2022年内蒙古杭锦旗城镇初级中学中考数学押题试卷含解析

12.如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在

坡顶D测得树顶B的仰角为30。，已知DE_LEA,斜坡CD的长度为30m,DE的长为15m,则树AB的高度是m

2x+9＜＞6x+l的解集为、＜则人的取值范围为

13.不等式组L-.12'

14.如果a是不为1的有理数，我们把」一称为a的差倒数如：2的差倒数是工的差倒数是丁工=:，已

\—a1—2i—z

知4=4,%是q的差倒数，是生的差倒数，为是。3的差倒数，…，依此类推，则々59=

15.比较大小：3V10（填＜，＞或=）.

16.如图，直角△ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,则内部五个小直角三角形的周长为

17.如图，。。的半径为5c/n,圆心。到A8的距离为3cm,则弦A3长为cm.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.

已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.

若苗圃园的面积为72平方米，求X；若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的

苗圃园

面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由;

―3

19.(5分)已知：如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-l,0)、B两点(A在B左)，y轴交于点C(0,-3).

4

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上.是否存在以B、C、E、P为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在,

求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

20.(8分)如图，点A在NMON的边ON上，于3,AE=OB,DELON^E,AD=AO,OC_LOM于C.求

证：四边形45CD是矩形；若OE=3,OE=9,求48、AO的长.

21.(10分)如图，已知AABC,分别以AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,

ZEAB=ZDAC=90°,连结BD,CE交于点F,设AB=m,BC=n.

(1)求证：ZBDA=ZECA.

(2)若m=及，n=3,ZABC=75°,求BD的长.

(3)当NABC=一时，BD最大，最大值为一(用含m,n的代数式表示)

(4)试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系。

D

2-%>0①

22.（10分）解不等式组｛5x+l门>2x-l②，并把解集在数轴上表示出来._*5,4AS-；j；:；’4’5

23

23.（12分）如图，半圆Z）的直径45=4,线段。4=7,。为原点，点B在数轴的正半轴上运动，点B在数轴上所表

示的数为机.当半圆。与数轴相切时，m=.半圆。与数轴有两个公共点，设另一个公共点是C.

①直接写出m的取值范围是.

②当3c=2时，求AA08与半圆O的公共部分的面积.当A408的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求

tanNAOB的值.

24.（14分）如图，甲、乙用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上,放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽,

抽出的牌不放回.甲、乙约定:只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜;否则乙胜.请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的

机会是否相同.

1=>

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

先求出AB的长，再求出AC的长，由B、C到A的距离及圆半径的长的关系判断B、C与圆的关系.

【详解】

由题意可求出NA=30。，，AB=2BC=4,由勾股定理得AC=7AB2-BC2=273，

•••AB=4>3,AC=2V3>3,.••点B、点C都在。A外.

故答案选D.

【点睛】

本题考查的知识点是点与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握点与圆的位置关系.

2、A

【解析】

根据平行线的判定，可得AB与GE的关系，根据平行线间的距离相等，可得△BEG与AAEG的关系，根据根据勾股

定理，可得AH与BE的关系，再根据勾股定理，可得BE的长，根据三角形的面积公式，可得G到BE的距离.

【详解】

连接GB、GE,

由已知可知NBAE=45。.

又：GE为正方形AEFG的对角线,

:.ZAEG=45°.

，AB〃GE.

VAE=4V2，AB与GE间的距离相等,

：・GE=8>SABEG=SAAEG=—SAEFG=1•

2

过点B作BHLAE于点H,

.•.BH=AH=0.

.•.HE=35/2.

/.BE=2V5.

设点G到BE的距离为h.

ASABEG=—,8£^=—xzV5xh=l.

22

..1675

••n--------.

5

即点G到BE的距离为1^5.

5

故选A.

【点睛】

本题主要考查了几何变换综合题.涉及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等积式及四点共圆周的知识，综合

性强.解题的关键是运用等积式及四点共圆的判定及性质求解.

3、B

【解析】

提价后这种商品的价格=原价x(1-降低的百分比)(1-百分比)x(1+增长的百分比)，把相关数值代入求值即可.

【详解】

第一次降价后的价格为ax(1-10%)=0.9a元，

第二次降价后的价格为0.9ax(1-10%)=0.81a元，

二提价20%的价格为0.81ax(1+20%)=0.972a元，

故选B.

【点睛】

本题考查函数模型的选择与应用，考查列代数式，得到第二次降价后的价格是解决本题的突破点；得到提价后这种商

品的价格的等量关系是解决本题的关键.

4、A

【解析】

根据一元一次不等式的解法，移项，合并同类项，系数化为1即可得解.

【详解】

移项得：-7x>3-L

2

合并同类项得：」x>2,

2

系数化为1得：xV-4.

故选A.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式的解法.

5、C

【解析】

分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数：众数是一组

数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个.

解答：解：从小到大排列此数据为：30、1、1、1、32、34、35,数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位

数.所以本题这组数据的中位数是1,众数是1.

故选C.

6、D

【解析】

连接AC、CF,根据正方形性质求出AC、CF,ZACD=ZGCF=45°,再求出NACF=90。，然后利用勾股定理列式求

出AF,最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH的长.

【详解】

如图，连接AC、CF,

:正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1,CE=3,

/.AC=^,CF=30,

NACD=NGCF=45。，

:.NACF=90°,

由勾股定理得，AF=7AC2+CF2=J（扬（302=26,

VCH±AF,

：.-ACCF^-AFCH,

22

即L垃x2近=Lx2®CH,

22

.-.CH=—

5

故选D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、勾股定理及直角三角形的面积，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

7、C

【解析】

由实际问题抽象出方程(行程问题).

【分析】•••甲车的速度为x千米/小时，则乙甲车的速度为x+15千米/小时

.•.甲车行驶30千米的时间为双，乙车行驶40千米的时间为W—,

x尤+15

3()40

,根据甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同得二=-——•故选C.

xx+15

8、B

【解析】

根据整式的加减乘除乘方运算法则逐一运算即可。

【详解】

A.a2+a2=2a2,故A选项错误。

B.a5•a2=d，故B选项正确。

仁(/丫=。6,故c选项错误。

D.2a2-a2=a2,故D选项错误。

故答案选B.

【点睛】

本题考查整式加减乘除运算法则，只需熟记法则与公式即可。

9、D

【解析】

分析：依题意，知MN=40海里/小时x2小时=80海里，

•••根据方向角的意义和平行的性质，NM=70。，ZN=40°,

,根据三角形内角和定理得NMPN=70。./.ZM=ZMPN=70°.

...NP=NM=8()海里.故选D.

10、B

【解析】

试题解析：作PC_Lx轴于C,交AB于D,作PE_LAB于E,连结PB,如图,

.,.OC=3,PC=a,

把x=3代入y=x得y=3,

•••D点坐标为（3,3）,

/.CD=3,

/.△OCD为等腰直角三角形，

/.△PED也为等腰直角三角形，

VPE±AB,

11r-r-

AE=BE=-AB=-x4V2=2V2.

在RtAPBE中，PB=3,

•••PE=j32-（2扬2=1,

APD=V2PE=V2，

:.a=3+y/2.

故选B.

考点：1.垂径定理；2.一次函数图象上点的坐标特征；3.勾股定理.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

77八

11、——inn2

12

【解析】

试题分析：根据题意可知小羊的最大活动区域为：半径为5,圆心角度数为90。的扇形和半径为1,圆心角为60。的扇

90x万x2560x%xl77

形，贝！|S=-------1------=--71•

36036012

点睛：本题主要考查的就是扇形的面积计算公式，属于简单题型.本题要特别注意的就是在拐角的位置时所构成的扇

形的圆心角度数和半径，能够画出图形是解决这个问题的关键.在求扇形的面积时，我们一定要将圆心角代入进行计

算，如果题目中出现的是圆周角，则我们需要求出圆心角的度数，然后再进行计算.

12、1

【解析】

先根据CD=20米，DE=10m得出NDCE=30。，故可得出NDCB=90。，再由NBDF=30。可知NDBE=60。，由DF〃AE

可得出NBGF=NBCA=60。，故NGBF=30。，所以NDBC=30。，再由锐角三角函数的定义即可得出结论.

【详解】

解：作DFJLAB于F,交BC于G.则四边形DEAF是矩形，

；.DE=AF=15m,

VDF/7AE,

ZBGF=ZBCA=60°,

■:ZBGF=ZGDB+ZGBD=60°,ZGDB=30°,

.*.ZGDB=ZGBD=30o,

.,.GD=GB,

在RtADCE中，VCD=2DE,

二NDCE=30°,

二NDCB=90。，

■:ZDGC=ZBGF,ZDCG=ZBFG=90°

/.△DGC^ABGF,

，BF=DC=30m,

.,.AB=30+15=l(m),

故答案为1.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键.

13>QI

【解析】

解不等式2x+9>6x+l可得x<2,解不等式x-k<L可得xVk+L由于x<2,可知k+G2,解得Q1.

故答案为k>l.

【解析】

利用规定的运算方法，分别算得a”az,as,a&…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题.

【详解】

Vai=4

4

数列以4,一；1弓3三个数依次不断循环，

34

720194-3=673,

.3

==

••3201933-9

4

3

故答案为：

4

【点睛】

此题考查规律型：数字的变化类，倒数，解题关键在于掌握运算法则找到规律.

15、<

【解析】

【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案.

【详解】V32=9,9<10,

故答案为：<.

【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键.

16、1

【解析】

分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三

角形的周长.

详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，

故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=L

故答案为1.

点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变.

17、1cm

【解析】

首先根据题意画出图形，然后连接OA,根据垂径定理得到OC平分AB,即AC=BC,而在RtAOAC中，根据勾股

数得到AC=4,这样即可得到AB的长.

【详解】

解：如图，连接OA,则OA=5,OC=3,OC1AB,

.,.AC=BC,.•.在RSOAC中，AC=7OA2-OC2=4>•'-AB=2AC=1.

本题考查垂径定理；勾股定理.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)2(2)当x=4时，y最小=88平方米

【解析】

(1)根据题意得方程解即可；

(2)设苗圃园的面积为y,根据题意得到二次函数的解析式y=x(31-2x)=-2x2+31x,根据二次函数的性质求解

即可.

解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(31—2x)米.依题意可列方程

x(31-2x)=72,即x2—15x+36=L

解得xi=3(舍去)，X2=2.

(2)依题意，得8S31-2烂3.解得65烂4.

工515,,225

面积S=x(31—2x)=—2(x——)2+---(6<x<4).

22

①当1时5，S有最大值，S城大=2竽25；

22

②当x=4时，S有最小值，S最小=4x(31—22)=88

"点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据

二次函数的性质求解即可.

23

19、(1)y=-x--x-3^(2)—；(3)P,(3,-3),P2(212^1,3),P3(~^,3).

■44222

【解析】

(D将AC的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式；

(2)根据民C的坐标，易求得直线的解析式.由于AB、0C都是定值，则AABC的面积不变，若四边形ABC。

面积最大，则ABDC的面积最大；过点。作轴交8c于贝IJM(尤,可得到当ABDC面积有最

大值时，四边形ABCO的面积最大值；

(3)本题应分情况讨论：①过C作X轴的平行线，与抛物线的交点符合尸点的要求，此时P,C的纵坐标相同，代入

抛物线的解析式中即可求出P点坐标；②将平移，令C点落在x轴(即E点)、8点落在抛物线(即P点)上；

可根据平行四边形的性质，得出尸点纵坐标(RC纵坐标的绝对值相等)，代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标.

【详解】

解：(1)把4—1,0),C(0,—3)代入=云+c，

9

可以求得匕=一二，c=-3

(2)过点。作DM||F轴分别交线段BC和x轴于点M、N,

3Q

在y=—x?——x-3.中，令v=0,得％=4,x2=-1.

44

.,.8(4,0).

设直线BC的解析式为y=kx+b,

可求得直线BC的解析式为：y==3x—3.

4

S四边彩ABCD-SjBc+S“ADC——X5X3+—x(4—0)xDM―+2DM.

设0(%］犬2A/fx,—3x-3j.

4

E730(329八32”

DM——x—3——x—x—3|=—x+3x.

4(44J4

当x=2时，DM有最大值3.

27

此时四边形ABCD面积有最大值一.

2

(3)如图所示，

如图：①过点C作CPi〃x轴交抛物线于点Pi,过点Pi作PiEi〃BC交x轴于点Ei,此时四边形BPiCEi为平行四边

形，

VC(0,-3)

.,.设Pi(x,-3)

39

—X2-—x-3=-3,解得x1=0,X2=3,

44

APi(3,-3)；

②平移直线BC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当BC=PE时，四边形BCEP为平行四边形，

VC(0,-3)

.,.设P(x,3),

x2-3x-8=0

解得X=2t叵或X=U,

22

此时存在点P2历,3)和P3(3一9,3),

22

综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是Pi(3,-3),P2(小巫，3),P3(3一a,3).

22

【点睛】

此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强,

难度较大.

20、(1)证明见解析；(2)AB.AZ)的长分别为2和1.

【解析】

(1)ffiRtADEA(HL)得NA08=NZME,AD//BC.证四边形A8C£>是平行四边形，又NABC=90°,

故四边形ABC。是矩形；(2)由(1)知RtAABOgRtADEA,AB=DE=2.设AO=x,贝!]OA=x,AE=OE-OA=9-x.在

RtAOEA中，由4炉+。£2=A。?得：(9_力2+32=兀2.

【详解】

(1)证明：'：ABLOM^B,DEACON于E,

二ZABO=ZDE4=90°.

在RtAABO与RtADEA中，

—A£)

V\?.RtAABO^RtADEA(HL).

OB=AE

：.ZAOB=ZDAE.：.AD//BC.

又：A5_L0M,DC1.0M,:.AB〃DC.

•••四边形ABCD是平行四边形.

VZABC=90°，，四边形A5CD是矩形；

(2)由⑴知RtAABgRtAOEA,：.AB=DE=2.

设AO=x,则。A=x,AE=OE-OA=9-x.

在RtADEA中，由AE2+DE2=A。?得：

(9-X)2+32=X2,解得X=5.

：.AD=i.BPAB.AZ)的长分别为2和1.

【点睛】

矩形的判定和性质;掌握判断定证三角形全等是关键.

21、135°y/2m+n

【解析】

试题分析：

(1)由已知条件证△ABD0Z\AEC,即可得至l」NBDA=NCEA；

(2)过点E作EG±CB交CB的延长线于点G,由已知条件易得NEBG=60。,BE=2,这样在RtABEG中可得EG=0,

BG=L结合BC=n=3,可得GC=4,由长可得EC=M，结合△ABDg/XAEC可得BD=EC=M；

(3)由(2)可知，BE=夜根，BC=n,因此当E、B、C三点共线时，ECj^=BE+BC=及和+〃，此时BD最大=EC最

大=V2//J+n!

(4)由△ABD^ZkAEC可得NAEC=NABD,结合△ABE是等腰直角三角形可得△EFB是直角三角形及BE2=2AE?,

从而可得EF2=BE2-BF2=2AE2-BF2.

试题解析：

(1),.,△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，且NEAB=NDAC=90。，

.\AE=AB,AC=AD,ZEAB+ZBAC=ZBAC+ZDAC,即NEAC=NBAD,

/.△EAC^ABAD,

ZBDA=ZECA；

(2)如下图，过点E作EG_LCB交CB的延长线于点G,

:.NEGB=90。，

,在等腰直角△ABE,NBAE=90。，AB=m=&,

：.ZABE=45°,BE=2,

VZABC=75°,

:.NEBG=18O°-75°-45°=60°,

/.BG=bEG=5

，GC=BG+BC=4,

CE=+(百I=>/19，

VAEAC^ABAD,

.•.BD=EC=V19;

（3）由（2）可知，BE=V2OT.BC=n,因此当E、B、C三点共线时，ECi^=BE+BC=0m+〃，

VBD=EC,

ABD最大=EC最大=血"2+〃，此时NABC=180°-NABE=180°-45°=135°,

即当NABC=135°时，BD量大=""+〃；

（4）VAABD^AAEC,

，NAEC=NABD,

,在等腰直角△ABE中，ZAEC+ZCEB+ZABE=90°,

:.ZABD+ZABE+ZCEB=90°,

:.ZBFE=180°-90°=90°,

.*.EF2+BF2=BE2,

又；在等腰RSABE中，BE2=2AE2,

.,.2AE2=EF2+BF2.

点睛：⑴解本题第2小题的关键是过点E作EG_LCB的延长线于点G,即可由已知条件求得BE的长，进一步求得

BG和EG的长就可在RtAEGC中求得EC的长了，结合（1）中所证的全等三角形即可得到BD的长了；（2）解第3

小题时，由题意易知，当AB和BC的值确定后，BE的值就确定了，则由题意易得当E、B、C三点共线时，

EC=EB+BC=丘m+〃是EC的最大值了.

22、-1<X<1.

，，，，，..

-5-4-3-2-1017345

【解析】

求不等式组的解集首先要分别解出两个不等式的解集，然后利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小

小找不到(”确定不等式组解集的公共部分.

【详解】

解不等式①，得XVI,

解不等式②，得xN-1,

•••不等式组的解集是-NxVL

不等式组的解集在数轴上表示如下：

--1--1--1--1—11—I--1.1J--1--1---

-5-4-3-2-101)445

23、(1)屈；⑵①回＜相＜11;②与半圆。的公共部分的面积为?+有；⑶tanNAOB的值为半

712小

或------

41

【解析】

(1)根据题意由勾股定理即可解答

(2)①根据题意可知半圆。与数轴相切时，只有一个公共点，和当0、A、5三点在数轴上时，求出两种情况m的值

即可

②如图，连接OC,得出△BCD为等边三角形，可求出扇形AOC的面积，即可解答

(3)根据题意如图1,当OB=AB时，内心、外心与顶点3在同一条直线上，