2023学年完整公开课版菱形的判定

19.2菱形2.菱形的判定

菱形的判定方法：①有一组___________的平行四边形是菱形；②四条边都________的四边形是菱形；③对角线_________的平行四边形是菱形．邻边相等相等互相垂直菱形的判定1．(3分)如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件：______________________，使得平行四边形ABCD为菱形．AC⊥BD(答案不唯一)2．(3分)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件_______________________，使ABCD成为菱形．OA＝OC(答案不唯一)3．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形．解：证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵在矩形ABCD中，OC＝OD，∴四边形OCED是菱形一、选择题(每小题4分，共12分)1．(2014·崇左)下列说法正确的是(

)A．对角线相等的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的平行四边形是菱形B2．如图，下列条件能使▱ABCD为菱形的有(

)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A．①③B．②③C．③④D．①②③AA三、解答题(共40分)16．(8分)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：证明：(1)∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴四边形AECD是菱形(2)△ABC是直角三角形．理由：由(1)得AE＝EC，∴∠EAC＝∠ECA.又∵E是AB的中点，∴EB＝EA＝EC，∴∠B＝∠ECB，而∠EAC＋∠ECA＋∠B＋∠ECB＝180°，∴∠ECA＋∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形

17．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠BAC，分别与BC，CD交于点E，FEH⊥AB于点H，连结FH.求证：四边形CFHE是菱形．解：证明：∵∠BCA＝∠EHA＝90°，AE平分∠BAC，∴EC＝EH.又∵∠CAE＋∠AEC＝90°，∠EAD＋∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CFE.∴∠CEF＝∠CFE.∴CF＝CE.∴CE＝CF＝EH.又∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CD∥EH.∴四边形CFHE是菱形18．(10分)如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，P，Q分别是BM，DN的中点．(1)求证：△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝DC，AD＝BC.∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝NC，∴△MBA≌△NDC

(2)四边形MPNQ是菱形．理由：∵△MBA≌△NDC，∴MB＝DN，∠ABM＝∠CDN.∵P，Q分别是BM，DN的中点，∴PM＝NQ，∵∠ABM＋∠CBM＝90°，∠CDN＋∠CND＝90°，∴∠CBM＝∠CND，∴PM∥NQ，∴四边形MPNQ是平行四边形．连结MN，由题意可得四边形AMNB是矩形，PN为直角△MNB斜边上的中线，故PN＝MP，∴四边形MPNQ是菱形【综合运用】19．(12分)如图，以△ABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD，△BCE，△ACF.(1)四边形ADEF是什么四边形？为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？请证明你的猜想；(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？为什么？(4)当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？

解：(1)平行四边形，理由：由SAS可证△DBE