1.5三角函数的应用（课件）-九年级数学下册（北师大版）

学习目标1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力.（重点）2.灵活地将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决.（难点）如图:点A在O的北偏东

°，点B在点O的南偏西

°(西南方向).复习回顾1.解直角三角形需要满足的条件：在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，至少知道其中的

个元素(至少有一个是

)后，就可求出其余的元素．两边2.指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°的角叫做方位角。3.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为

；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为

.3045仰角俯角北东30°45°西南AOB一、创设情境，引入新知

我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.

那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？

泰坦尼克号求AD，但在Rt△ACD和Rt△ABD中，都只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把两个三角形的公共边AD看成已知，用含AD的代数式表示BD和CD，由BC＝20nmile建立关于AD的方程，从而求得AD.二、自主合作，探究新知探究一：应用三角函数解决与方位角有关的实际问题BACD东北如图，海中有一个小岛A，该岛四周10nmile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20nmile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行.【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离AD是否大于10nmile.若AD＞10nmile，则不会有触礁危险，否则有危险.问题：你认为货轮继续向东航行会有触礁的危险吗？你是怎样想的？55°25°20nmile如何求AD的长呢？二、自主合作，探究新知过点A作AD⊥BC于点D,设AD=x,解得所以，这船继续向东航行没有触礁的危险.∵BC=BD-CDx解：根据题意可知，∠BAD=55º，∠CAD=25º，BC=20nmile.∴∴∴x·tan55°-x·25°=20

BACD东北55°20nmile25°可借助计算器求解探究二：应用三角函数解决与仰角俯角有关的实际问题想一想：如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）二、自主合作，探究新知分析：求CD，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△BCD中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以仍要用方程思想，先把CD看成已知，用含CD的代数式表示AC和BC，由AB＝50m建立关于CD的方程，从而求得CD.30°60°50m二、自主合作，探究新知30°60°50mx解:如图,根据题意可知,∠A=30º,∠DBC=60º,AB=50m.设CD=x,所以，该塔约有43m高.∵AB=AC-BC

二、自主合作，探究新知探究三：应用三角函数解决与倾斜角有关的实际问题做一做：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).BADC┌4m35°40°分析：如图，①求调整后的楼梯会加长多少，即求

；②求楼梯多占多长一段地面，即求

.AB-BDAD在Rt△BCD中，已知一边和一角，可以求出BC、CD的长，进而在Rt△ABC中求出AB、AC，进而求出AB-BD和AD.如何求AB、AD的长呢？二、自主合作，探究新知BADC┌4m35°40°

∴调整后的楼梯会加长约0.48m.二、自主合作，探究新知∴楼梯多占约0.61m长的一段地面.BADC┌4m35°40°

生活问题数学化知识要点二、自主合作，探究新知

实际问题图形分析（构造直角三角形）设未知量解答问题（构建三角函数模型）（代入数据求解）

求解方程

数学问题

建立方程利用三角函数解决实际问题的步骤：2.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.1．如图，某轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（

）．

三、即学即练，应用知识D4.如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于

（根号保留）．3.如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是

．三、即学即练，应用知识

5.如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角,且DB＝5m.在C点上方2m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m)三、即学即练，应用知识

四、课堂小结利用三角函数解决实际问题的步骤：生活问题数学化

实际问题图形分析（构造直角三角形）设未知量解答问题（构建三角函数模型）（代入数据求解）

求解方程

数学问题

建立方程1.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.五、当堂达标检测1002.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________.km

五、当堂达标检测

EF4.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程