圆锥曲线的通用形式与标准形式的转换全套

[名校]圆锥曲线的通用形式与标准形式的转换圆锥曲线的来历及其种类，列出的都是其标准方程。方程特征值离心率e圆X2+y2=r2半径r等于0椭圆X2/a2+y2/b2=1长轴在x上为2a小于1双曲线X2/a2-y2/b2=1实轴在x上大于1抛物线Y2=2px焦点到准线距离为p,对称轴为x等于1表一：圆锥曲线的标准形式它们共同的特点是其图形中心都在直角坐标的原点，都对称于坐标轴，并且没有xy乘积项。那么有没有一种通用的形式能够表达上面的圆锥曲线方程呢？答案是肯定的。设二元二次方程为：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（1）就能满足圆锥曲线的通式，其中A，B,C,D,E,F都是实数。（1）式通过坐标的平移或旋转的变换就可以变成表一中的标准表达式。讨论1：如果B=0，那么Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，（2）这个方程通过配方就可以转换成圆锥曲线的对称轴平行于x或y轴（特殊情况可能是直线或一点）的形式。如果A或C中有一个为零，则曲线的形式为抛物线，例如x2-4x

−8y

+12=0其经过配方为（x-2）2=8(y-1),这是顶点在（2，1）焦点到准线距离p=4的抛物线。如图1：图一方程式(2)通过平移可以转换成表一的标准形式。平移的公式为：x=x’+hy=y’+k（3）其中（x,y）是（1）式的原坐标，(x’,y’)是平移后的新坐标。由下图可清晰地看出点P在新旧坐标之间的关系，其中O‘（h,k）是新坐标原点在旧坐标系的坐标。图2：坐标轴平移讨论2：如果A，C同为正数或负数，B=0，则式子（1）为椭圆的表达式。例如：9x2

+4y2−36x

+24y

+36=0，它经过配方可变成：利用平移原理，可知它在新坐标是符合椭圆的标准方程,只要设x’=x-2,y’=y+3，即坐标平移到（2，-3）这点就满足标准形式。图3讨论3：如果A，C是异号，B=0，则是（1）是双曲线的方程，举例如下：9x2

−16y2+36x

+32y

–124=0，将其配方可得：根据平移公式可知h=-2,k=1,即新坐标原点，也是双曲线的轴对称中心为（-2，1），其中长半轴a=4,短半轴（虚轴）=3，曲线如下：图4讨论4：如果B≠0，通过坐标轴的旋转变换可去掉xy乘积项。高中学习了坐标旋转变换的公式：x=x’cosθ-y’sinθy=x’sinθ+y’cosθ（4）该公式根据下图可自行推导。图5：坐标轴旋转将旋转坐标公式（4）带入（1）中推导会得出新坐标系下的方程：A’x’2+Bx’y’+Cy’2+Dx’+Ey’+F=0(5)将（5）式与（1）式的系数对应相等，然后让B’=0,可推出：若A=C，则旋转π/4,就可以消除xy乘积项。A≠C可得下面的系数转换式子：若A≠C，利用（6）式子可得出θ角，然后按上面的算式求A’,B‘，C’，D‘，E’,F’.但实际上利用三角变换可以不求θ角，而直接算出新系数。因为知道cot2θ的值可求得tanθ,随后利用tanθ的结果带入上面的系数公式，请读者利用三角函数的知识自行推导。举个例子：13x2−63xy

+7y2−256=0.在这个等式中A

=13,

B

=−63,

C

=7,

D

=0,

E

=0,及

F

=−256.cot2θ

=（A

–

C）/B,

可得θ=π/3,带入旋转坐标转换的公式中可得：A’=4，B’=0,C’=16,D’=0,E’=0,F’=F.由此可得方程：其曲线图形如下：图6想想xy=1怎样坐标转化，最后是什么圆锥曲线？最后讨论Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0系数满足什么条件会是椭圆，双曲线或抛物线。令判别式Δ=B2-4AC，当Δ=0时为抛物线（特殊形式为两平行直线）当Δ＜0时为椭圆（特殊形式为点）当Δ＞0时为双曲线（特殊形式是两相交