新教材适用2023-2024学年高中数学第4章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算学案新人教A版必修第一册

4．3.2对数的运算学习目标1．理解对数的运算性质．2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．核心素养1．借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.知识点1对数的运算性质条件a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0性质loga(MN)＝_logaM＋logaN_logaeq\f(M,N)＝_logaM－logaN_logaMn＝_nlogaM_(n∈R)想一想：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．练一练：1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数是(A)①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③logaeq\f(x,y)＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.A．0 B．1C．2 D．3[解析]由对数运算法则知，均不正确．故选A.2．计算log510－log52等于(C)A．log58 B．lg5C．1 D．2[解析]log510－log52＝log55＝1.故选C.知识点2换底公式若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有logab＝eq\f(logcb,logca)_.想一想：换底公式中底数c是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．练一练：1．计算：log25·log32·log59＝_2_.[解析]原式＝eq\f(lg5,lg2)·eq\f(lg2,lg3)·eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(lg5,lg2)·eq\f(lg2,lg3)·eq\f(2lg3,lg5)＝2.2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log312＝eq\f(2a＋b,b)_.[解析]log312＝eq\f(lg12,lg3)＝eq\f(lg(22×3),lg3)＝eq\f(2lg2＋lg3,lg3)＝eq\f(2a＋b,b).题型探究题型一对数的运算性质的应用典例1用logax，logay，logaz表示：(1)loga(xy2)；(2)loga(xeq\r(y))；(3)logaeq\r(3,\f(x,yz2)).[解析](1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay.(2)loga(xeq\r(y))＝logax＋logaeq\r(y)＝logax＋eq\f(1,2)logay.(3)logaeq\r(3,\f(x,yz2))＝eq\f(1,3)logaeq\f(x,yz2)＝eq\f(1,3)[logax－loga(yz2)]＝eq\f(1,3)(logax－logay－2logaz)．[归纳提升]对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．对点练习❶用logax、logay、logaz表示下列各式：(1)loga(x3y5)；(2)logaeq\f(\r(x),yz).[解析](1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay.(2)logaeq\f(\r(x),yz)＝logaeq\r(x)－loga(yz)＝logaxeq\f(1,2)－(logay＋logaz)＝eq\f(1,2)logax－logay－logaz.题型二利用对数的运算性质化简、求值典例2(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2)eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27)；(3)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51.8.[分析]熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．[解析](1)原式＝(lg5)2＋(2－lg2)lg2＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,(4－3)lg3)＝eq\f(11,5).(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.[归纳提升]利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．对点练习❷计算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.[解析](1)法一：原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).法二：原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝log(eq\r(2)·eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.题型三换底公式的应用典例3(1)计算log2eq\f(1,25)·log3eq\f(1,8)·log5eq\f(1,9)；(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．[分析](1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．[解析](1)原式＝eq\f(lg\f(1,25),lg2)·eq\f(lg\f(1,8),lg3)·eq\f(lg\f(1,9),lg5)＝eq\f((－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3),lg2·lg3·lg5)＝－12.(2)由题意，得eq\f(lg4,lg3)·eq\f(lg8,lg4)·eq\f(lgm,lg8)＝eq\f(lgm,lg3)＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\r(3).[归纳提升]关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝eq\f(1,logba)；logaan＝n，＝eq\f(n,m)logab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．对点练习❸(1)已知x·log32＝1，则4x＝(D)A．4 B．6C．4log32 D．9(2)计算(log32＋log23)2－eq\f(log32,log23)－eq\f(log23,log32)为_2_.[解析](1)因为x·log32＝1，所以x＝log23，所以4x＝＝9.(2)原式＝(log32)2＋2log32×log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.误区警示忽视真数大于零致误典例4解方程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1.[错解]原方程变形为log2(x＋1)－eq\f(1,2)log2(x＋4)＝1，∴log2(x＋1)－log2eq\r(x＋4)＝1，∴log2eq\f(x＋1,\r(x＋4))＝log22，∴eq\f(x＋1,\r(x＋4))＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5，故原方程的解为x＝－3或x＝5.[错因分析]解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．[正解]∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，∴log4eq\f((x＋1)2,x＋4)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x＋4>0，,\f((x＋1)2,x＋4)＝4，))解得x＝5或x＝－3(舍去)．∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.[方法点拨]在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．1．2log510＋log50.25的值为(C)A．0 B．1C．2 D．4[解析]原式＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝log552＝2.2．lg25＋lg4＋的值为(B)A.eq\f(7,3) B．5C．eq\f(31,3) D．13[解析]原式＝lg(25×4)＋＝lg100＋3＝2＋3＝5.3．设10a＝2，lg3＝b，则log26＝(B)A.eq\f(b,a)