新高考数学一轮复习讲练测专题7.3等比数列及其前n项和（练）解析版

专题7.3等比数列及其前n项和练基础练基础1．（2021·全国高考真题（文））记SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前n项和.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】根据题目条件可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，从而求出SKIPIF1<0，进一步求出答案.【详解】∵SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前n项和，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：A.2．（2021·山东济南市·）已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝SKIPIF1<0，a32＝a4，则a5＝（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．8 D．16【答案】C【解析】设等比数列的公比为q，根据题意列方程，解出SKIPIF1<0和q即可.【详解】解：设递增的等比数列{an}的公比为SKIPIF1<0，且qSKIPIF1<01，∵S3＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（1+q+q2）＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0q4＝SKIPIF1<0q3，解得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，q＝2；SKIPIF1<0＝2，q＝SKIPIF1<0（舍去）．则SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝8．故选：C．3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设等比数列SKIPIF1<0公比为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0结合已知条件求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，再利用等比数列前n项和公式求SKIPIF1<0.【详解】设等比数列SKIPIF1<0公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设等比数列SKIPIF1<0的公比为q，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.【详解】设等比数列SKIPIF1<0的公比为q，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里【答案】D【解析】根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解可得，则；即此人第二天走的路程里数为96；故选：D．6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，进而判断可得出结论.【详解】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0为递增数列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的既不充分也不必要条件.故选：D.7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得出数列SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为首项，以SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____，SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】利用SKIPIF1<0求通项公式，再求出SKIPIF1<0.【详解】对于SKIPIF1<0，当n=1时，有SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<01；当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等比数列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：1，SKIPIF1<0.9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________，SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】根据SKIPIF1<0，求出数列的通项公式，再代入求出SKIPIF1<0．【详解】解：因为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为2的等比数列，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；10.（2018·全国高考真题（文））等比数列an中，a（1）求an（2）记Sn为an的前n项和．若Sm【答案】（1）an=(−2)（2）m=6.【解析】（1）设{an}的公比为q由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），故an=(−2)（2）若an=(−2)n−1，则Sn若an=2n−1，则Sn=2综上，m=6．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即：.本题选择B选项.2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0个数为SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．46 B．47 C．48 D．49【答案】C【解析】根据“数塔”的规律，可知第SKIPIF1<0行共有SKIPIF1<0个数，利用等比数列求和公式求出第SKIPIF1<0行的数字之和，再求出前SKIPIF1<0行的和，即可判断SKIPIF1<0取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出SKIPIF1<0；【详解】解：“数塔”的第SKIPIF1<0行共有SKIPIF1<0个数，其和为SKIPIF1<0，所以前SKIPIF1<0行的和为SKIPIF1<0故前SKIPIF1<0行所有数学之和为SKIPIF1<0，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为SKIPIF1<0，易知“数塔”前SKIPIF1<0行共有SKIPIF1<0个数，所以SKIPIF1<0故选：C3．（2021·江苏高三其他模拟）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则下列结论中正确的有（）A．SKIPIF1<0是递增数列 B．SKIPIF1<0是等比数列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】将递推公式两边同时取指数，变形得到SKIPIF1<0，构造等比数列可证SKIPIF1<0为等比数列，求解出SKIPIF1<0通项公式则可判断A选项；根据SKIPIF1<0判断B选项；根据SKIPIF1<0的通项公式以及对数的运算法则计算SKIPIF1<0的正负并判断C选项；将SKIPIF1<0的通项公式放缩得到SKIPIF1<0，由此进行求和并判断D选项.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时单调递增，SKIPIF1<0在定义域内单调递增，所以SKIPIF1<0是递增数列，故A正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是等比数列，故B错误.因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，于是，SKIPIF1<0，故C正确.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD.4.（2019·浙江高三期末）数列的前n项和为，且满足，Ⅰ求通项公式；Ⅱ记，求证：．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析【解析】Ⅰ，当时，，得，又，，数列是首项为1，公比为2的等比数列，；证明：Ⅱ，，时，，，同理：，故：．5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0；（2）是否存在实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使SKIPIF1<0为等比数列？若存在，求出SKIPIF1<0，若不存在，说明理由.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在，SKIPIF1<0.【解析】（1）将SKIPIF1<0代入，由递推关系求出通项公式，并检验当SKIPIF1<0时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足题意，结合已知条件求出满足数列SKIPIF1<0是等比数列的实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，运用分组求和法求出SKIPIF1<0的值.【详解】（1）由题可知：当SKIPIF1<0时有：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0满足上式，故SKIPIF1<0.（2）假设存在实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足题意，则当SKIPIF1<0时，由题可得：SKIPIF1<0，和题设SKIPIF1<0对比系数可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0是首项为4，公比为2的等比数列.从而SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为实数）．（1）求证：SKIPIF1<0是等比数列；（2）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（3）若SKIPIF1<0是递增数列，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0，变形为SKIPIF1<0，再利用等比数列的定义证明；（2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求解；（3）根据SKIPIF1<0是递增数列，由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0恒成立求解.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等比数列．（2）由SKIPIF1<0，公比为2，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（3）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是递增数列，所以SKIPIF1<0成立，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，因为SKIPIF1<0是递减数列，所以该数列的最大项是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，….SKIPIF1<0记第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0个数为SKIPIF1<0.（Ⅰ）若SKIPIF1<0，写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的表达式，并归纳出SKIPIF1<0的表达式；（Ⅱ）求第SKIPIF1<0行所有数的和SKIPIF1<0.【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（Ⅱ）SKIPIF1<0.【解析】（I）由数阵写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此可归纳出SKIPIF1<0.（II）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，利用错位相减法求得结果.【详解】（Ⅰ）由数阵可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此可归纳出SKIPIF1<0.（Ⅱ）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，错位相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，按照如下规律构造新数列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前2n项和.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）数列SKIPIF1<0的前2n项和为SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0可得答案；（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，两式相除可得数列SKIPIF1<0的偶数项构成等比数列，再由（1）可得数列SKIPIF1<0的前2n项的和.【详解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，适合上式.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0的偶数项构成以SKIPIF1<0为首项､2为公比的等比数列.故数列SKIPIF1<0的前2n项的和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0的前2n项和为SKIPIF1<0.9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，（1）令，求证：数列是等比数列；（2）令，当取得最大值时，求的值.【答案】（I）见解析（2）最大，即【解析】（1）两式相减，得∴即：∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，即也满足上式令，则，∴最大，即10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求使SKIPIF1<0成立(SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数)的最大整数SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）最大值为44.【解析】（1）由题得数列SKIPIF1<0是等比数列，即求出数列SKIPIF1<0的通项；由题得SKIPIF1<0是一个以SKIPIF1<0为首项，以1为公差的等差数列，即得数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）先求出SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0即得解.【详解】解：（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是等比数列，公比为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是一个以SKIPIF1<0为首项，以1为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为单调递减且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值为44；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值为43；故SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值为44.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题（理））等比数列SKIPIF1<0的公比为q，前n项和为SKIPIF1<0，设甲：SKIPIF1<0，乙：SKIPIF1<0是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当SKIPIF1<0是递增数列时，必有SKIPIF1<0成立即可说明SKIPIF1<0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为SKIPIF1<0时，满足SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若SKIPIF1<0是递增数列，则必有SKIPIF1<0成立，若SKIPIF1<0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则SKIPIF1<0成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．2.（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则SKIPIF1<0=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【解析】设等比数列的公比为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故选：B.3.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．4．（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以．5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于SKIPIF1<0的等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】(1)设等比数列SKIPIF1<0的公比为q(q>1)，则SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列的通项公