2023届高考数学模拟试题分类汇编立体几何 无答案

2023届优质模拟试题分类汇编(新高考卷)

立体几何

一.基本原理

1.直线的方向向量：

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点A(X］，M，Z1),3(工2，%，22)，那么直线A3的方向向量可为43=(巧一斗,出一y，Z2-Zj)

2.平面的法向量定义：

直线/，加取直线/的方向向量4,我们称向量4为平面a的法向量.给定一个点A和一个向量。，那么

过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合｛P|a-AP=。｝.

注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线

的方向向量，可求出该平面的一个法向量.

3.平面的法向量确定通常有两种方法：

(1)几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；

(2)几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

(i)设出平面的法向量为"=(x,y,z)；

(ii)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标,b=(a2,b2,c2)；

na=0

(“…；

(iv)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的

解中取一个最简单的作为平面的法向量.

知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行.

(1)线线平行

设直线//的方向向量分别是a,6,则要证明《/%，只需证明a//b,即d=WkeR).

(2)线面平行

线面平行的判定方法一般有三种:

①设直线/的方向向量是a,平面a的向量是“，则要证明///a,只需证明即q.〃=0.

②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方

向向量是共线向量.

③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内

两个不共线向量线性表示即可.

(3)面面平行

①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.

②若能求出平面a,/的法向量则要证明a/〃？，只需证明〃///.

知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直.

(1)线线垂直

设直线//的方向向量分别为a,6,贝IJ要证明4口，只需证明。_16,即=0.

(2)线面垂直

①设直线/的方向向量是a,平面a的向量是“，则要证明/_La,只需证明。〃”.

②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.

(3)面面垂直

①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.

②证明两个平面的法向量互相垂直.

知识点四、用向量方法求空间角

(1)求异面直线所成的角

已知a,8为两异面直线，A,C与B,O分别是“，〜上的任意两点，a,〜所成的角为，，

\ACBD\

贝！Jcos，=

\AC\-\BD\

注：两异面直线所成的角的范围为(0°,90"两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来

求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角.

(2)求直线和平面所成的角

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如图，设直线/的方向向量为之，平面a的法向量为二,直线与平面所成的角为e与〃的角为8,则

f—>

\e'n\

有sin夕=|cos外（易错点）

（3）求二面角

如图，若以_La于力于B,平面2钻交/于E,则N4£B为二面角夕-/-尸的平面角，

AAEB+ZAPB=\^.

，贝!l二面角的平面角4加8=（"1，%）或%,

即二面角0等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角.

①当法向量为与公的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角6的大小等于4,%的夹角（4,%）的大

小.

②当法向量4,乙的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角0的大小等于外,电的夹角的补角

万_（4，"）的大小.

知识点五、用向量方法求空间距离

1.求点面距的一般步骤：

①求出该平面的一个法向量；

②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.

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即：点A到平面a的距离〃是平面a的法向量，如

\AP\-\n\\n\

下图所示.

4.如图4,正方形中（边长为1:1的矩形），E,尸为中点，则

5.如图5,边长为2:3的矩形，可以看做是4的推广，有BE:BH.

6.“筝形翻折模型”

结论：如图，AB=AC,DB=DC,设。为中点，则AO_LBC,故8。，面4。。，则

BCVAD.

7.面面垂直找交线，找到交线引垂线.

二.试题演练

例1.（2023届武汉9月调研）如图，在图1的等腰直角三角形A8C中，AB=CB=3,边A8,AC上的点

满足黑=n=5,将三角形AE尸沿所翻折至三角形PEF处，得到图2中的四棱锥P-且二面

ABAC3

角P-£F-8的大小为60。.

（1）证明：平面P8C_L平面EFC5；

(2)求直线BE与平面PAC所成角的正弦值.

例2(福建省部分地市2023届高三第一次质量检测)如图，在直三棱柱ABC-AMG中，AC=&,48_LBC,

E,尸分别为BA，CA的中点，且印工平面AAGC.

B

C

G

(1)求A5的长；

(2)若朋=血，求二面角C-AE-A的余弦值.

例3(福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一)三棱柱ABC-44G中,

AA^=AB=2y/3,CA,=4,CBt=2/j,NBA\=60°.

(2)若C4=4,求二面角A-CA-G的余弦值.

例4.(2023届佛山一模)如图，AC。和△BCD都是边长为2的等边三角形，平面ACO,平面BCD,EBL

平面BCD.

C

(1)证明：EB〃平面AC。；

(2)若点E到平面ABC的距离为求平面ECO与平面BC。夹角的正切值.

例5(2023届深圳一模)如图，在四棱锥尸-A5C。中，PD±AB,且PD=PB,底面ABC。是边长为2

(1)证明：平面D4C_L平面A8CZ)；

(2)若PALPC,求平面孔18与平面PBC夹角的余弦值.

例6.(广州市2023届高三一模)如图，已知四棱锥P-ABCO的底面A8C。是菱形，平面P8C1平面ABCD,

/4CO=30,E为AO的中点，点厂在B4上，AP=3AF.

(1)证明：PC//平面BEF;

(2)若NPDC=NPDB,且PD与平面ABC。所成的角为45,求平面AEF与平面8砂夹角的余弦值.

例7(2023届武汉二调)如图，四棱台。的下底面和上底面分别是边4和2的正方形，侧棱

C,E1

C£上点E满足不不=§.

(1)证明：直线48〃平面ARE；

(2)若C£_L平面ABC。，且CG=3,求直线与平面ARE所成角的正弦值.

例8（2023届南通二调）如图，在，AfiC中，AQ是8c边上的高，以AO为折痕，将A8折至的

位置，使得

⑵若AD=PB=4,BD=2,求二面角B—R4—O的正弦值.

例9（山东省济南市23届高三上学期期末数学试题）如图，在三棱柱ABC-A4G中，四边形4AB乃是

菱形，AB1AC,平面AA4B_L平面ABC.

（1）证明:\BLBXC.

JT

（2）已知ZA网=§,AB=AC=2,平面劣瓦^与平面相＜7的交线为/.在/上是否存在点P,使直线4出

与平面所成角的正弦值为J?若存在，求线段见尸的长度；若不存在，试说明理由.

4

例11（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试）在四棱锥P-MCD中，底面ABCD是直角梯

形，AB//CD,ABrAD,根U面底面ABC。，DP=DA=DC=-AB.