重庆市西北狼教育联盟2022届高三上学期开学质量检测数学试题word版含解析

西北狼教育联盟2021-2022学年上期开学质量检测高2019级数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合的补集及交集运算可求.【详解】解：由题意，，故选：A.2.表示复数的共轭复数，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数的运算求解.【详解】由题得.故选：A3.在10个形状大小均相同的球中有5个红球和5个白球，不放回地依次摸出2个球，设事件表示“第1次摸到的是红球”，事件表示“第2次摸到的是红球”，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先设第一次摸出红球为事件，第二次摸出红球为事件，分别求出，，利用条件概率公式求出答案．【详解】设第一次摸出红球为事件，第二次摸出红球为事件，则“第一次摸到红球”的概率为：“在第一次摸出红球，第二次也摸到红球”的概率是由条件概率公式有故选：A【点睛】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率，弄清楚事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．属于中档题．4.已知都是实数，则“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义以及对数函数的单调性即可判断．【详解】若，根据函数在上递增，所以；若时，满足，则不成立；所以“”是“”的充分不必要条件．故选：B．5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函数是偶函数,当，，对函数求导，讨论函数的单调区间即可得出结果.【详解】函数是偶函数，排除选项B；当时，函数，可得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，排除项选项A,D.故选:C.6.展开式中项的系数为（）A. B. C.15 D.5【答案】B【解析】【分析】求出的展开式的的系数和的系数，即得解.【详解】设的通项为，当时，的系数为；当时，的系数为.所以展开式中项的系数为，故选：B.【点睛】本题主要考查二项式定理求展开式的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和计算能力.7.某汽车的使用年数与所支出的维修费用的统计数据如表：使用年数（单位：年）12345维修总费用（单位：万元）0.51.22.23.34.5根据上表可得关于的线性回归方程=，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（）A.11年 B.10年 C.9年 D.8年【答案】A【解析】【分析】计算，求出回归系数，写出回归直线的方程，据此模型预测该汽车最多可使用的年限.【详解】由题意，根据表中的数据，可得，代入回归直线的方程，即，解得，所以回归直线的方程为，令，解得，据此模型预测该汽车最多可使用11年，故选A.【点睛】本题主要考查了线性回归直线的特征，及其回归直线方程的应用问题，其中解答中根回归直线的方程的特征，求得回归直线方程是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】求出,即得解.【详解】解：依题意，所以，.所以，，所以AB选项正确，CD选项错误.故选：AB10.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为B.2个球不都是红球的概率为C.至少有1个红球的概率为D.2个球中恰有1个红球的概率为【答案】ACD【解析】【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件，则，，对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确，对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”对立事件，其概率为，故B选项错误，对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确，对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确．故选：ACD．11.已知是定义域为R的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是（）①的最小正周期为4②的图像关于直线对称③当时，函数的最大值为2④当时，函数的最小值为A.①②③ B.①② C.①②④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】①利用求出函数的周期；②利用求出函数的对称轴；③④先求出当时，的单调性，再利用函数的周期和对称轴进行求解.【详解】对于①，，，则，即的最小正周期为4，故①正确；对于②，由知的图像关于直线对称，故②正确；对于③，当时，在上单调递减，在上单调递增根据对称性可知，函数在，上单调递减，在，上单调递增，则函数在上的最大值为，故③正确；对于④，根据周期性以及单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，则函数在上的最小值为，故④错误.故选：A12.定义在上的函数的导函数为，且，则对任意、，其中，则下列不等式中一定成立的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】构造，由有，即在上单调递减，根据各选项的不等式，结合的单调性即可判断正误.【详解】由知：，令，则，∴在上单调递减，即当时，；当时，；A：，有，，所以；B:由上得成立，整理有；C：由，所以，整理得；D：令且时，，，，有，，所以无法确定的大小.故选：ABC【点睛】思路点睛：由形式得到，1、构造函数：，即.2、确定单调性：由已知，即可知在上单调递减.3、结合单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.，则_________.【答案】##【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得；【详解】解：因，所以，所以；故答案为：14.曲线在点处的切线方程为_______【答案】【解析】【分析】先求得函数在处切线的斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意，所以，故当时，导数为，也即在点处的切线的斜率为，故切线方程为.故答案为.【点睛】本小题主要考查过曲线上一点切线方程的求法，考查除法的导数运算，属于基础题.15.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数之和为______.【答案】512【解析】【分析】根据二项式系数列式求，再根据二项展开式性质求奇数项的二项式系数之和.【详解】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以从而奇数项的二项式系数之和为【点睛】本题考查二项式展开式中二项式系数及其性质，考查基本分析与运算能力，属基础题.16.函数满足，当时，，若有8个不同的实数解，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先求出对称轴，利用导函数得到，换元后利用根的判别式求出的取值范围，再结合二次函数根的分布情况求出的取值范围，最终求出答案.【详解】由得：对称轴为，当时，，当时，，当时，，故在处取得极小值，且为最小值，，令，则，要想有8不同实数解，故要有两个根，则，解得：或，且两根均要大于，所以要满足，解得：，综上：.故答案为：【点睛】复合函数，利用根的个数求参数的取值范围，要适当换元，并结合导函数，根的判别式，根的分布情况进行求解.四.解答题17.已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}.（1）若A⊆B，求实数m的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围；（2）分与进行讨论，列出不等关系，求出实数m的取值范围.【小问1详解】由题意得：，解得：，所以实数m的取值范围是；【小问2详解】当时，，解得：；当时，需要满足或，解得：或，即；综上：实数m的取值范围是.18.已知函数是奇函数.（1）求a的值并判断函数的单调性（不需要证明）；（2）若对任意的实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1），是R上的增函数；（2）．【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义以及复合函数的单调性法则即可解出；（2）根据函数的奇偶性以及单调性可将原不等式化为，再分参求出函数的最小值即可解出．【小问1详解】因为函数是奇函数，定义域为R，所以，令，有，即，经检验符合题意，所以，又因为函数在R上递增，函数在R上递减，所以函数是R上的增函数．【小问2详解】不等式可化为，由函数是R上的增函数，所以，即，而，所以，故实数k的取值范围为．19.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到4号或9号的概率.附：.【答案】（1）列联表见解析（2）能（3）【解析】【分析】（1）根据优秀的人数为即可完成列联表；（2）根据独立性检验的基本思想求出的观测值，再与比较，即可判断；（3）根据古典概型的概率公式即可解出．【小问1详解】因为优秀的人数为，所以列联表即为：优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105【小问2详解】根据列联表可知，的观测值，所以按95%的可靠性要求，认为“成绩与班级有关系”．【小问3详解】设“抽到4号或9号”记为事件，基本事件总数为，而，所以．20.已知函数.（1）讨论在定义域上的单调性；（2）若函数在处取得极小值，且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）.【解析】【分析】（1），分、两种情况讨论即可；（2）由可得，然后可化为，然后令，，然后求出的单调性，然后可得答案.【详解】（1）当时，在上单调递减当时，在区间单调递减，在区间单调递增；（2）函数在处取得极值，∴，解得，则，关于x的方程化为，令，，∴，令，解得或1，令，解得，此时函数单调递增，令，解得，此时函数单调递减，∵关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，则，即，解得，∴实数b的取值范围是【点睛】方法点睛：一个方程有几个根可转化为对应的函数有几个零点，然后结合函数的单调性和函数值可得出零点的个数.21.某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.（1）求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中，，的值；（2）若从这批零件中随机选取3个，记为抽取的零件长度在的个数，求的分布列和数学期望；（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批零件能否被签收？【答案】（1），，；（2）分布列见解析，2.1；（3）能被该公司签收.【解析】【分析】（1）根据120件样本零件中长度大于1.60分米的共有18件即可求出频率，根据所给数据分别求出，两组的频率可得m,n，再根据频率之和为1求出t即可；（2）由题意从这批零件中随机选取1件，长度在的概率，且服从二项分布，即可求解；、（3）根据题意，验证零件数据对于且是否成立即可求解.【详解】（1）由题意可知120件样本零件中长度大于1.60分米的共有18件，则这批零件的长度大于1.