=(R图UR0RWWU=I（R0+R）方法二：U=I'（R0+Rx）I2R0=4I'2方法三：利用.答案：RX=2R+R0例2某电热器内有两根电阻丝，只接第一跟时，电热丝中的水经过12分钟沸腾；只接第二根时，电热丝中的水经过24分钟沸腾.假如两根串联后通电时，问：电热器中的水几分钟沸腾？设电源电压和水的质量不变.（36分钟）分析：题中隐藏的等量关系有：Q1=Q2=Q3且U不变由此列出方程组Q1=U2t1/R1（1）Q2=U2t2/R2（2）Q=U2t/（R1+R2）（3）另外，还可根据串联电路的特点：R=R1+R2列方程，把（1）、（2）、（3）式代入此式更加简变例3如图所示电路中，R1为定值电阻，R2最大阻值为36欧的滑动变阻器，电源电压不变.当滑片P在a端时，R1上消耗的电功率为P1，电压表的示数为9伏特.求：（1）此时R2上消耗的功率P2是多少？（2）当滑片滑至b端时，R1上消耗的功率为P1‘=16P1.问：该电源的电压是多少？（2.25W,12V）分析：当滑片P滑至b点时P'=U2/R1(1)当滑片P滑至a点时P=U12/R1(2)PaR2PaR2bVR1A图UR12R2V图2例4如图2，滑动变阻器R2的滑片置于阻值最大处时，电压表的示数是4V.将变阻器的滑片P向左滑动使UR12R2V图2（1）电源电压（2）R2消耗的功率是原来的几倍？U=U1+U2R2/R1=4V+4V·R2/R1(1)U=U1'+U2'R2/R1=8V+8V·R2/R1(2)答案：U=12V，1瓦例5．一灯泡与一电阻串联接入电路，当灯泡正常发光时电阻消耗的功率为P’，当单独将这一电阻接入同一电路时，它消耗的功率为P，求灯泡的额定功率.U2/R=PP'=I2R=（）2R[PL='-P']例6．如图电源电压不变，当S闭合时，L1所消耗的功率为50瓦；当S断开时，L2所消耗的功率为8瓦，且比此时L1所消耗的功率小，求：L2L1S当S断开时L1的实际功率.（32瓦）SU2/R1=50（P+8/U）R=P例7随着航空领域的发展，实现火箭回收利用，成为了各国都在重点突破的技术.其中有一技术难题是回收时如何减缓对地的碰撞，为此设计师在返回火箭的底盘安装了电磁缓冲装置.该装置的主要部件有两部分：①缓冲滑块，由高强绝缘材料制成，其内部边缘绕有闭合单匝正方形线圈abcd；②火箭主体，包括绝缘光滑缓冲轨道MN、PQ和超导线圈（图中未画出），超导线圈能产生方向垂直于整个缓冲轨道平面的匀强磁场.当缓冲滑块接触地面时，滑块立即停止运动，此后线圈与火箭主体中的磁场相互作用，火箭主体一直做减速运动直至达到软着陆要求的速度，从而实现缓冲.现已知缓冲滑块竖直向下撞向地面时，火箭主体的速度大小为v0，经过时间t火箭着陆，此时火箭速度为v′；线圈abcd的电阻为R，其余电阻忽略不计；ab边长为l，火箭主体质量为m，匀强磁场的磁感应强度大小为B，重力加速度为g，一切摩擦阻力不计，求：（1）缓冲滑块刚停止运动时，线圈ab边两端的电势差Uab；（2）缓冲滑块刚停止运动时，火箭主体的加速度大小；（3）火箭主体的速度从v0减到v′的过程中系统产生的电能.解析：（1）ab边产生电动势E＝Blv0因此（2）安培力电流为对火箭主体受力分析可得Fab－mg＝ma解得（3）设下落t时间内火箭下落的高度为h，对火箭主体由动量定理mgt－＝mv′－mv0（1分）即mgt－＝mv′－mv0，化简得h＝根据能量守恒定律，产生的电能为E＝代入数据可得随着航空领域的发展，实现火箭回收利用，成为了各国都在重点突破的技术.其中有一技术难题是回收时如何减缓对地的碰撞，为此设计师在返回火箭的底盘安装了电磁缓冲装置.该装置的主要部件有两部分：①缓冲滑块，由高强绝缘材料制成，其内部边缘绕有闭合单匝正方形线圈abcd；②火箭主体，包括绝缘光滑缓冲轨道MN、PQ和超导线圈（图中未画出），超导线圈能产生方向垂直于整个缓冲轨道平面的匀强磁场.当缓冲滑块接触地面时，滑块立即停止运动，此后线圈与火箭主体中的磁场相互作用，火箭主体一直做减速运动直至达到软着陆要求的速度，从而实现缓冲.现已知缓冲滑块竖直向下撞向地面时，火箭主体的速度大小为v0，经过时间t火箭着陆，此时火箭速度为v′；线圈abcd的电阻为R，其余电阻忽略不计；ab边长为l，火箭主体质量为m，匀强磁场的磁感应强度大小为B，重力加速度为g，一切摩擦阻力不计，求：（1）缓冲滑块刚停止运动时，线圈ab边两端的电势差Uab；（2）缓冲滑块刚停止运动时，火箭主体的加速度大小；（3）火箭主体的速度从v0减到v′的过程中系统产生的电能.

【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）ab边产生电动势E＝Blv0（2分）因此（1分）（2）安培力电流为（1分）对火箭主体受力分析可得Fab－mg＝ma（1分）解得（1分）（3）设下落t时间内火箭下落的高度为h，对火箭主体由动量定理mgt－＝mv′－mv0（1分）即mgt－＝mv′－mv0，化简得h＝根据能量守恒定律，产生的电能为E＝（1分）代入数据可得（1分）所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程.狄拉克曾经说过：“我想我正是和这一概念（优美的数学）一起来到这个世界上的.如果物理定律在数学形式上不美，那就是一种理论还不够成熟的标志，说明理论有缺陷，需要改进.我没有试图直接解决某一物理问题，而只是试图寻找某种优美的数学.”4.电磁场中的方程与方程组应用举例爱因斯坦说过：“为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠而无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处在被新发现的事实推翻的危险之中….但是数学之所以有高的声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性.没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的.理论科学家在他探索理论时，就不得不愈来愈从纯粹数学的形式考虑，因为实验家的物理经验不能把他提高到最抽象的领域中去.我们这个世界的图景是“可以由音乐的音符组成，也可以由数学的公式组成.目前，我只是全心扑在引力问题上，我现在相信，依靠这里的一位友好的数学家的帮助，我将制服这些困难.但有一点是肯定的，在我整个一生中，我工作得都远不够努力，我已变得非常尊重数学，在此以前，我简单的头脑把数学中精妙的部分当作纯粹的奢侈，与这个问题相比，最初的相对论只是儿戏而已.在物理学中，通向更深入的基本知识的道路是同最精密的数学方法联系着的.从有点象马赫的那种怀疑的经验论出发，经过引力问题，我转变成为一个信仰唯理论的人，也就是说，成为一个到数学的简单性中去寻求真理的唯一可靠源泉的人.逻辑简单的东西，当然不一定就是物理上真实的东西.但是，物理上真实的东西一定是逻辑上简单的东西，也就是说，它在基础上具有统一性.物理学家们说我是数学家，数学家们又把我归为物理工作者.我是一个完全孤立的人，虽然所有人都认识我，却没有多少人真正了解我.不要担心你在数学上遇到的困难；我敢保证我遇到的困难比你还大得多.我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可能想象到的最简单的数学观念的实际体现.我坚信，我们可以用纯粹数学的构造来发现这些概念以及把这些概念联系起来的定律，这些概念和定律是理解自然现象的钥匙.经验可以提示合适的数学概念，但数学概念无论如何却不能从经验中推导出来.当然，经验始终是数学构造的物理效用的惟一判据.但是这种创造的原理却存在于数学之中.因此，在某种意义上，我认为，像古人所梦想的，纯粹思维能够把握实在，这种看法是正确的.数学，这个独立于人类经验存在的人类思维产物，怎么会如此完美地与物理现实中的物质相一致？如果所有(加速)系都等价,那么欧几里得几何就不能对它们都成立.抛弃几何而保留物理定律,就像表达思想而不用语言.我们在表达思想以前必须寻找语言,那么,现在的情况下我们应该寻找什么呢?这个问题,直到1912年我才发现是可以解决的.那时,我突然意识到高斯的曲面理论为解开这个谜提供了钥匙.我感到他的曲面坐标系具有深刻的意义.然而,我还不知道那时黎曼已经用更深刻的方法研究过它的几何基础.我忽然回想起,我当学生时,盖泽尔教的几何课程里就包括了高斯的理论⋯⋯我感到几何基础有物理意义.当我从布拉格回到苏黎世时,我亲爱的朋友、数学家格罗斯曼也在那里.从他那里,我先学了里奇的几何,然后又学黎曼的.于是,我问我的朋友,我的问题能不能用黎曼理论来解决?广义相对论是一个由高斯(Gauss)、黎曼(Riemann)、克里斯托菲(Christof2fel)、里奇(Ricci)和勒维-契维塔(Levi2Cevita)发明的微分几何的真实胜利.我们在寻找数学上最自然的结构,而不被更多的物理所打扰.这也是我在研究引力理论过程中的一个设定目标.”能根据具体的物理问题列出物理量之间的关系，能把有关的物理规律、物理条件用数学方程表示出来.在解决物理问题时，往往需要经过数学推导和求解，或用合适的数学处理，或进行数值计算；求得结果后，有时还要用图像或函数关系把它表示出来；必要时还应对数学运算的结果作出物理上的结论或解释.例1．如图所示，竖直平面内