新高考数学一轮复习讲练测专题8.2空间几何体的表面积和体积（讲）解析版

专题8.2空间几何体的表面积和体积新课程考试要求1.理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体.2.会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.核心素养本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.考向预测（1）以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.（2）与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用.（3）几何体的表面积与体积与三视图结合是主要命题形式.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想．【知识清单】知识点1．几何体的表面积圆柱的侧面积圆柱的表面积圆锥的侧面积圆锥的表面积圆台的侧面积圆台的表面积球体的表面积柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.知识点2．几何体的体积圆柱的体积圆锥的体积圆台的体积球体的体积正方体的体积正方体的体积【考点分类剖析】考点一：几何体的面积【典例1】（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为SKIPIF1<0（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为SKIPIF1<0的球，其上点A的纬度是指SKIPIF1<0与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为SKIPIF1<0，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【解析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为SKIPIF1<0则该圆锥的侧面积为________.【答案】SKIPIF1<0【解析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【规律方法】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【变式探究】1．（2020·全国高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，球的表面积.故选：A

2．（2020·北京高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．

A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：.故选：D.【总结提升】计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.考点二：几何体的体积【典例3】（2021·天津高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为SKIPIF1<0，两个圆锥的高之比为SKIPIF1<0，则这两个圆锥的体积之和为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点SKIPIF1<0，设圆锥SKIPIF1<0和圆锥SKIPIF1<0的高之比为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，这两个圆锥的体积之和为SKIPIF1<0.故选：B.【典例4】（2018·全国高考真题（文））在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.【总结提升】（1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．（3）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法（4）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.（5）三视图形式：若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解提醒：处理高线问题时，经常利用的方法就是“等积法”．【变式探究】1．（2018·全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．【答案】8π【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线，高，底面圆半径的长，代入公式计算即可.详解：如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.2．（2019·山西高三月考）已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是__．【答案】【解析】如图所示，设，则，外接圆的半径为则三棱锥的高为，三棱锥的体积公式为，设，则，，令，解得，在单增，单减，，所以三棱锥体积最大值为【方法总结】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.考点三：几何体的展开、折叠、切、截问题【典例5】（2019·天津高考真题（理））已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.【答案】.【解析】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为.【规律方法】几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.【典例6】（2019·四川高三月考（理））学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为.打印所用部料密度为．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________.（取）【答案】【解析】设被挖去的正方体的棱长为，圆锥底面半径为，取过正方体上下底面面对角线的轴截面，由相似三角形得则，解得．模型的体积为，因此，制作该模型所需材料质量约为．故答案为：.【典例7】（2021·上海高二期末）已知正三棱柱SKIPIF1<0的侧棱长为4，底面边长为SKIPIF1<0，且它的六个顶点均在球SKIPIF1<0的球面上，则球SKIPIF1<0的体积为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根据题意画出图形，由正弦定理求出SKIPIF1<0的外接圆半径，再根据勾股定理，求出球的半径，根据球的体积公式即可求解.【详解】解：如图所示，设SKIPIF1<0中心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，根据等边三角形性质知：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外接圆半径，根据正弦定理得：SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故球SKIPIF1<0的体积为：SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.【总结提升】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．【典例8】（2021·浙江高二期末）某四棱锥三视图如图所示，则该几何体的体积是______，其内切球半径为_____.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0；【解析】根据三视图画出原几何体，如图所示，是从正方体中截得的四棱锥SKIPIF1<0，从而可求出其体积，然后利用等体积法可求出内切球的半径【详解】解：由三视图可知，原几何体是如图所示的四棱锥SKIPIF1<0，所以该几何体的体积为SKIPIF1<0，设该几何体的内切球的半径为SKIPIF1<0，则由图可知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【总结提升】看个性考向(一)是几何体的外接球一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.考向(二)是几何体的内切球求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.找共性解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：【变式探究】1.（2020·佛山市第四中学高二月考）《九章算术.商功》中有这样段话：“斜解立方，得两壍堵(qiandu).斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑(bienao).”这里所谓的“鳖臑”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥SKIPIF1<0是一个“鳖臑”，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】将三棱锥SKIPIF1<0补为长方体可求得结果.【详解】如图所示，将三棱锥SKIPIF1<0补为一个长宽高分别为SKIPIF1<0的长方体，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球即长方体的外接球.设外接球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积SKIPIF1<0.故选：B.2．【多选题】（2021·江苏高一期末）已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，则（）．A．SKIPIF1<0 B．四面体SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0C．四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0 D．四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0由已知条件可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可判断A；求出正四面体SKIPIF1<0表面积可判断B；由A选项得知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，可得四面体SKIPIF1<0的体积可判断C；将正四面体SKIPIF1<0补成正方体，正方体的对角线即为外接球的直径，正四面体的棱长即为正方体面对角线长，计算出正方体对角线长可求出外接球的半径可判断D.【详解】对于A，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是正四面体，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正确；正四面体SKIPIF1<0的一个侧面的面积为SKIPIF1<0，所以表面积为SKIPIF1<0，故B正确；由A选项得知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是正四面体，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，故C错误；将正四面体SKIPIF1<0补成正方体，则正四面体和长方体有相同的外接球，正方体的对角线即为外接球的直径，正四面体的棱长即为正方体面对角线长，因为正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，所以正方体的棱长为SKIPIF1<0，对角线长为SKIPIF1<0，所以外接球的半径为SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABD.3．（2018·天津高考真题（文））如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．【答案】【解析】如图所示，连结，交于点，很明显平面，则是四棱锥的高，且，，结合四棱锥体积公式可得其体积为，故答案为.【典例9】（2020-2021学年江苏省连云港市）已知正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折起，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到三棱锥SKIPIF1<0．若O为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点（不包括端点），且SKIPIF1<0，则当点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为________时，三棱锥SKIPIF1<0的体积取得最大值，且最大值是________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】首先证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为三棱锥的高，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，将三棱锥的体积表示为关于SKIPIF1<0的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】因为四边形SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，因为O为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积最大为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【规律方法】有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【变式探究】（2017课标1，理16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】【典例10】（2020·浙江温州中学高三3月月考）单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF