【课后延时】小学数学专项《应用题》经典方阵问题基本知识-2星题（含解析）全国通用版

班级：姓名：亲爱的同学，在做练习的时候一定要认真审题，完成题目后，记得养成认真检查的好习惯。祝你轻松完成本次练习！期末考名列前茅！【心得记录卡】亲爱的同学，在完成本专项练习后，你收获了什么？掌握了哪些新本领呢？在这里记录一下你的收获吧！年月日应用题-经典应用题-方阵问题基本知识-2星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率方阵问题基本知识B1.明确空心方阵和实心方阵的概念及区别

2.掌握空心方阵和实心方阵的变化规律少考知识提要方阵问题基本知识概述

在日常生活中，我们常把人或物排成正方形的形状，在数学上我们把研究这样的问题称为方阵问题。

在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵，也叫中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵，也叫中空方阵。 实心方阵的特点

总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数 空心方阵的特点

总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数−层数）×层数×4

奇数层：总人数=中间层总数×层数

偶数层：总人数=（外层+内层）×层数÷2

若最外层每边有a人，内部虚方阵每边有b人，则空心方阵共有(a2变化规律

相邻两边之间相差2；

相邻两层之间相差8；

每层人（或物）数=每边人（或物）数×4−4=[每边人（或物）数−1]×4 精选例题方阵问题基本知识1.一个实心方阵，最外一层每边18人，（1）那么整个方阵一共

人；（2）最外面一层有

人；（3）从外向内数，第2层每边有

人，一共有

人；（4）如果考虑最外面三层，那么这三层共有

人．【答案】

324；68；16，60；180【分析】

（1）182（2）17×4=68或18×4−4=68；（3）18−2=16；15×4=60或68−8=60；（4）60×3=180．2.运动会上，五年级学生排成一个方队（横竖行人数相等），已知最外层为60人，这个方队共有

人．【答案】

256【分析】

最外层每边有60÷4+1=16(人)，共有16×16=2563.一个长方形队列，如果增加一横行和一竖行，就要增加13人．这个长方形队列原来最少有

人．【答案】

11【分析】

增加一横行和一竖行，就要增加13人，那么原方阵的长与宽的和为13−1=12，所以人数最少时，12=1+11，有1×11=11(人)4.小朋友们排成方阵做广播体操，小明恰好站在方阵的正中心，此时无论是从前往后或者从后往前数他都排在第5个，无论是从左往右或者从右往左数时他都排在第6个，则这个方阵中一共有

位小朋友．【答案】

99【分析】

小明前后各有5−1=4(人)，那么每列就有4+1+4=9(人)；小明左右有6−1=5(人)，那么每行就有5+1+5=115.有196枚围棋子，摆成一个14×14的正方形．甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了

枚棋子．【答案】

28【分析】

196枚围棋子围成的方阵，最外层棋子数为14×4−4=52，相邻两层棋子数相差8，从外向内每一层棋子数为：52、44、36、28、20、12、4．所以甲取走了52+36+20+4=112(枚)棋子，乙取走了44+28+12=84(枚)棋子，甲比乙多取了6.一个正方形方阵，其中的4行5列的人数总和为250人，那么如果将这个方阵去掉一行一列还剩

人．【答案】

841【分析】

4行5列，包括重复计算的：250＋20＝270人，每行：7.有一些人组成2个正方形方阵，2个正方形方阵之间相差97个人，那么这2个正方形方阵一共有

人．【答案】

4705【分析】

假设A方阵有a人，B方阵有b人，那么应该有b2−a2=978.小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了

枚棋子．【答案】

285【分析】

45=3×3×5，它小于19的最大约数为15，所以不变的边长应为15，另一边最长为19，所以小虎最多用了15×19=285（枚）棋子．9.东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则多余12名同学，如果把这个正方形扩大，纵横每排各增加一人，则缺少9人

．【答案】

112【分析】

增加的一行一列有12+9=21(人)，那么原来排成的正方形的每条边上有(21−1)÷2=10(人)，东风小学仪仗队有学生10.有大小相同的正方形白石和黑石各n个．首先，将黑石不留空隙地摆成一个正方形，然后在其外围摆一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外围摆一圈，最后再用剩下的白石在黑石的外围再摆一圈，正好将所有石子用完（如下图所示）．那么2n=

．【答案】

144个【分析】

如上图所示，记最外层的一圈白石为a个，它里面的一圈黑石为b个，再里边的一圈白石为c个，最中间的黑石组成的正方形再分成外面一圈(d个)和里面的正方形注意到a−b=b−c=c−d=8，所以c=d+8,b=d+16,a=d+24．因为黑石的总数=白石的总数，所以最大的正方形的每一边有4+4×2=12（个）石子，所以石子的总数为12×12=144（个）．11.一个实心体操方阵，最外层有72人．这个体操方阵有多少人？【答案】

361【分析】

最外层每边人数：(72＋4)÷4＝答：这个体操方阵有361人．12.如图所示，小刚在用棋子摆好的实心方阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来的实心方阵有多少枚棋子？【答案】

64【分析】

填上17枚棋子，正好可以增加一排一列，此时每条边有(17−1)÷2+1=9那么原来的方阵每条边有91−1=8原来实心方阵的总棋子数：8×8=6413.某学校三年级同学180人，排成个三层空心方阵，这个方阵最外层每边多少人？【答案】

18【分析】

中间层总数为180÷3=60则每边有60÷4+1=16所以最外层每边有16+2=1814.一个实心体操方阵，最外层有32人．这个体操方阵有多少人？【答案】

81【分析】

最外层每边人数：(32＋4)÷4＝答：这个体操方阵有81人．15.三年级学生排成一个实心方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问这个方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？【答案】

每边9人，共81人．【分析】

每边有32÷4+1=9共916.若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有10人，共有多少层？1∼3层一共有多少人？【答案】

5；36【分析】

10÷2＝5（层），2×3＝6（人），6×6＝36（人），所以共有17.小明用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又用28枚棋子摆成了另外一个单层的空心方阵，摆完后他发现两个方阵正好可以拼在一起，组成一个新的三层空心方阵，那么他原来用了多少枚棋子？【答案】

32或80【分析】

如果单层空心方阵放在双层空心方阵的里面，那么原有棋子(28＋8)＋(28＋8＋18.有一个6层的空心方阵，最外层每边25人，问要多少学生才能排出这个空心方阵？【答案】

456人【分析】

(25−6)×6×4＝答：要456个学生才能排出这个空心方阵．19.用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖400块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外圈铺的是红色瓷砖，由外到内的第二圈是绿色瓷砖，第三圈是红色瓷砖，第四圈又是绿色瓷砖……这样依次铺下去．请问这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？【答案】

红色；40块．【分析】

共有400块瓷砖，所以整个方阵是一个20×20的方阵，共有10层，从外向里依次为红、绿两种颜色相间排列，最里一层为绿色；从外向里，每层红色瓷砖都比它里面相邻的那层绿色瓷砖多8块，所以红色比绿色多5×8=40块．20.用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？【答案】

44【分析】

方阵相邻两层棋子数差为8，又知两层棋子数和为64，由和差问题，外层有(64+8)÷2=36如果再增加一层，需要增加36+8=4421.在一个实心学生方阵中加入9人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】

16【分析】

(9－1)÷2＝22.在一个实心学生方阵中加入若干人，原来的方阵变成一个多一行，多一列的方阵；若原来的方阵减少13人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，问后来加入的学生有多少人？【答案】

15【分析】

(13+1)÷2＝7（人），7×2＋23.一批同学站成一个10×10的方阵，请问：最外一层共有多少人？从外向里的第3层有多少人？【答案】

36人；20人．【分析】

最外层每边10人，共有10×4−4=36人．从外向里的第3层有：36−8×2=20人．24.用黑、白两种颜色的正方形瓷砖共256块铺满一面正方形的墙，最外一层是黑色，第二层是白色，第三层是黑色……这样下去，那么整面墙上共有黑色瓷砖多少块？【答案】

144．【分析】

256=16×16，所以最外层每边16块，从外往里共有8层，所以黑的共有：60+44+28+12=144块．25.同学们参加了广播操比赛，排成每行9人，每列9人的实心方阵，问方阵中共有多少学生？【答案】

81【分析】

可以根据“实心方阵总人数得到9行9列的实心方阵人数为：9×9=8126.士兵排成一个实心方阵，最外一层一周的人数为80人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有多少士兵？【答案】

21；441人【分析】

80÷4＋1＝答：方阵外层每边有21人，这个方阵共有441士兵．27.一个13×13的方阵中，最外一层一共有多少人？从里向外的第3层有多少人？【答案】

48人；16人．【分析】

最外层共有：13×4−4=48人；最里边一层只有1人，里边第二层有8人．所以从里向外第3层有16人．28.在一个实心学生方阵中加入13人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】

36【分析】

(13－1)÷2＝29.在一个实心学生方阵中减少11人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】

36【分析】

(11+1)÷2＝6（人），所以原来的方阵有30.若干名同学站成一个15×15的方阵，请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里向外的第七层有多少人？【答案】

56；8；48．【分析】

最外层每边15人，但角落上的4个人每人都同时位于两条边上，所以最外层共有：15×4−4=56人；每人往里一层，每边人数会减少2个，最里层的每边应该有：15−2×7=1人，共有7+1=8层；从里向外第7层每边有：1+2×(7−1)=13人，所以这一层共有：13×4−4=48人．31.共有240人排成一个5层空心方阵，这个方阵最里面一层每边多少人？如果要在内部加一层，变成6层空心方阵，还需要增加多少人？【答案】

32；24．【分析】

5层中间一层共有：240÷5=48人，所以最内一层共有：48−8×2=32人，每边32÷4+1=9人，内部增加一层需要32−8=24人．32.一个实心方阵，最外面一层共有56人，那么这个方阵一共有多少人？【答案】

225．【分析】

最外层每边有：56÷4+1=15人，所以共有15×15=225人．33.共有200人排成一个5层空心方阵，这个方针最外面一层每边多少人？如果要在最外面增加一行一列，那么需要增加多少人？【答案】

15；31．【分析】

中间层共有：200÷5=40人，所以最外层共有：40+8×2=56人，每边有56÷4+1=15人；增加一行一列需要：16×16−15×15=31人．34.有一个240人排成的5层空心方阵，再增加多少人在最内层，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵？【答案】

24【分析】

240÷4÷5＋5＝12＋答：再增加24人在内部，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵．35.一个实心方阵，最外面一层共有36人，如果要让这个方阵增加一行一列，需要增加多少人？【答案】

21人．【分析】

最外层36人，每边36÷4+1=10人，增加一行一列需要11×11−10×10=21人．36.某校少先队员可以排成一个四层空心方阵，如果最外层每边有20个学生，问这个空心方阵最内层共有多少个学生？这个四层空心方阵共有多少个学生？【答案】

52；256【分析】

20−2−2−2＝14（人）；14×4−4＝56−4＝所以这个空心方阵最内层共有52个学生，这个四层空心方阵共有256个学生．37.在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似．从外向内一共8层，分别站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126名，那么：（1）最外层有多少人？（2）现在阵列中一共有多少人？（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？（最里层可站1个人）【答案】

（1）66人；（2）360人；（3）37人．【分析】

（1）六边形阵列中，相邻两层相差6人，所以最外层共有：(126+6)÷=66人．（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360人（3）还需要：18+12+6+1=37人．38.若干学生排成一个实心方阵，倒数第二层每边比第二层多10人，共有多少层？【答案】

8【分析】

(10÷2)+1＋2＝39.一个实心方阵，最外面一层共有44人，请问：（1）这个方阵共有多少人？（2）如果让这个方阵减少一行一列，一共需要减少多少人？【答案】

（1）144；（2）23．【分析】

（1）“最外一层共有44人”，说明最外层每边有：44÷4+1=12人，所以，这个方阵是一个12×12的方阵，共有12×12=144人．（2）减少一行一列，也就是变成一个11×11的方阵，需要减少144−11×11=23人．40.节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心方阵花坛，最外面的一层每边摆了12盆花，一共3层，一共用去多少盆花？【答案】

108【分析】

方法一：最外层共有12×4−4=44第二层共有44−8=36第三层共有36−8=28所以共有44+36+28=108方法二：第二层每边有12−2=10第二层共有10×4−4=36所以共有36×3=10841.晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，如图所示，外层每边有14个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？【答案】

96【分析】

方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个．知道最外面一层每边放14个棋子，就可以求出第二层每边的个数．知道各层每边的个数，就可以求出总数．(14−1)×4=52(14−2−1)×4=4452+44=96一共用了96个棋子．42.某学校三年级同学180人，排成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边多少人？【答案】

18【分析】

中间层总数为180÷3＝60（人），则每边有60÷4+1=16（人），所以最外层每边有43.120个棋子摆成一个三层空心方阵，最外层每边有多少棋子？【答案】

13个【分析】

中间层总数为120÷3=40（人），则每边有40÷4+1=11（人），所以最外层每边有11+2=13（人）．44.如图所示，用10枚棋子可以摆出一个正三角形点阵，每边4枚棋子；用9枚棋子可以摆成一个正方形点阵，每边3枚棋子．今有一堆棋子，棋子总数小于100，用这堆棋子既可以摆出一个正三角形点阵，也可以摆出一个正方形点阵，问这堆棋子共有多少枚？【答案】

36【分析】

100以内的平方数，只有6所以36既可以组成边长为6的方阵，也能组成边长为8的正三角形点阵．45.有225枚棋子，摆成一个15×15的正方形，甲、乙两人从最外一层起，轮流取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了多少没枚棋子？【答案】

31【分析】

甲取走的是56,40,24,8，乙取走的是48,32,16,1，甲比乙多取31枚．46.刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6棵树苗；后来又运来了34棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵．那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？【答案】

11或7【分析】

若增加了1层，则现在最外层共有40棵树，所以最外层每边共有：40+4÷4=11若增加了2层，则40=16+24，此时最外层有：24+4÷4=747.三年级广播体操比赛采用了方阵的形式，每个方阵有5行，每行8人，3个这样的方阵有多少人？【答案】

120人【分析】

5×8×3＝120（人），答：3个这样的方阵有48.若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有12人，共有多少层？1∼4层一共有多少人？【答案】

6；64【分析】

12÷2＝6（层），2×4＝8（人），8×8＝64（人），所以共有49.一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？【答案】

196【分析】

16+28=44（人），所以空心部分新增一层每边有44÷4+1=12（人），所以最外层每边有12+2×3=18（人），所以排好的三层共182−1250.某班所有学生恰好可以排成一个每边为8人的三角阵，请问：这个班共有多少人？【答案】

36人．【分析】

每边为8人的三角阵共有：1+2+3+⋯+8=36人．51.176个棋子摆成一个四层空心方阵，最内层每边有多少棋子？【答案】

9个【分析】

最内层与最外层总数和为176÷4×2＝88（个），则则最内层有(88−3×8)÷2=32（个），则每边有52.学而思运动会上，五年级的女生们准备出一个团体操的节目．现在的人数刚好排成一个方阵（每一行人数和每一列人数相等）．后来又加入了23个女生，恰好还可以组成一个方阵．那么你能算出加入23人之前，方阵共有多少人吗？【答案】

121人【分析】

依题意，前后两次的学生总人数都是完全平方数．不妨设前者人数是B2，后者人数是A2.那么根据平方差式，A2−B2=A+BA+B则加入23人之前，方阵有11×11=121人．53.同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多少盆花？【答案】

44【分析】

对于两层方阵，外层比内层多8盆，两层共64盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数是(64+8)÷2=36（盆），从而得出需增加的盆数，36+8=44（盆）．54.如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成．现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点都种上（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，且每条边上有10朵花．请问：整个绿地一共要种多少朵花？【答案】

162朵．【分析】

每个三角形草地里每边都有10朵花，所以每片草地有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55朵花，三片草地共有：55×3=165朵花．但这样算，三角形的连接处都被算了2次，多算1次，所以整个绿地一共种花165−3=162朵．55.用白、蓝两种颜色的正方形瓷砖铺满一面正方形的墙，共用了324块，最里面一层是蓝色的，第二层是白色，第三层是蓝色……这样下去，最外面一层是什么颜色？整面墙上共有白色瓷砖多少块？【答案】

蓝色；144．【分析】

324=18×18，共有9层，所以最外层是蓝色的；共有白色瓷砖：12+28+44+60=144块．56.在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个