第05讲 二次函数（解析版）

第05讲二次函数目标导航目标导航课程标准1.会分析具体问题中变量之间的关系，建立函数模型，归纳出二次函数的概念。2.掌握二次函数的相关概念，能将具有二次函数关系的式子表示成一般形式。3.能够表示简单变量之间的二次函数关系。知识精讲知识精讲知识点01二次函数的概念1．概念一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成的形式，则称y是x的二次函数，其中x是自变量。2．二次函数的一般形式任何一个二次函数的关系式都可以化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般形式，其中，分别是二次项，一次项和常数项，a是二次项系数，b是一次项的系数。注意：（1）二次函数中，x，y是变量，a，b，c是常量，函数表达式是整式；（2）自变量x的最高此项的次数必须是2，其取值范围是全体实数，但是对于实际问题中的二次函数，x的取值范围会有一些限制；（3）a不能为0，b，c可以为0。（4）判断函数是不是二次函数的方法①判断等号两边的代数式是不是整式；②将函数的关系式整理成一般形式，判断自变量的最高次项的次数是不是2；③判断二次项的系数是不是0。三者缺一不可。知识点02根据实际问题列二次函数关系式由实际问题列二次函数关系式的步骤（1）审清题意，找出实际问题中的已知量、变量，将文字语言、图形语言转化为数学符号语言。（2）找出等量关系，找到已知量和变量间的关系，并用等式表示。（3）列函数关系式，设出表示变量的字母，把等量关系用含字母的代数式表示，并将关系式写成用自变量表示因变量的形式。能力拓展能力拓展考法01二次函数的识别【典例1】下列函数是y关于x的二次函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：由二次函数的定义：“形如（其中为常数，且）”的函数叫做二次函数A.，是一次函数，没有二次项，故选项A不正确；B.，是一次函数，没有二次项，故选项B不正确；C.，是二次函数，二次项系数不为0，故选项C正确

D.，当a=0时，是一次函数，当a≠0时，是二次函数，不能确定是一次还是二次函数，故选项D不正确．故选C．【即学即练】下列函数表达式中，一定为二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A、是一次函数，故此选项错误；B、当时，是二次函数，故此选项错误；C、是二次函数，故此选项正确；D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．【典例2】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】y＝2x﹣1是一次函数；y＝﹣2x2﹣1是二次函数；y＝3x3﹣2x2不是二次函数；④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；故二次函数有1个；故答案选A．【即学即练】下列各式:①y=2x2-3xz+5;②y=3-2x+5x2;③y=+2x-3;④y=ax2+bx+c;⑤y=(2x-3)(3x-2)-6x2;⑥y=(m2+1)x2+3x-4(m为常数);⑦y=m2x2+4x-3(m为常数)是二次函数的有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】y=2x2-3xz+5，含有两个未知数，不是二次函数；y=3-2x+5x2，符合二次函数的定义，是二次函数；y=+2x-3，含有分式，不是二次函数；y=ax2+bx+c，没有条件a≠0，不是二次函数；y=（2x-3）（3x-2）-6x2=-10x+6，不是二次函数；y=（m2+1）x2+3x-4（m为常数），符合二次函数定义，是二次函数；y=m2x2+4x-3（m为常数），没有m≠0这个条件，不是二次函数；所以是二次函数的有：2个．故选B．考法02根据二次函数的概念求参数【典例3】若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（

）A．3 B． C．2 D．2或3【答案】C【解析】∵是关于x的二次函数，∴且，∴，且，∴；故选C．【即学即练】已知是关于的二次函数，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】∵是关于的二次函数，∴，解得：；故选B．【典例4】若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0【答案】A【解析】解：由题意得：，则．故选：A．【即学即练】如果函数是二次函数，则的取值范围是（

）A． B． C．＝﹣2 D．为全体实数【答案】C【解析】解：由题意得：m-2≠0，，解得：m=-2，故选：C．考法03列二次函数的表达式【典例5】把元的电器连续两次降价后的价格为元，若平均每次降价的百分率是，则与的函数关系式为(

)A．y=320(x-1) B．y=320(1-x) C．y=160(1-x2) D．y=160(1-x)2【答案】D【解析】解：第一次降价后的价格是160(1-x)，第二次降价为160(1-x)×(1-x)=160(1-x)2，则y与x的函数关系式为y=160(1-x)2.故选D.【即学即练】国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y=36（1﹣x） B．y=36（1+x） C．y=18(1﹣x)2 D．y=18（1+x2）【答案】C【解析】解：原价为18，第一次降价后的价格是18×（1-x）；第二次降价是第一次降价后的价格的基础上降价：18×（1-x）×（1-x）=18（1-x）2，则函数解析式是：y=18（1-x）2，故选C．【典例6】正方形的边长为3，如果边长增加x，那么面积增加y，则y与x之间的函数表达式是()A．y＝3x B．y＝(3＋x)2 C．y＝9＋6x D．y＝x2＋6x【答案】D【解析】解：y=(3+x)2-32=32+6x+x2-9=x2+6x.故选D.【即学即练】两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，则这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为A． B．C． D．【答案】D【解析】∵两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，∴另一个正方形的边长为.∴这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为.故选D.分层提分分层提分题组A基础过关练1．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（

）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对【答案】D【解析】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；D.以上说法都不对，故此选项正确．故选D．2．正方形的面积s和边长a之间的关系可以表示s=a2，则s与a之间的函数关系是（

）A．一次函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上都不对【答案】C【解析】解：∵正方形的面积s和边长a之间的关系可以表示s=a2，∴s与a之间的函数关系是二次函数．故选：C3．下列函数中为二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：A、，是一次函数，故此选项不符合题意；B、，是二次函数，故此选项符合题意；C、，不是二次函数，故此选项不符合题意；D、，未知数的最高次为3，不是二次函数，故此选项错误．故选：B．4．下列函数中不属于二次函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A、y＝（x+1）（x﹣2）是二次函数，故此选项不合题意；B、是二次函数，故此选项不合题意；C、y＝2（x+2）2﹣2x2＝8x+8不是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝1﹣x2是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．5．下列函数关系中，是二次函数的为（

）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系．B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆的面积S与半径之间的关系【答案】D【解析】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；B、关系式为：，是反比例函数，不符合题意；C、关系式为：，是正比例函数，不符合题意；D、关系式为：，是二次函数，符合题意．故选：D．6．在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（）A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2【答案】C【解析】解：∵y＝﹣x2+5x﹣2，∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2，故选：C．7．若是以x为自变量的二次函数，则______．【答案】2【解析】解：由题意得：，且，解得：，故答案为：2．8．已知二次函数，当时，函数的值是_________．【答案】-1【解析】解：当时==-1故答案为：-19．如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式．【答案】【解析】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm，∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，∴.10．已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）且．【解析】（1）由题意得，，解得m=；（2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-.题组B能力提升练1．若函数y＝m+4是二次函数，则m的值为（

）A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1【答案】C【解析】解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0，解得：m＝﹣1，故C正确．故选：C．2．某城市居民2018年人均收入30000元，2020年人均收入达到y元．设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是（）A．y＝30000（1+2x） B．y＝30000+2xC．y＝30000（1+x2） D．y＝30000（1+x）2【答案】D【解析】解：设2018年到2020年该城市居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为:y＝30000（1+x）2故选：D．3．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（

）A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xmB．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xmC．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm【答案】B【解析】解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y=x3，故不是二次函数；B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y=14πx2，故是二次函数；C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数；D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝南京与上海之间的距离-108x，故不是二次函数．故选：B．4．以下关于自变量的函数是二次函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A、该函数是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；B、该函数是正比例函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；C、该函数是反比例函数，不是二次函数，故该选项不符合题意；D、该函数是二次函数，故该选项符合题意，故选：D．5．对于y＝ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b＝0时，y＝ax2+c是二次函数B．当c＝0时，y＝ax2+bx是二次函数C．当a＝0时，y＝bx+c是一次函数D．以上说法都不对【答案】D【解析】解：A、当b＝0，a≠0时，y＝ax2+c是二次函数，故A选项错误；B、当c＝0，a≠0时，y＝ax2+bx是二次函数，故B选项错误；C、当a＝0，b≠0时，y＝bx+c是一次函数，故C选项错误；D、以上说法都不对，故此选项正确；故选：D．6．已知两个变量与之间的三组对应值如表，则与之间的函数解析式可能是（

）23A． B． C． D．【答案】D【解析】解：．将表格对应数据代入，不全符合方程，故不符合题意；．将表格对应数据代入，不全符合方程，故不符合题意；．将表格对应数据代入，不符合方程，故不符合题意；．将表格对应数据代入，符合方程，故符合题意．故选：．7．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．【答案】②④【解析】解：①y=5x-5为一次函数；②y=3x2-1为二次函数；③y=4x3-3x2自变量次数为3，不是二次函数；④y=2x2-2x+1为二次函数；⑤y=函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．8．为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为（亿元），则关于的函数解析式为________________．【答案】【解析】解：∵某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为，∴二月份的为三月份的为第一季度的总产值为（亿元），则故答案为：9．已知函数．（1）若这个函数是一次函数，求的值（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由题意得，解得；（2）由题意得，，解得且．10．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）；（2）．题组C培优拔尖练1．下列函数中，不属于二次函数的是（

）A．y=（x﹣2）2 B．y=﹣2（x+1）（x﹣1）C．y=1﹣x﹣x2 D．y=【答案】D【解析】A、整理为y=x2﹣4x+4，是二次函数，不合题意；B、整理为y=﹣2x2+2，是二次函数，不合题意；C、整理为y=﹣x2﹣x+1，是二次函数，不合题意；D、表达式不是整式，是分式，符合题意．故选D．2．若抛物线经过点，则的值是（

）A．7 B．-1 C．-2 D．3【答案】A【解析】把（-2，3）代入可得-2b+c=7,即=7故选A.3．有一根长的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积与它的一边长之间的函数关系式为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：根据一边长为xcm，周长为60cm可得矩形的另一边长为（30－x）cm，则S=x（30－x）．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：x…﹣123…y…004…则可求得（4a﹣2b+c）的值是（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【答案】C【解析】解：将x＝﹣1，y＝0；x＝2，y＝0；x＝3，y＝4代入y＝ax2+bx+c，得到，∴，∴（4a﹣2b+c）＝4；故选C．5．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：每件的利润为（x-21），∴y=（x-21）（350-10x）=-10x2+560x-7350．故选B．6．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（）A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系【答案】C【解析】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误，故选C．7．当m____________________________时，函数是二次函数．【答案】不等于和3【解析】根据二次函数的定义可得：，即：，∴，且，即当不等于和3时，原函数为二次函数，故答案为：不等于和3.8．如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为_____．【答案】【解析】解：∵BD=1，AD=y，∴AB=y+1，∵AB=AC，∴AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1，∴2y+1=x2-1，∴．故答案为：．9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从