2022年黑龙江省哈尔滨市高考理科数学一模试卷及答案解析

2022年黑龙江省哈尔滨市高考理科数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（5分）设集合M={x\（x-a）（x-3）=0},N—{x\（%-4）（x-1）=0},则下列说法

一定正确的是（）

A.若A/UN={1,3,4},则用AN=0

B.若A/UN={1,3,4},则MANW0

C.若MCIN=0,则MUN有4个元素

D.若MCINW0,则MUN={1,3,4）

2.（5分）设相，〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若"?J_a,”u0,/〃_!_〃，则a_L0

B.^m//a,m//n,则〃〃a

C.若，“〃〃，〃_L0,〃?ua,则a_L0

D.若a_L0,aAp=w,nl.m,则〃J_0

3.（5分）使“aVb”成立的必要不充分条件是“（）”

A.Vx>0,aWb+xB.3.r>0,a+x<bC.Vx20,a<b+xD.3x>0,a+xWb

4.（5分）已知〃>0,且〃2-〃+4=0,则（）

A.有最大值二~B.有最大值三

6

17

C.有最小值uD.有最小值三

6

5.（5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于

圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用

面积为144的矩形ABC。截某圆锥得到椭圆T,且T与矩形ABCQ的四边相切.设椭圆

x2y2

I在平面直角坐标系中的方程为=+77=l（a>h>0）,下列选项中满足题意的方程为

y

---+一一+---

1006464100

6.(5分)已知函数/(x)=2sinx+cosx满足f(%o)=^^(沏W(0,/)),则tanxo=()

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7.(5分)在数列｛〃“｝中，ai=l,n(n+1)(an+i-an)=1(HGN*),则〃21=()

TTt1,tT11T

8.(5分)己知平面向量a,匕满足|a-2&|=V19,|a|=3,若cosVa,b〉=彳，则|川=()

9.（5分）已知球。为正三棱柱ABC-All。的外接球，正三棱柱ABC-A18］。的底面边

长为1,高为3,则球O的表面积是（）

317r16n317r

A.4irB.-----C.-----D.-----

3312

10.（5分）已知/（x）=3sin（2x+（p）（<pGR）既不是奇函数也不是偶函数，若y=/（x+M

的图像关于原点对称，y=f（x+n）的图像关于y轴对称，则|〃?|+间的最小值为（）

11.（5分）已知EF是圆C：/+y2-2x-4y+3=0的一条弦，且CELCF,P是所的中点,

当弦所在圆C上运动时，直线/：彳-厂3=0上存在两点4,8,使得N4PB/恒成立,

则线段48长度的最小值是（）

A.3V2+1B.4V2+2C.4V3+1D.4次+2

XV

12.（5分）椭圆C：—+—=1（a>Z»>0）的左顶点、左焦点、上顶点分别为A,F,B,

a2b2

若坐标原点O关于直线BF的对称点恰好在直线AB上，则椭圆C的离心率氏（）

A.（0,$1B.1|1）C.1*3D.（J3,1）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）复数二■的共轨复数是.

14.（5分）在棱长为2的正方体ABC。-AiBiCiDi中，点E在棱A41上，4E=34E,点G

是棱C£>的中点，点F满足BF=*BBi,则直线EF与直线GG所成角的余弦值为

15.（5分）已知点P（-1,0）在直线/：ax+y-a+2=0（aGR）上的射影为M,点N（0,

3）,则线段MN长度的最小值为.

16.（5分）以原点为对称中心的椭圆C”C2焦点分别在x轴，y轴，离心率分别为ei，ez，

直线/交G，C2所得的弦中点分别为M（xi，yi）,N（%2，”），若xix2=2yi）2¥。，2e『

第2页共20页

-e2?=1,则直线l的斜率为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.

17.(10分)在平面直角坐标系，中，直线/的参数方程为9：二：上8。5。(£为参数，。

(y—LSLTLCC

为直线的倾斜角)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的

极坐标方程为

(I)求曲线C的直角坐标方程；

(II)已知点P(-1,0),直线/与曲线C交于A、B两点，与y轴交于例点，若|%|,

\PM\,|PB|成等比数列，求直线/的普通方程.

18.(12分)在①(2b-c)cosA=acosC,②(sinA+sinB)(a-b)—c(sinC-sinB),(§)tanA+

tanB4-tanC=y/3tanBtanC,这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解

答.

已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,h,c,若.

(1)求A；

(2)若点M在线段AC上，NABM=NCBM,BM=|夕，且cosB=:,求c.

19.(12分)2021年“远大美乐杯”四川男子篮球联赛在绵阳进行，大赛分为常规赛和季后

赛两种.常规赛分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场和客场比赛，积分排名

前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制(“五场三胜制”是指在五场比

赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军).假设下面是宜宾队在常规赛

42场比赛中的比赛结果记录表：

阶段比赛场数主场场数获胜场数主场获胜场数

第一阶段2211148

第二阶段2010148

(1)根据表中信息，是否有85%的把握认为宜宾队在常规赛的“胜负”与“主客场”有

关？

(2)假设宜宾队与某队在季后赛的总决赛中相遇，且每场比赛结果相互独立，并假设宜

宾队除第五场比赛获胜的概率为号外，其他场次比赛获胜的概率等于其在常规赛42场比

赛中获胜的频率.记X为宜宾队在总决赛中获胜的场数.

(i)求X的分布列；

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(ii)求宜宾队获得本赛季的总冠军的概率.

2

什2_n(ad-be)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P(心》k)0.2500.1500.100

k1.3232.0722.706

20.(12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,

将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖嚅.

如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PC_1_底面ABC。，PD=DC,CB=CP,E为棱PC的

中点，F为棱PB上一点、,FP<FB,连接OB,DE,DF,EF.

(I)求证：QE_L平面PBC；

(II)若连接BE,判断四面体ZJ8EF是否为鳖席、若是，写出其每个面的直

角；若不是，写出其不是直角三角形的面；

71PF

(III)延长尸E,BC交于点G,连接。G,若二面角尸-DG-8的大小为一，求——.

3PB

xy

21.(12分)已知椭圆C：—+—=1(«>/j>0)长轴长为4,P在C上运动，F\,同为

a2b2

C的两个焦点，且cos/Q也的最小值为去

(1)求C的方程；

(2)已知过点M(0,/??)(-b<m<b)的动直线/交C于两点4,B,线段48的中点

为N,若易•法-谕•加为定值，试求机的值.

1

22.(12分)已知函数f(x)=cix-(a+1)

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当〃=0时，f(x)2的"一：+x+l恒成立，求机的取值范围.

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2022年黑龙江省哈尔滨市高考理科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.(5分)设集合M={x\(x-a)(x-3)—0},N={x|(x-4)(x-1)=0}(则下列说法

一定正确的是()

A.若MUN={1,3,4},则MCIN=0

B.若MUN={1,3,4},则MCNW0

C.若MAN=0,则MUN有4个元素

D.若MAN¥。，则MUN={1,3,4}

【解答】解：当时,M={x\(x-a)(jc-3)=0}={4，3},

当a=3时，M={3},

N—{x\(x-4)(x-1)=0}={1,4},

若MUN={1,3,4},则。=3或。=1或。=4,MCN可能为空集，也可能不为空集,

A,B错误；

若MCN=0,则aWl,“W4,但可能a—3,MUN可能有4个元素，也可能有3个元素，

C错误；

若MCN#0,则a=1或a=4,MUN={1,3,4),D正确.

故选：D.

2.(5分)设加，〃是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，则下列说法正确的是()

A.若,"_La,«cp,mLn,则&_1_0

B.若加〃a,机〃〃，则“〃a

C.若n,，〃ua,则a_LB

D.若a_L|3,aAp=w,〃_!_〃?，则”_L|3

【解答】解：〃?，鼠是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，

对于A,若，“_La,“U0,机_L〃，则a与B平行或相交，故A错误；

对于B,^m//a,m//n,则〃〃a或"ua,故8错误；

对于C,若”?〃〃，n±P，mca,则，〃_L0,

由面面垂直的判定定理得a_L0,故C正确；

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对于。，若a_L0,anp=zn,nlm,则〃与相交、平行或”u0,故。错误.

故选：C.

3.(5分)使"a<b"成立的必要不充分条件是“()”

A.Vx>0>“Wb+xB.3x^0,a+x<bC.Vx20,a<b+xD.2x>0,a+xWb

【解答】解：A选项，(b+x)G(b,+8),故“Wb,

即A选项命题等价于aWb；故A正确,

3选项，（a+x）G[a>+°°）,故b>a.

即B选项命题等价于a<b；故B错误,

C选项，(6+x)&[b,+8),故a<6,

即C选项命题等价于a<h；故C错误,

。选项，(a+x)6(a,+°°),故

即D选项命题等价于a<b,故D错误.

故选：A.

r2a+3匕

4.(5分)已知。>0,且。2-/升4=0,则———()

a+b

1714

A.有最大值一B.有最大值高

65

1714

C.有最小值uD.有最小值三~

65

【解答】解：由牛2-什4=0,得/?=/+%则q+b=〃2+a+4,

a+ba2+a+4,

2a+3匕14

又。>0,所以•=3—-T-r=3—n---7=3----7—之3---j=—=3-

a+b2亏'

a+ba+a+4a+S+l2O+1

当且仅当“4即a=2,…时等号成立，所以得有最小值三，无最大值,

故选：D.

5.(5分)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于

圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用

面积为144的矩形ABCO截某圆锥得到椭圆T,且T与矩形ABCQ的四边相切.设椭圆

x2y2

T在平面直角坐标系中的方程为-7+77=l(a>h>0),下列选项中满足题意的方程为

a2b2

()

x2y2x2y2

A.—+—=1B.—+—=1

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x2y2x2y2

二.---+—=1D.—+-----=1

1006464100

【解答】解：,・•用面积为144的矩形A8CO截某圆锥得到椭圆T,且T与矩形ABCO的

四边相切,

・・・4。/?=144,艮|J〃b=36,

对于A,a=9,人=4,满足a>b>0且出?=36,故A正确,

对于B,a=V65,b=9,不满足故8错误，

对于C,。=10,人=8,不满足必=36,故C错误，

对于£>,Q=8,6=10,不满足〃>b>0,故。错误.

故选：A.

ofc

刍)，则tanxo=(

6.(5分)已知函数f(x)=2sinx+cosx满足f(%o)=-^-(x0E(。，)

1112

A.2B.—C.一D.—

2211

【解答】解：由题意知，f(xo)=2siiuo+cosxo=

2222

因为sinxo+cosxo=1,所以sinxo+(^^一2smx0)=1,

化简可得5sin2xo-^=sinxo+F=0,解得siaro=或W

v5。5v5V5

业•2Q_L3>[Sg•11

Tsin,¥o=-»cosxo=—F----2sinxo=——:

5y5$5V5

当siiu：o=读时，cosxo=-2sinxo=—当<0(舍)，

2ii

所以sinxo=^y^，cosxo=

sinx_2

所以taiuo=0

COSXQ~11,

故选：D.

7.(5分)在数列｛斯｝中,ai=l,n(n+1)(an+i-an｝=1(於N),则〃21=()

21194140

l.—B.-C.—D.一

20202121

【解答】解：由题意得，%+1-备=适g=:一击，

11,11,1I--1

所以。21=〃21-。20+。20~。19+'+(〃2-。1)+。1=而一元+西一而+・+1-2+1=2-五

41

21,

故选：C.

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8.（5分）已知平面向量2,b满足向-2h|=V19,|a|=3,若cos<a,&>=则|力|=（）

55

A.1B.2C.一D.—

42

【解答】解：,..|a—2b|=|a|=3,若cos<d,&>=^,

：.a2-4a-b+4b2=9-4X3|b|x1+4\b\2=19,

t—q

解得：|b|=2或|加=一]（舍去），

故选：B.

9.（5分）已知球。为正三棱柱43。-451。的外接球，正三棱柱ABC-AiBi。的底面边

长为1,高为3,则球。的表面积是（）

317T167r317r

A.4nB.---C.---D.---

3312

【解答】解：设正三棱柱ABC-48iG的高为/?,底面边长为a,设球。的半径为R,

则三棱柱底面三角形的外接圆半径r满足2r=急，解得r=等a,

由题意可知，4=1,h=3.

且1931

Z22a2

=(+=_+/I2-=-+-=--

所以R2K3343412

则球0的表面积为S=4TTR2=竽.

故选：B.

10.（5分）已知/（x）=3sin（2jc+q））（<pGR）既不是奇函数也不是偶函数，若y=.f（x+m）

的图像关于原点对称，y=/（x+〃）的图像关于），轴对称，则依|+|川的最小值为（）

717171

A.ITB.-C.-D.一

248

【解答】解：可设（po满足“9（）E（0,U兀）且<p=2m+（po，"

则/（x）=3sin（2x+（po）.注意到五点法的最左段端点是（一券，0）,而二=三，5=]

故有|m|=一空|上守|）=min（粤，三产）；Ml=I-毕+与|=叵?汕

当006（0,时，|刈=等；同=仁普，

此时|刈+|九|=~,

当江）时・此时|m|=7ra"。；|M=20；7r

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故选：c.

11.(5分)已知E尸是圆C：/+y2-2x-4y+3=0的一条弦，且CE_LCF,P是所的中点,

当弦E尸在圆C上运动时，直线/：%-^-3=0上存在两点4,B,使得44P82号恒成立,

则线段A8长度的最小值是()

A.3V2+1B.4V2+2C.473+1D.4H+2

【解答】解：由题可知：圆C：7+y2-2x-4y+3=0,即(x-1)2+(y-2)2=2,圆心

c(1,2),半径仁VL

又CELCF,P是EF的中点，所以CP=|EF=1,所以点P的轨迹方程(x-1)?+(y

圆心为点C(1,2),半径为R=1,若直线/：x-y-3=0上存在两点A,B,使得乙4PB2提

恒成立，

则以AB为直径的圆要包括圆(x-I)2+(y-2)2=1,点C(l,2),到直线/的距离为

d=1-2一3]=272,

Jl2+(-l)2

所以AB长度的最小值为2(d+1)=4V2+2,

故选：B.

x2y2

12.(5分)椭圆C—+—=1(67>^>0)的左顶点、左焦点、上顶点分别为A,F,B,

a?bz

若坐标原点。关于直线BF的对称点恰好在直线AB上，则椭圆C的离心率改()

A.(0,》1B.6I,/1C./1》3D.*31)

JQ2+匕2n—C

【解答】解：由题可得3尸是NAB。的角平分线，则由角平分线性质可得一;—=——，

整理得2e3-2e?-2e+l=0,

令/(x)=2^-2?-2JC+1,0<Jt<l,贝ij/(x)=6V-4x-2=2(x-1)(3x+l),

所以/(x)在(0,1)上单调递减，

_,1121111

因为了(?二等皿八■=i-1-1+1=-1<0.

由函数零点存在性定理可知改-),

42

故选：B.

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

⑶(5分)复数R的共朝复数是二

..2+i(2+i)(—2i—1)-Si

【解答】解:

*2i-l-(l-2i)(l+2i)-5

2+i

复数,的共甑复数是i.

2i—1

故答案为：i.

14.(5分)在棱长为2的正方体48。。-481。。1中，点石在棱441上，AE=3AiE,点G

T1T4

是棱C。的中点，点尸满足=则直线EF与直线QiG所成角的余弦值为_g_.

【解答】解：分别取A8,BBi中点M,N,连接4M,4MMN,如图：

所以在正方体A8CD-AiBCiQi中，A\M//D\G,

因为AE=3AiE,点为满足所以AiE=BF=NF=分

又因为所以四边形AiEFN为平行四边形，所以E/〃AiN,

；.AiM=AiN=V22+l2,MN=Vl2+l2,

A^+A^-MN25+5-2_4

在△A1MN中,cosZMA\N=

-2KA^MXA^N-2x75x75-5

4

直线EF与直线QiG所成角的余弦值为g.

4

故答案为：

15.(5分)已知点尸(-1,0)在直线/：ax+y-a+2=0(«eR)上的射影为M,点N(0,

3),则线段MN长度的最小值为口-疯

【解答】解：直线/：ax+y-«+2=0(«GR),

即(x-1)a+y+2=0,

第11页共20页

令X-1=0,且y+2=0,

得x=l,y=-2,

所以直线/恒过定点。（1,-2）,

由于点尸（-1,0）在直线/上的射影为M,即/PMQ=90°,

所以点M在以PQ为直径的圆上，

该圆的圆心为PQ的中点C（0,-1）,且半径为VL

由点N到圆心C的距离为NC=4,

所以线段MN的最小值为NC-r=4-V2,

故答案为：4-V2.

16.（5分）以原点为对称中心的椭圆C”C2焦点分别在x轴，y轴，离心率分别为e”e2.

直线/交G，C2所得的弦中点分别为M（孙ji）,N（X2，”），若xix2=2yi”W0,2e/

2

-e2=l,则直线I的斜率为±1.

%2y2y2%2

【解答】解：设椭圆G：--+—2=1,C2：-7+TT=1，

22

arb/a262

再设直线/交Ci于A、B,直线/交C2于C、D,

M(xi,yi),N(m，”)分别为AB,CO的中点,

x+x

r_AB_办+如

分别把A、B,C代入两曲线方程，

I2十2—工2

利用|13，作差法可得也,=-二7=e/-1，

向1+不

同理C、。代入两曲线方程，通过作差法可得：

2

,a21

1%=-kR

设kAB=kcD=k,

.yi、2fc2_e/_l

，

x1x2e22-1，

2222

V2ei-e2=L/.e2=2et-1,

.a「，彳"曰二=会?「

又XIX2=2WW0,

%1%222—12(“2—1)2

可得k=±l.

故答案为：士1.

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三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.

17.(10分)在平面直角坐标系X。)，中，直线/的参数方程为匕为参数，。

—LSITIOC

为直线的倾斜角)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的

极坐标方程为p=^^

(I)求曲线C的直角坐标方程；

(II)已知点P(-1,0),直线/与曲线C交于A、8两点，与y轴交于M点，若|心|,

\PM\,成等比数列，求直线/的普通方程.

【解答】解：(/)•••曲线C的极坐标方程为p=蓑针

•2___________8

••P5-3(cos20-sin26y)'

x—pcosd

y=psinO②，

(%2+y2=p2

x2

・,•联立①②可得，一+y2=1.

4

(〃)把直线I的参数方程?：UJJc°sa代入式+y2=1可得，("3sin2a)r2-2cosar

—LSIIKX4

-3=0,

由韦达定理可得，t也

点M对应的参数为XM=-l+/3cosa=0,

所以打=二一，

scosa

"：\PA\,\PM\,|PB成等比数列,

：.\PA\-\PB\=\PM\i,即「一:3।=|熹『,化简整理可得，2sin2a=cos2a,

l+3smzacosa

：.tan2a=^,即直线/的斜率为土冬

故直线/的方程为x-V5y+1=0或x+V^y+l=0.

18.(12分)在①(2b-c)cosA=(icosC,②(sinA+sinB)Ca-b)=c(sinC-sinB),@tanA4-

tanB4-tanC=y[3tanBtanC,这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解

答.

已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是小b,c,若.

(1)求A；

第13页共20页

(2)若点”在线段AC上，ZABM=ZCBM,5M=|A/7,且cosB=},求c.

【解答】解：(1)若选①：因为(2Z?-c)COSA=6ZCOSC,

由正弦定理得(2sin3-sinC)cosA=sirk4cosc即2sin3cosA=sinCcosA+sinAcosC,

所以2sinBcosA=sinB,

因为0VB<n,

所以sinBWO,

1

可得cosA=

因为0<A<n,故

若选②：*/(sinA+sinB)(a-h)=c(sinC-sinB),

・•・由正弦定理可得:Ca+b)(a-b)=c(c-b),

222

即：Z?+c-a=be9

由余弦定理得cosA=1,

VAG(0,n),

・-・AA—-13.

选择条件③，tanA+tanB+tanC=V3tanBtanC,

tanB+tanC

因为tanA=-tan(8+C)=—

1—tanBtanC9

所以-tanA+tanAtanBtanC=tanB+tanC,

即tarL4+tanB+tanC=tanAtanBtanC,

所以tan/ltan/?tanC=V3tanBtanC,

因为tanBtanCWO,所以tanA=V5,

因为AE(0,n),所以4=弥.

(2)因为cosB=春，可得1-2sin2-=一,

727

r日BV21B277

□J得sin-=-----

27

在"BM中，sin/AM"sin《+4BM”当x孥+3y[21

~=^4~9

577

由正弦定理可得看i=缶,可得'=5-

2

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A

hi

B

19.（12分）2021年“远大美乐杯”四川男子篮球联赛在绵阳进行，大赛分为常规赛和季后

赛两种.常规赛分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场和客场比赛，积分排名

前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比

赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.假设下面是宜宾队在常规赛

42场比赛中的比赛结果记录表：

阶段比赛场数主场场数获胜场数主场获胜场数

第一阶段2211148

第二阶段2010148

（1）根据表中信息，是否有85%的把握认为宜宾队在常规赛的“胜负”与“主客场”有

关？

（2）假设宜宾队与某队在季后赛的总决赛中相遇，且每场比赛结果相互独立，并假设宜

宾队除第五场比赛获胜的概率为［外，其他场次比赛获胜的概率等于其在常规赛42场比

赛中获胜的频率.记X为宜宾队在总决赛中获胜的场数.

（i）求X的分布列；

（ii）求宜宾队获得本赛季的总冠军的概率.

2

________.(ad—儿)________

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P0.2500.1500.100

k1.3232.0722.706

【解答】解：（1）由题意的列联表:

主场客场合计

胜利161228

失败5914

合计212142

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..2_n(ad-bc)2_42(16x9—5x12)2.工〜

*八一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)~21x21x14x28-万〜'八/斗u//'

...没有85%的把握认为宜宾队在常规赛的“胜负”与“主客场”之间有关.

282

(2)(i)由题意：宜宾队在常规赛中获胜的概率为：—

423

o1

X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=O)=4(1一铲=务

p(x=i)=G.|.q-|)2.(—1)=余

P(X=2)=*(|)2-(1-|)2•(1_》=摄，

P(X=3)=废.(|)3+废《)2.(l-|).|+cr(|)2.(1_|)2•尹羿

故X的分布列为：

X0123

P12420

27272727

(ii)甲队获得本赛季的总冠军的概率为：Cl.(|)3+髭.(|)2.(1_|)4+匾(|)2.

n2、2120

20.(12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，

将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖嚅.

如图，在阳马P-ABCZ)中，侧棱PO_L底面ABC。，PD=DC,CB=CP,E为棱PC的

中点，尸为棱PB上一点，FPVFB,连接OB,DE,DF,EF.

(I)求证：平面PBC；

(II)若EFJB,连接BE,判断四面体。2EF是否为鳖膈、若是，写出其每个面的直

角；若不是，写出其不是直角三角形的面；

71PF

(III)延长尸E,BC交于点G,连接。G,若二面角尸-DG-B的大小为一，求——.

3PB

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p

【解答】解：(I)证明：因为P£)_L底面A8CD,所以PD_LBC,

由地面ABC。为长方形，有BCLCO,

而P£>nCD=O,所以BC_L平面尸CO.

而。Eu平面PC。，所以BCLOE,

又PD=CD,点E是PC的中点，所以OE_LPC.

而PCOBC=C,

所以。E_L平面PBC-,

(II)由(I)可知，而PBu平面PBC,所以尸8J_OE.

XPB1.EF,DECEF=E,所以平面OEF.

由DEL平面PBC,PB_L平面QEF,可知四面体OBEF的四个面都是直角三角形，

即四面体。BEF是一个鳖麻，其四个面的直角分别为NOEB,ZDEF,ZEFB,ZDFB.

(III)由题意可知，以。为坐标原点，射线射线。C,射线。P分别为x,y,z轴

的正半轴，建立空间直角坐标系，设PO=OC=2,则CB=CP=2/，

由题意可知，二面角尸-。6-8即为平面。后尸与平面43。。所成的角，

贝0,0),8(2夜，2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,I,1),设尸G,

--(x=2y/2X

y,z),PF=APB,则(x,y,z—2)=4(2鱼，2,-2),所以y=24，即

、z=-2A+2

FQg,21,-24+2),

则法=(0,1,1),DF=(2V2A,23-22+2),

'fT

设平面FDG的法向量《=(”％，zi),则管2=°,即

DF-n2=0

/0+%+Zi=0

k2\/2Ax1+22yl+(-24+2区=0'

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xt=2A-1

%=-V2A,所以扇=(2A-1,-戏人,V2A),

z—V2A

{r

又平面BDG的法向量为*=(0,0,1),

—>

____________42X___________=1

因此,cos<nlfn>=

21XJ(2A-1)2+(-72A)2+(72A)22

2方1I

整理得=7解得;l=4,

8入2-44+1

XV

21.(12分)已知椭圆C：—+—=1(a>h>0)长轴长为4,P在C上运动，F\,乃为

a25

1

C的两个焦点，且COS/FIPF2的最小值为3

(1)求C的方程:

(2)已知过点M(0,祖)(-b<m<b)的动直线/交C于两点4,B,线段A8的中点

为N,若后•荒•0%为定值，试求机的值.

【解答】解：(1)由题意得“=2,

设IPF1I，|尸放|长分别为p，q.

p2+q2-4c2_(p+q/-4c2-2pq_2b2-pq_2b22b2_2b2

则cos。=-1,

2Pq2PqpqPq(p+q)2a2

(当且仅当〃=4时取等号)

9h21u2o

从而六一1=1得7=7."=4,廿=3,

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x2y2

则椭圆的标准方程为T