第十一章 三角形单元培优卷（解析版）

2023-2024学年八年级数学上册重难点突破第十一章三角形单元培优卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）1．一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形三边关系和周长不超过39cm可列出不等式组求解即可．【详解】解：根据题意，可得，∴，∴．故选：A．2．如图，中，，，，，为直线上一点，连接，则线段的值不可能是（

）A．4.8 B．6 C．4 D．5【答案】C【分析】根据垂线段最短可知，当时PC取最小值，利用等面积法求出PC的最小值，即可从选项中找出答案．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，Rt△ABC中，由等面积法可得：AC×BC=AB×PC，代入数据：6×8=10×PC，∴PC=4.8，∵C选项中，∴线段的值不可能是4．故选C．3．下列关于三角形的说法：①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内；⑤三条中线的交点可能在三角形内，也可能在三角形外其中正确的是（

）A．①②⑤ B．①③ C．②④⑤ D．③④【答案】B【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的定义对五个说法分析判断后利用排除法求解即可得到结论．【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，说法正确，符合题意；②三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故三条高必交于一点的说法错误，不符合题意；③三条角平分线必交于一点，说法正确，符合题意；④锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故三条高必在三角形内的说法错误，不符合题意；⑤三条中线的交点一定在三角形内部，不可能在三角形外，故该说法错误，不符合题意；故选：B．4．如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是（）A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短C．三角形两边之和大于第三边 D．四边形的不稳定性【答案】D【分析】根据电动伸缩门的工作原理，结合四边形的不稳定性即可得到答案．【详解】解：∵电动伸缩门的整体形状为四边形，且电动伸缩门的长度可以伸长和变短，∴利用的是四边形的不稳定性，故选D．5．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设AB与EF交于点M，根据，得到，再根据三角形的内角和定理求出结果．【详解】解：设AB与EF交于点M，∵，∴，∵，，∴，∴,∵,∴=，故选：A．．6．如图，在三角形ABC中，，平分，，，以下四个结论：①；②；③；④；⑤∠ADF=∠AFB．其中正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据平行线的性质证得AH⊥EF，判断①，结合角平分线的定义可得∠ABF＝∠EFB，判断②，根据等角的余角相等可得∠E＝∠ABE判断③，由AC与BF不一定垂直，判断④，根据已知条件，结合三角形的内角和定理不能判断，即可判断⑤．【详解】解：∵AH⊥BC，EFBC，∴AH⊥EF，故①正确；∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵EFBC，∴∠EFB＝∠CBF，∴∠ABF＝∠EFB，故②正确；∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直，∴BEAC不一定成立，故③错误；∵BE⊥BF，∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，∴∠E＝∠ABE，故④正确．由③可知BEAC不一定成立，∵∠ADF=∠BDH又∴∠BDH+∠DBH=90°∴∠ADF+∠DBH=90°又∵∠BAF不一定等于90°∴∠ADF=∠AFB不一定成立，故⑤不一定正确．故选：B．7．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案．【详解】解：如下图标记，，，，又，，，，故选C．8．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】A【详解】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形.故选A.9．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（）A．45° B．50° C．55° D．80°【答案】B【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．【详解】解：连接AC并延长交EF于点M．，，，，，，，故选B．10．如图，中，点、、分别在三边上，、、交于一点，，，，则（

）A． B．C．40 D．41【答案】B【分析】设，，先根据得到，列出一个式子，再根据列出一个式子，解方程组得到这两个三角形的面积，最后加起来得总面积．【详解】解：设，，∵，∴，∴，即，整理得①，∵，∴，整理得②，根据①②算出，，∴．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共计12分）11．已知a，b，c是三边的长，化简．【答案】【分析】根据三角形的三边关系判断出，再去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长，∴，∴原式．故答案为．12．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则．【答案】【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=α．∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，根据规律推导，∴，故答案为．13．已知中，，将按照如图所示折叠，若，则．【答案】【分析】利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出．【详解】解：由折叠知．∵，∴．∵，，∴．∴．故答案为：．14．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则．【答案】52°【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A．【详解】解：、分别平分、，，，，，即，，，、分别平分、，，，，，∴，∴，、分别平分、，，，∴，，故答案为：52°．三、解答题（本大题共8小题，共计58分）15．（本题满分6分）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．【答案】(1)8(2)17【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是△ABC的中线得AD＝CD，根据△ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝9，即可求解．【详解】（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整数，∴AC＝8；（2）如图所示：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为10，∴AB+AD+BD＝10，∵AB＝1，∴AD+BD＝9，∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．16．（本题满分6分）如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．（1）求证：AD⊥AC；（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝2∠ACD；理由见解析.【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余、三角形的内角和定理、以及角的和差即可得；（2）先根据直角三角形的两锐角互余可得，再由题（1）的结论和推出，联立化简求解即可得.【详解】（1）∵在中，在中，，即；（2），理由如下：由题（1）知，.17．（本题满分6分）如图，AB∥CD，平分，CE∥AD，.(1)求的度数：(2)若，求的度数.【答案】(1)30°(2)110°【分析】（1）根据和CE∥AD可求得，然后根据AB∥CD，可求得；（2）由平分，可得，然后由四边形的内角和是360°即可求得的度数.【详解】（1）解：∵CE∥AD，∴，∴，∵AB∥CD，∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴.18．（本题满分6分）如图，在中，、分别是的高和角平分线，．(1)若，求的度数；(2)试用、的代数式表示的度数_________．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．【详解】（1）解：，，是的平分线，．是高线，，，．（2）解：，，是的平分线，．是高线，，，．19．（本题满分8分）如图，在中，，AD为BC边上的中线．（1）____________（填“>”“<”或“=”）；（2）若的周长比的周长多4，且，求AB，AC的长；（3）的周长为27，，BC边上的中线，的周长为19，求AC的长．【答案】（1）；（2）；（3）8．【分析】（1）根据三角形中线的定义、三角形的面积公式即可得；（2）先根据三角形的周长公式可得出，再结合求解即可得；（3）先根据的周长为27可得，从而可得，再根据的周长为19建立等式求解即可得．【详解】（1）为BC边上的中线，，与等底同高，，故答案为：；（2）∵AD是BC边上的中线，，的周长比的周长多4，即，，又，；（3）的周长为27，，，即，解得，，又的周长为19，，，即，解得．20．（本题满分6分）如图，已知△ABC，点D在边BC上，∠ADB=2∠C．(1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若∠A＝∠B＋∠C，求证：点D是BC中点．【分析】（1）法一：作线段AB的垂直平分线，交BC于点D．法二：作∠CAD＝∠C，边AD交BC于点D即可；（2）法一：根据线段的垂直平分线的性质即可证明；法二：根据∠CAD＝∠C，利用三角形内角和定理即可证明．【详解】（1）如图，点D即为所求；法一：作线段AC的垂直平分线，交BC于点D．法二：作∠CAD＝∠C，边AD交BC于点D．（2）连接AD，∵∠ADB＝2∠C，∠ADB＝∠CAD＋∠C，∴∠C＝∠CAD，∴AD＝CD．法一：∵∠BAC＝∠B＋∠C，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°．∵∠DAB＝90°−∠CAD，∠B＝90°−∠C，∴∠DAB＝∠B，∴AD＝BD．∴CD＝BD，即点D是BC中点．法二：∵∠BAC＝∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CAD，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD．∴CD＝BD，即点D是BC中点．21．（本题满分10分）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．【详解】解：（1）如图①，连接AD，由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如图②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，22．（本题满分10分）已知：在中，平分，平分，、交于点．