2022年甘肃省兰州市中考数学模拟试卷（及答案解析）

甘肃省兰州市中考数学模拟试卷

（含答案）

（时间120分钟满分：120分）

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.（3分）下列运用平方差公式计算，错误的是（）

A.（a+b）（a-b）=a2-b2B.（x+1）（x-1）=x2-1

C.（2x+l）（2x-1）=2x2-1D.（-a+b）（-a-b）=a2-b2

2.（3分）若M・（3x-y2）=y4-9x2,则多项式M为（）

A.-（Bx+y?）B.-y2+3xC.3x+y2D.3x-y2

3.（3分）将抛物线y=2x2+2向右平移1个单位后所得抛物线的解析

式是（）

A.y=2x2+3B.y=2x2+lC.y=2（x+1）2+2D.y=2（x-1）2+2

4.（3分）已知反比例函数的图象经过点P（-2,1）,则这个函数的

图象位于（）

A.第一、三象限B.第二、三象限

C.第二、四象限D.第三、四象限

5.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1,个

6.（3分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（)

7.（3分）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此

时在3.9m远处耍的身高为1m的小明（）

A.没有危险B.有危险C.可能有危险D.无法判断

8.（3分）国家提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想，意味着每

年要减贫约11700000人,将数据11700000用科学记数法表示为（）

A.1.17X106B.11.7X108C.1.17X10g1.17X107

9.（3分）如图，在余料ABCD中，AD//BC,现进行如下操作：以点B

为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA,BC于点G,H；再分别以点

G,H为圆心，大于*GH长为半径画弧，两弧在NABC内部相交于点0,

画射线B0,交AD于点E.若NA=96°，则NEBC的度数为（）

A.45°B.42°C.36°D.30°

10.(3分)规定以下两种变换：①f(m,n)=(m,-n),如f(2,

1)=(2,-1)；②g(m,n)=(-m,-n),如g(2,1)=(-2,

-1).按照以上变换有：f[g(3,4)]=f(-3,-4)=(-3,4),

那么g[f(-2,3)]等于()

A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(2,3)

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.（3分）分解因式：ax2-9ay2=.

12.（3分）在实数①右②旄，③3.14,④虫，⑤n中，是无理数

的有;（填写序号）

13.（3分）根据图所示的程序计算，若输入x的值为64,则输出结

果为.

14.（3分）从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个

图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率

是.

15.（3分）若2=3,4=5,则的值为.

16.（3分）函数y=」不中，自变量x的取值范围是.

17.（3分）已知关于x的一元一次方程kx+b=O的解是x=-2,一次

函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0,2）,则这个一次函数的表达式

是•

18.（3分）如图，Z1=Z2,要使△ABEgAACE,还需添加一个条件

是（填上你认为适当的一个条件即可）.

12

三、解答题（本题共68分）

19.（5分）计算：*）r-（Ji-V3）°+|1-V3|-2sin60°.

J

3（x-1）4x-5

20.（5分）解不等式组_-5，并写出它的所有整数解.

|x-1>x—

21.（5分）如图，在aABC中，AB=AC,点D是BC边上一点，EF垂

直平分CD,，交AC于点E,交BC于点F,连结DE,求证：DE〃AB.

22.（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0有两个不相等的实

数根.

（1）求k的取值范围；

（2）当k为正整数时，求此时方程的根.

23.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=£（k。。）的图象

与直线y=x+l交于点A（1,a）.

（1）求a,k的值；

（2）连一结0A,点P是函数y="（k。。）上一点，且满足OP=OA,直接

X

写出点P的坐标（点A除外）.

24.(5分)如图，在口ABCD中，BF平分NABC交AD于点F,AE±BF

于点0,交BC于点E,连接EF.

(1)求证：四边形ABEF是菱形；

(2)连接CF,若NABC=60°，AB=4,AF=2DF,求CF的长.

25.(7分)为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行

了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整.

收集数据：随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析:

甲91897786713197937291

81928585958888904491

乙84936669768777828588

90886788919668975988

整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据

分段30Wx40Wx50Wx60Wx70Wx80Wx90Wx

学校W39W49W59W69W79W89W100

甲1100378

乙——

分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表:

统计量平均数中位数众数方差

学校

甲81.858891268.43

:乙81.9586m115.25

经统计，表格中m的值是.

得出结论：

a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数

为•

b可以推断出学校学生的数学水平较高，理由为.（至

少从两个不同的角度说明推断的合理性）

26.（6分）如图，以AB为直径作。0,过点A作。。的切线AC,连

结BC,交。。于点D,点E是BC边的中点，连结AE.

(1)求证：ZAEB=2ZC；

(2)若AB=6,cosB=-p-,求DE的长.

5

27.（5分）如图，在AABC中，ZC=60°,BC=3厘米，AC=4厘米，

点P从点B出发，沿B->C-*A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A.设

点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米.

小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律

进行了探究.

下面是小新的探究过程，请补充完整：

（1-）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，•如下表：

X(S)01234567

y(cm)01.02.03.02.72.7m3.6

经测量m的值是(保留一位小数).

(2)建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点,

画出该函数的图象；

(3)结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在

△ABC中画出点P所在的位置.

28.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+2bx-3的对称

轴为直线x=2.

(1)求b的值；

(2)在y轴上有一动点P(0,m),过点P作垂直y轴的直线交抛物

线于点A(xi,yi),B(x2,y2)»其中x〈X2.

①当X2-XI=3时，结合函数图象，求出m的值；

②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分

保持不变，得到一个新的图象W,新图象W在0«5时，-4<y<

4,求m的取值范围.

环

6-

5-

4-

3-

2-

1-

一！！II.

-6-5-4-3-2-吆"123456X

-2-

-3-

-4-

-5-

29.（7分）在aABC中，AB=AC,CDLBC于点C,交NABC的平分线

于点D,AE平分NBAC交BD于点E,过点E作EF〃BC交AC于点F,

连接DF.

（1）补全图1；

（2）如图1,当NBAC=90°时，

①求证：BE=DE；

②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；

（3）如图2,当NBAC=a时，直接写出a,DF,AE的关系.

30.（7分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x“yD,点N

的坐标为（X2,丫2）,且Xi#X2,y1#y2,以MN为边构造菱形，若该菱

形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱

形”.

(1)已知点A(2,0),B(0,2V3),则以AB为边的“坐标菱形”

的最小内角为;

(2)若点C(l,2),点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”

为正方形，求直线CD表达式；

(3)。。的半径为y，点P的坐标为(3,m).若在。。上存,在一点

参考答案

一、选择题(每小题4分，共40分)

1.(4分)下列运用平方差公式计算，错误的是()

A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.(x+1)(x-1)=x2-1

C.(2x+l)(2x-1)=2x2-1D.(-a+b)(-a-b)=a2-b2

【解答】解：根据平方差得(2x+l)(2x-1)=4x2-1,所以C答案

错误.

故选：C.

2.(4分)若丽(3x-y2)=y4-9x2,则多项式M为。)

A.-(Bx+y?)B.-y'+3xC.3x+y'D.3x-y，

【解答】解：y1-9x2=(y2+,3x)(y2-3x)

=(-y2-3x)(-y2+3x),

/.M=-y2-3x=-(y2+3x).

故选：A.

3.(4分)将抛物线y=2x2+2向右平移1个单位后所得抛物线的解析

式是()

A.y=2x2+3B.y=2x2+lC.y=2(x+1)2+2D.y=2(x-1)2+2

【解答】解：•••抛物线y=2x?+2的顶点坐标为(0,2),-

向右平移1个单位后顶点坐标为(1,2),

工抛物线解析式为y=(x-1)2+2.

故选：D.

4.（4分）已知反比例函数的图象经过点P（-2,1）,则这个函数的

图象位于（）

A.第一、三象限B.第二、三象限C.第二、四象限D.第

三、四象限

【解答】解：•••图象过（-2,1）,

/.k=xy=-2<0,

.•・函数图象位于第二，四象限.

故选：C.

5.（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解答】解：•••从左到右第一个和第三个图形旋转180°后不能与原

图形重合,

...此图形不是中心对称图形，但它们是轴对称图形；

•.•从左到右第二个和第四个图形旋转180°后能与原图形重合,

...此图形不是中心对称图形，是轴对称图形；

...既是轴对称又是中心对称图形的有两个，

故选：C.

6.（4分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（)

【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故

本选项错误；

B、圆柱的主视图是矩形、俯视图是矩形，故本选项正确；

C、球的主视图、俯视图都是圆，故本选项错误；

D、三棱柱的主视图为矩形和俯视图为三角形，故本选项错误.

故选：B.

7.（4分）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此

时在3.9m远处耍的身高为1m的小明（）

A.没有危险B.有危险C.可能有危险“D.无法判断

【解答】解：如图所示：

AB=9-4=5,AC=4-1=3,

由勾股定理得：BC=V52-32=4>3.9,

...此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明有危险，

8.（4分）习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想,

意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表

示为()

A.1.17X10BB.11.7X108C.1.17X108D.1.17X107

【解答】解：11700000=1.17X107,

故选：D.

9.（4分）如图，在余料ABCD中，AD〃BC,现进行如下操作：以点B

为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA,BC于点G,H；再分别以点

G,H为圆心，大于*GH长为半径画弧，两弧在NABC内部相交于点0,

画射线B0,交AD于点E.若NA=96°,则NEBC的度数为（）

A.45°B.42°C.36°D.30°

【解答】解:VAD//BC,

ZA+ZABC=180°,

AZABC=180°-96°=84°,

根据作图得到BE平分NABC,

ZABE=ZEBC=yZABC=42°.

故选：B.

10.(4分)规定以下两种变换：①f(m,n)=(m,-n),如f(2,

1)=(2,-1)；②g(m,n)=(-m,-n),如g(2,1)=(-2,

-1).按照以上变换有：f[g(3,4)]=f(-3,-4)=(-3,-4),

那么g[f(-2,3)]等于()

A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(2,3)

【解答】解：g[f(-2,3)]=g[-2,-3]=(2,3),

故D正确，

故选：D.

二、填空题(每小题4分，共32分)

11.(4分)分解因式：ax?-9ay?=a(x+3y)(x-3y).

【解答】解：原式=a(x2-9y2)=a(x+3y)(x-3y).

故答案是：a(x+3y)(x-3y).

12.(4分)在实数①今②娓,③3.14,④⑤:rt中，是无理数

的有②⑤；(填写序号)

【解答】解：①卷③3.14,④筋是有理数，

②®⑤n是无理数，

故答案为：②⑤.

13.(4分)根据图所示的程序计算，若输入x的值为64,则输出结

果为T—•

【解答】解：A/64^-2-3=84-2-3=4-3=1,

Vl>0,再代入得1+2-3=--|.

故答案为-1.

14.（4分）从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个

图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是

4

51,

【解答】解：•••在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图

形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六

边形，共4个，

取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为5，

5

故答案为：称.

5

15.（4分）若2*=3,4y=5,则才吻的值为15.

【解答】V2X=3,4y=5,

,-.2x+2y=2xX（22）,=3X5=15.

故答案为：15.

16.（4分）函数y=—）中，自变，量x的取值范围是x#2.

【解答】解：要使分式有意义，即：X-2K0,

解得：xW2.

故答案为：xW2.

17.（4分）已知关于x的一元一次方程kx+b=O的解是x=-2,一次

函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0,2）,则这个一次函数的表达式

是y=x+2.

【解答】解：把x=-2代入kx+b=0得-2k+b=0,

把（0,2）代入y=kx+b得b=2,

所以-2k+2=0,解得k=l,

所以一次函数解析式为y=x+2.

故答案为y=x+2.

18.（4分）如图，Z1=Z2,要使△ABEgAACE,还需添加一个条件

是NB=NC（填上你认为适当的一个条件即可）.

【解答】解：VZ1=Z2,/.ZAEB=ZAEC,

又AE公共，

.•.当NB=NC时，4ABE也AACE（AAS）；

或BE=CE时，Z^ABE也Z\ACE（SAS）；

或NBAE=NCAE时，4ABE也AACE（ASA）.

三、解答题（本题共68分）

19.（5分）计算：（2）7-（Ji-V3）°+|1-V3|-2sin60°.

J

【解答】解:原式=3-1+6-1-2乂喙=1.

’3（x-l）》4x-5

20.（5分）解不等式组_x-5，并写出它的所有整数解.

’3（x-l）〉4x-5①

【解答】解：，i、x-5小，

解不等式①，得xW2,

解不等式②，得x>-1,

原不等式组的解集为-1VXW2,

•••适合原不等式组的整数解为0,1,2.

21.(5分)如图，在AABC中，AB=AC,点D是BC边上一点，EF垂

直平分CD,交AC于点E,交BC于点F,连结DE,求证：DE/7AB.

【解答】证明：•••AB=AC,

.*.ZB=ZC.

：EF垂直平分CD,

.,.ED=EC.

AZEDC=ZC.

.*.ZEDC=ZB.

ADE//AB.

22.(5分)关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0有两个不相等的实

数根.

(1)求k的取值范围；

(2)当k为正整数时，求此时方程的根.

【解答】解：

(1)•关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

.,.△>0,即2?-4(k-1)>0,

.\k<2

(2)Tk为正整数,

.,.k=l,

此时方程为x?+2x=0,解得x1=0,x2=-2.

23.(5分)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=£(k。。)的图象

X

与直线y=x+l交于点A(1,a).

(1)求a,k的值；

(2)连结0A,点P是函数y=k(k卉0)上一点，且满足OP=OA,直接

X

写出点P的坐标(点A除外).

【解答】解:(1):•直线y=x+l经过点A(1,a),

.*.a=l+l=2,

.*.A(1,2).

•.•函数y=K(k卉0)的图象经过点A(L2),

X

.\k=lX2=2；

(2)设点P的坐标为(x,-),

X

VOP=OA,

.,.x2+(-)2=r+22,

X

化简整理，Wx4-5X2+4=0,

解得X1=1,x2=-1,X3=2,x4=-2,

经检验，X1=1,x2=-1,X3=2,X4=-2都是原方程的根，

•••点P与点A不重合，

...点P的坐标为(-1,-2),(2,1),(-2,-1).

24.(5分)如图，在口ABCD中，BF平分NABC交AD于点F,AE±BF

于点0,交BC于点E,连接EF.

(1)求证：四边形ABEF是菱形；

(2)连接CF,若NABC=60°，AB=4,AF=2DF,求CF的长.

【解答】(1)证明：LBF平分NABC,

.,.ZABF=ZCBF.

•.•四边形ABCD是平行四边形，

.,.AD/7BC.

.,.ZAFB=ZCBF.

.,.ZABF=ZAFB.

.*.AB=AF.

VAE±BF,

，ZBA0=ZFAE

ZFAE=ZBE0

.,.ZBA0=ZBE0.

.,.AB=BE.

.*.AF=BE.

...四边形ABEF是平行四边形.

DABEF是菱形.

(2)解：VAD=BC,AF=BE,

.,.DF=CE.

VAF=2DF

/.BE=2CE.

VAB=BE=4,

.*.CE=2.

过点A作AGLBC于点G.

VZABC=60°,AB=BE,

.,.△ABE是等边三角形.

.*.BG=GE=2.

.\AF=CG=4.

...四边形AGCF是平行四边形.

QAGCF是矩形.

.*.AG=CF.

在AAIBG中，ZABC=60°,AB=4,

AG=2,\/3«

CF=2V3.

AD

25.（7分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行

了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整.

收集数据：随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析:

甲91897786713197937291

81928585958888904491

乙84936669768777828588

90886788919668975988

整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据

分段30Wx40Wx50Wx60Wx70Wx80Wx90Wx

学校W39W49W59W69W79W89W100

甲1100378

乙00]4285

分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表:

统计量平均数中位数众数方差

学校

甲81.858891268.43

乙81.9586m115.25

经统计，表格中m的值是88

得出结论：

a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为

300.

b可以推断出甲学校学生的数学水平较高,理由为两校平均数

基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数

学水平较高.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

【解答】解：整理、描述数据：

分段30Wx40Wx50Wx60Wx70Wx80Wx90Wx

学校W39W49W59W69W79W89W100

甲1100378

乙0014285

故答案为：0,0,1,4,2,8,5；

分析数据：

经统计，乙校的数据中88出现的次数最多，故表格中m的值是88.

故答案为：88；

得出结论：

a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为

400x1|=300（人）.

故答案为：300；

b（答案不唯一）可以推断出甲学校学生的数学水平较高，理由为两

校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校

学生的数学水平较高.

故答案为：甲，两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高

于乙校，说明甲校学生的数学水平较高.

26.(6分)如图，以AB为直径作。0,过点A作。0的切线AC,连

结BC,交。。于点D,点E是BC边的中点，连结AE.

(1)求证：ZAEB=2ZC；

(2)若AB=6,cosB=|,求DE的长.

5

【解答】(1)证明：•「AC是。。的切线,

AZBAC=90°.

•.•点E是BC边的中点，

.\AE=EC.

.,.ZC=ZEAC,

ZAEB=ZC+ZEAC,

.,.ZAEB=2ZC.

(2)连结AD.

•「AB为直径作。0,

AZABD=90°.

VAB=6,COSB=T-,

5

•••BD二毕.

5

在RtZkABC中，AB=6,cosB二

5

ABC=10.

•.•点E•是BC边的中点,

.*.BE=5.

27.(5分)如图，在△ABC中，ZC=60°,BC=3厘米，AC=4厘米，

点P从点B出发,沿B-C-A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A.设

点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米.

小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律

进行了探究.

下面是小新的探究过程，请补充完整：

(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，，如下表：

X(S)01234567

y(cm)01.02.03.02.72.7m3.6

经测量m的值是3.0(保留一位小数).

(2)建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，

画出该函数的图象；

(3)结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在

△ABC中画出点P所在的位置.

【解答】解:(1)经测量，当t=6时,BP=3.0.

(当t=6时,CP=6-BC=3,

.,.BC=CP.

VZC=60°,

...当t=6时、ZXBCP为等边三角形.)

故答案为：3.0.

(2)描点、连线，画出图象，如图1所示.

(3)在曲线部分的最低点时-，BP±AC,如图2所示.

28.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+2bx-3的对称

轴为直线x=2.

(1)求b的值；

(2)在y轴上有一动点P(0,m),过点P作垂直y轴的直线交抛物

线于点A(xi,yi),B(x2,y2),其中xVx2.

①当X2-XL3时一，结合函数图象，求出m的值；

②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分

保持不变，得到一个新的图象肌新图象W在04W5时，-4WyW

4,求m的取值范围.

【解答】解：(1)•.,抛物线y=-x?，+2bx-3的对称轴为直线x=2,

••・-畀2,即-品厂2

...b=2.

(2)①.•.抛物线的表达式为y=-X2+4X-3.

VA(Xi,y),B(x2,y),

.••直线AB平行x轴.

Vx2-Xi=3,

.*.AB=3.

:对称轴为x=2,

AA(1,m)

•\当■时，m=-(*)“+4Xy-3=-看.

②当y=m=-4时，0WxW5时，-4WyWl；

当y=m=-2时，0WxW5时，-2WyW4；

Am的取值范围为-4WmW-2.

29.(7分)在aABC中，AB=AC,CD1BC于点C,交NABC的平分线

于点D,AE平分NBAC交BD于点E,过点E作EF〃BC交AC于点F,

连接DF.

(1)补全图1;

(2)如图1,当NBAC=90°时，

①求证：BE=DE；

②写出判断DF与AB的位置关系的思路(不用写出证明过程)；

(3)如图2,当NBAC=a时，直接写出a,DF,AE的关系.

【解答】解：(1)补全图如图1;

(2)①延长AE,交BC于点H.

VAB=AC,AE平分NBAC,

/.AH±BC,BH=HC.

•「CDLBC于，“

AEH//CD.

.\BE=DE；

②延长FE,交AB于点M.

VAB=AC,