2023年浙江省宁波市高考数学二模试卷及答案解析

2023年浙江省宁波市高考数学二模试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若集合4={x||x-l|<3},B={x\2x<8},则4nB=()

A.(-2,4)B.(-2,3)C.(0,4)D.(0,3)

2.设i为虚数单位，若复数z满足乙=色，则z的虚部为()

I1—1

A.—2B.-1C.1D.2

3.设随机变量f服从正态分布，f的分布密度曲线如图所示，若P(fV0)=p,则P(0<f<1)

与D(f)分别为()

A111n11n1

A・2-P>2Bn・p，2C・5-P，aD.p,-

4.已知非零向量区占满足|五+方|=|五|-|方I，贝1()

A.\a+b\>\b\B.\a-b\<|a|

C.\a+b\>\a-b\D.(a+b)­(a-b)>0

5.我国古代数学名著微书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天

池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中积水的深

度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是(注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积)()

A.|寸B.2寸C.衬D.3寸

6.已知函数/。)=5也(3+》(3>0)的图象关于直线”树称，且"X)在(0电上没有最

小值，则3的值为()

A.2B.4C.6D.10

7.设椭圆弓+4=l(a>b>0)的右焦点为F(c,0),点4(3c,0)在椭圆外，P,Q在椭圆

Qb

上，且P是线段4Q的中点.若直线PQ,PF的斜率之积为一;，则椭圆的离心率为()

A.：B.?C.?D.|

8.已知函数/；(%)=/一3x,Ai(x)=|/n-i(x)|-l(n>2),则/023(%)的零点个数为()

A.2023B,2025C.2027D,2029

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.根据某地3月5日至归月15日的每天最高气温与最低气温数据(单位：°C)绘制如下折线图,

A.5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关

B.9号的最高气温与最低气温的差值最大

C.最高气温的众数为27久

D.5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大

10.已知函数f(x)与g(x)及其导函数f'(x)与g'(x)的定义域均为R,/(x)是偶函数，g(x)的图

象关于点(1,0)对称，贝iJ()

A.g[/(一切=B.f[g(3)]=/[g(—1)]

c./g(3)]=-1)]D.5[f(-l)]=5[f(l)]

11.已知SO_L平面a于点0,4,B是平面a上的两个动点，月/OSA=£/0S8=[,贝!!()

o4

A.S4与SB所成的角可能为会

B.SA与OB所成的角可能为*

C.s。与平面S4B所成的角可能为?

D.平面SOB与平面SAB的夹角可能为5

12.三支不同的曲线y=af-Ix-lKa,>0,i=1,2,3)交抛物线好=4x于点4,=1,2,3),

F为抛物线的焦点，记△4F岛的面积为£,下列说法正确的是()

11

A•两+两（i=123）为定值B.A1BIIA2B2/IA3B3

C.若Si+S2=2s3,则%+a2=2a3D.若S1S2=S3.则口用？=aj

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若函数y=ax｛a>1）在区间［1,2］上的最大值与最小值的差为2,则a=.

14.写出一个半径为1,且与圆/+y2=i和圆（%一2）2+3-2）2=1均外切的圆的方程

15.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进

行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈“1-4-2-1”.这就是数学史上著名

的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6-3T

10r5Tl67874T2-1,共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.猜想的递推关

系如下：已知数列｛〃｝满足的=m（m为正整数），an+1=2即为偶数’若=2,则

3an+1,当即为奇数.

m所有可能取值的集合为.

16.正四面体ABCD的棱长为3,P在棱4B上，且满足匐=3前，记四面体ABCD的内切球

为球。1，四面体PBCD的外接球为球。2，则|01。2|=.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

在AABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且a—6=b—c=l.

（I）若&=4,求sinA；

（II）若△ABC的最大角为最小角的2倍，求a的值.

18.（本小题12.0分）

盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性.某品牌推出2款盲

盒套餐，4款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含隐藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同单品，

有50%的可能性出现隐藏款X.为避免盲目购买与黄牛囤积，每人每天只能购买1件盲盒套餐.

开售第二日，销售门店对80名购买了套餐的消费者进行了问卷调查，得到如下列联表：

4款盲盒套餐B款盲盒套餐合计

年龄低于30岁183048

年龄不低于30岁221032

合计404080

(I)根据2x2列联表，判断是否有99%的把握认为4B款盲盒套餐的选择与年龄有关；

(II)甲、乙、丙三人每人购买1件B款盲盒套餐，记随机变量f为其中隐藏款X的个数，求f的

分布列和数学期望：

(山)某消费者在开售首日与次日分别购买了4款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件，并将6件单品

全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为隐藏款X,求该隐藏款来自于8款盲盒套

餐的概率.

2

附:依飞+盛篇篇3+»其中-a+b+c+d,

P(K2>k0)0.1000.0500.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.6350.828

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，平面PAD1平面4BCD,平面PAB_L平面48C0.

(I)求证：PA1平面4BCD；

(II)设24=4。=2AB=2,AB14D,4D〃BC,平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为誓,

求BC的长.

20.(本小题12.0分)

已知等比数列｛an｝的前n项和土满足即+i=S.+l(n6N*).

(I)求首项由的值及｛a"的通项公式；

2+1

(口)设b=log2°".(neN*),求满足与-bn<2023的最大正整数n的值.

Z222“

21.(本小题12.0分)

22

已知双曲线E：a―5=1,点。(0,2)与双曲线上的点的距离的最小值为，口.

(1)求双曲线后的方程；

(II)直线2：y=依+m与圆C：x2+(y+2)2=1相切，且交双曲线E的左、右支于4B两点，

交渐近线于点记的面积分别为当割寸，求直线/的方

M,N.A/MB,AOMNSi，S2,S1-4s2=

程.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=Inx—ax2.

(I)讨论函数/•(%)的单调性：

(口)若xi，必是方程〃为=0的两不等实根,求证:

(i)%i+好>2e；

(igg>J白

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由|x—11<3,得—3<x—1<3,即—2<x<4,

.-.A={x||x-l|<3]=(-2,4),

由2*<8,得x<3,

B={x\2x<8]=(-oo,3),

AC\B=(-2,3).

故选：B.

求解不等式化简4与B,再由交集运算的定义得答案.

本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：-=

I1—1

则z=9乎=晋=箔霸=-1+2。其虚部为2.

故选：D.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：根据题意，且P(f<0)=p,则P(0<f<l)=^f=g-p,

由正态曲线得f〜N(L《)2)，所以。&)=；.

故选：C.

根据题意和正态曲线即可求得P(0<f<1),又根据正态曲线可得f〜N(l,©)2),进而即可求得

0(0-

本题考查正态分布的应用，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：•・,|方+9|=|五||b|,

.-.(a+by>(\a\-\b\y，

_2—>2_—>_2—2_—>

a+b+2a-b=a+b-2|a||b|>

•■a-b=~\a.\\b\<(a+b)2—b=a2+2a-b=a2—2\a.\\b\<^\^\—\b\^>(a+b~)2<片'

|a+/?|<|h|>A错误;

(a—b)2—a2=b—2a-b=b+2|a||6|>0>|a—ft|>|a|»B错误；

(a+b)2-(a-b)2=4a-b=-4\a\\b\<0，\a+b\<\a-bC错误；

VIa+KI=IaI-IhI>0>IaI>IKa2>b2>(a+K)-(a-b)=a2-K2>0>正确.

故选：D.

对|W+3|=|硝-访|两边平方，进行数量积的运算可得出五不=-1五||31，然后可得出：(a+

by-b2=a2-2\a\\b\>同=|可时，\a+b\<\b\,从而可判断出4的正误;(a-b')2-a2=

b2+2\a\\b\>0>从而可判断出8的正误；0+E)2-m-B)2=4五4=一4|方从而

可判断出C的正误；根据|矶一面20得出片一方2NO,从而可判断出。的正误.

本题考查了向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6

寸，高为18寸.

•••积水深9寸，

••.水面半径为*18+6)=12寸，

则盆中水的体积为q兀x9(62+122+6x12)=7567r(立方寸).

••・平地降雨量等于翳="寸)•

故选：C.

由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案.

本题考查柱、锥、台体的体积求法，正确理解题意是关键，属基础题.

6.【答案】A

【解析】解：•.•函数/0)=5叭5+覆3>0)的图象关于直线％=酎寸称，:3X2+弓=/£兀+今

4-O04-L

kez,

即3=8k+2,k&Z.

在(0,看)上没有最小值，+詈+》，.•.詈+韩等J.3W理

综合可得，3=2.

故选：/.

由题意，利用正弦函数的图象的对称性和最小值，求出3的值.

本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：取P,Q的中点为M,连接OM,PF,

则由题意可得，\PA\=2\PM\,\AF\=2\F0\,

所以△APF-AAM。，所以PF〃M。，

因为直线PQ,PF的斜率之积为一J,

所以kpQ,k()M=T，

设P(%i%)，＜?(x2,y2),

两式相减可得Qi+X2)gxi-X2)+%+力争-y?)=0,

Q//

即职陪斗4,即5

。1+%2)(%1-%2)出“OMa22

所以椭圆的离心率为e

故选：B.

利用中点弦问题，结合点差法可需寸即可求离心率•

本题考查了椭圆的离心率问题，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：•••fn(x)=|—(动-l(n>2),.•.当n>2时,fn(_x)>-1,

%023(%)=0,等价于。022(%)=±1，得1扇021(=1=。或I式O2100I=2,

得元021(%)=。或七021(%)=2・

由上021(%)=0,得心019(工)=。或心019(%)=2,

由段021(%)=2,得为020(%)1=3,进一步可得力019(%)=4,

，由此023(%)=可得叁019(%)=。或&19(%)=2或4019(%)=4.

依次类推，可得/i(%)=2/c,k=0,1,2,2023.

32

又71(%)=x-3%,Afi(x)=3x—3=3(x+l)(x—1),

可知当％W(-8,-1)乂1,+8)时,Az(x)>0,当工€(—1,1)时，fir(x)<0,

・•・/(%)的增区间为(-8,—1),(L+8),减区间为(-1,1).

X/C-1)=2,/(1)=-2,

・•・可得方(%)=x3-3%的图象如图：

由图可知，6。）=/一3%的图象与y=2k,k=0,1,2,2023共有3+2+2022=2027个

交点.

故选：C.

由启(X)=-1(九22),得当nN2时，a(x)2-1,问题等价于/iO)=-3x与直线

族y=2/c,k=0,1,2,…，2023的交点问题，再由导数研究函数左(x)=/一3x的单调性，作

出图象，数形结合得答案.

本题考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，训练了利用导数研究函数的单调性，

属难题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于4由折线图可知，5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相

关，故A正确；

对于氏由折线图可知，6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误；

对于C,由折线图可知，最高气温的众数为27K,故C正确；

对于。，5号到15号的最低气温的极差大约为15-4=11,最高气温的极差大约为27-16=11,

故。错误.

故选：AC.

根据折线图逐个判断各个选项即可.

本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：选项A,因为f(x)是偶函数，所以/(一1)=/(1),所以述[/(-1)]=即A正

确；

选项B,因为g(x)的图象关于点(1,0)对称，所以以3)=-g(-l),

又/(x)是偶函数，所以f[g(3)]=f[g(-1)],即B正确；

选项C,因为g(x)的图象关于点(1,0)对称，所以g(l+x)=-x),

两边求导得，g'(l+x)=g'(l-x),

令x=2,则g'(3)=g'(-l),

所以f[g'(3)]=Hg'(-i)]，即C正确;

选项D,因为/(x)是偶函数，所以/(—x)=/(x),

两边求导得，一[(一x)=/'(x)，

令x=l,则一((一1)=((1)，

因为g(x)不一定是偶函数，所以=g[f(i)]不一定成立.

故选：ABC.

选项A,由偶函数的性质知/1)=/(1),得解；

选项B易知g(3)=-g(-1),结合/(x)是偶函数，得解;

选项C,由函数g(x)的对称性知，g(l+x)=-9(1-x),两边求导，推出g'(3)=g'(-l),得解;

选项。，由f(—x)=f(x),两边求导,推出一广(一1)=/(1),而g(x)不一定是偶函数,得解.

本题考查函数奇偶性的应用，导数的运算法则，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：如图，•：40S4=INOSB=p•••^SAO=

△SB。=%且。4<OB.

对于4,当B位于线段OB上时，S4与SB所成角最小，为各

当B位于线段8。的延长线上时，S4与SB所成角最小，为患，

可得S4与S8所成的角的范围为哈,工］,故A正确；

对于8,S4与平面a所成角为或即SA与平面a所有直线所成角的最小值为枭

则S4与。8所成的角不可能为土故8错误；

对于C,由已知可得04<0B,在AAOB中，有4OBZ为锐角，过。作AB所在直线的垂线0D,

连接SD,则SO在平面SAB上的射影落在SD上，即NOSD为SO与平面S4B所成的角，

可知NS。。>NSB。=，则4OSD<S即S。与平面SAB所成的角可能为为故C正确；

对于D,若平面SOB与平面S4B的夹角为看过4作AE1SB,垂足为E,贝必IE_L平面SOB,

■■.AEISO,又SO_LAB,可得4B〃4E,这与4BnHE=4矛盾，故。错误.

故选：AC.

由题意画出图形，结合己知可得4s4。=a4sB0=：,月.04<。8,然后结合线面角、二面角的

定义，以及三角形中大边对大角逐一分析四个选项得答案.

本题考查空间角的大小比较，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.

12.【答案】AD

【解析】解：如图，设直线y=a^x-1）与抛物线y2=4x的交于点G，则4与G关于x轴对称,

4

则%+丫2=彳％、2=-4,

又y=a^x-1),

则为+%=-1)+aj(x-1)=-,yiy=碎(右-1)(生-1)=-4,

2ul2

则+%2=2C：；4,%]Q=1，

对于4F(1,O),

]I1_]I]=X1+-2+2_虏

故A正确;

F4I|F8j|%1+1切+1%1+%2+必工2+12年+4।]।]

k=为+为=为+乃=4=4=」

对于B,"向犯一打d_dJd+匕）2_4一声,

因为《不是定值，所以心出不是定值，故8错误；

对于C,设直线y=%（x-l）的倾斜角为4，则tan%=aj,则sin2/=篇黑禽=者需

2a（

1+ap

所以Si=期/|旧闵5讥2a=如1+1）3+1）=如62+%1+次+1）-7^2=

乙乙1十CtjL1-rUj

/4（空+i+D=上

1+afvof田

44R

又因SI+52=2S3，所以曲+%=瓦，所以2（%+用）=。3，故C错误；

4416

对于D,因为SiSz=S2所以后■♦1■=/■，所以。1"2=运，故D正确.

故选：AD.

设直线y=-1）与抛物线y2=4%的交于点Q,Br则4与G关于%轴对称，设4（%1，-%），

为。2,%），则1（%,为）,联立［A：。普一0，利用韦达定理求得力+y2，y，2,进而可求得小+冷，

X1X2,结合焦半径公式即可判断4判断心声i是否为定值即可判断B；求出Si，即可判断CD.

本题考查了抛物线的性质，属于中档题.

13.【答案】2

【解析】解：函数y=ax（a>1）在区间［1,2］上单调递增，

所以小-a=2,

解得Q=-1或2,

又Ta>1,

**•（Z—2.

故答案为：2.

利用指数函数的单调性求解.

本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题.

14.【答案】（x-2）2+y2=1或/+（y—2）2=1

【解析】解：设圆的方程为（x—a）2+（y-b）2=l,

由于该圆与圆/+y2=1和圆（x-2）2+（y-2/=1均外切，

故（。-2尸+（b-2/=2，解得｛：=；或偿=：-

Ua?+炉=23=03=2

故圆的方程为（久—2）2+y2=1或M+（y-2）2=1.

故答案为：（X-2产+y2=1或/+⑶-2产=1.

直接利用两圆的位置关系建立方程组，进一步求出圆的方程.

本题考查的知识要点：圆的方程的求法，两点间的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能

力，属于中档题.

15.【答案】{1,8,10,64}

【解析】解：若。6=2,则=4,则。4=8或&4=1,

当&4=8时,则a?=16,则a2=32或a2=5,则的=64或a1=10；

当。4=1时，则。3=2或=°（舍），若。3=2,则。2=4,则%=8或%=1;

即m所有可能取值的集合为｛1,8,10,64｝.

故答案为：｛1,8,10,64）.

根据递推公式逆向寻找结果即可.

本题考查归纳推理和数列递推公式，属于基础题.

16.【答案】?

【解析】解：如图，设点H为△BCD的中心，则4HJ•平面BCD,连接BH,并延长BH交CD于点E,

则点E为C。的中点，\BH\=~\BE\,则四面体ABCD的内切球的球心。1在4H上，

且四面体PBCD的外接球的球心。2在上，设四面体ABCD的内切球的半径为r,

\BE\=~，\BH\=l\BE\=>Tl,\AH\=y/~6,则以“CD=口X；X3X3X?X0=亨，

乂匕-BCD=%1-BCO++^Or-ACD+%I-AB。，

则：x4x[x3x3x?.r=手，解得「=字，即|。担|=冬，

32244ill4

由四面体PBCD的外接球的球心。2在4H上，得102Pl=\OZB\,

记BP的中点为M,则02MlBP,|4M|=?,

cos/BAHI==需=?，所以|4。2|=亨，则|。2"=?，所以|。1。2|=?。

故答案为：?.

设点”为△8CD的中心，四面体4BCD的内切球的球心。1在4H上，且四面体PBCD的外接球的球心

。2在4H上，利用等体积法求出四面体ABC。的内切球的半径，根据比例关系求出|4。21，得出1。2小，

即可得解.

本题考查几何体的内切球，外接球问题，属于中档题.

17.【答案】解：(/)当。=4时，b=3,c=2,在△ABC中，由余弦定理，得cosA='区一)

2bc

9+4-16__1

2x3x2"_一"

所以sin/=V1—COS2J4==身；

4

(II)由已知，最大角为角4最小角为角C,即4=2C,

由正弦定理得2=%=吗=2恒5(?,即2cosc=2，

cstnCsinec

又c°sc=立七，所以乌=贮±七，

2ab2c2ab

将匕=a—1,c=a—2代入上式得出伍—1)=(a+3)(a—l)(a—2),

解得a=6.

【解析】(I)在△ABC中，由余弦定理求得cosZ,即可求解sizM；

(II)由已知，最大角为角4最小角为角C,即/=2C,利用正弦定理和余弦定理即可求解.

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.

18.【答案】解：(I)零假设为：%：A,8款盲盒套餐的选择与年龄之间无关联，

根据列联表中的数据，经计算得K2=80(18X10-30X22)=7s＞6,6351

48x32x40x40

根据小概率值心=0.01的独立性检验，推断Ho不成立，

即有99%的把握认为48款盲盒套餐的选择与年龄有关；

(n)f的所有可能取值为0,1,2,3,

%=0)=C照＞=看％=1)=C照尸二|,P(f=2)=呢＞=|,p(f=3)=c泊3=1,

所以f的分布列为：

0123

P1331

8888

f(O=0xi+lx|+2x|+3xi=|^(F(n=3x1=1)；

(HI)设事件/：随机抽取1件打开后发现为隐藏款X,

设事件当：随机抽取的1件单品来自于4款盲盒套餐,

设事件为：随机抽取的1件单品来自于B款盲盒套餐,

P(4)=P(B)P⑷BJ+P(B2)-P(A\B2)=泊+I.刹=；,

故由条件概率公式可得

P(%|4)=需==—

44

【解析】(I)根据独立性检验计算K2,再进行判断即可：

(n)根据二项分布的概率公式，进行计算得分布列及数学期望即可；

(皿)根据全概率公式及条件概率公式分析计算即可.

本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列马期望，属于中档题.

19.【答案】(I)证明：在平面4BCC内任取一点G(不在直线4B

与直线上)，

过G分别作4D、4B的垂线GE、GF,

已知平面P4D平面4BC。，平面24B_1_平面486,

由平面与平面垂直的性质定理可得，651平面/?40,GF1平

面P4B,

则GEJLPA,GF1PA,而GEnGF=G,则PA1平面4BCD；

(II)解：由(I)知，PAJ•平面4BCD,又AB_LA。，

以4为坐标原点，分别以48、DA,4P所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

由已知得：P(0,0,2),B(1,O,O),D(0,-2,0),设BC=m,

则C(l,m,0),

PB=(1,0,-2).PC=(1,-7n,-2)，PD=(0,-2,-2).

设平面PBC与平面PDC的一个法向量分别为i?=(Xi，yi，zj,v=(x2,y2,z2),

u-PB=X1-2Z]=0

由,取=2,得过=(2,0,1);

ju-PC=x1-myt—2zi=0

v-PC=x—my—2Z—0

由222,取Z2=1,Wv=(2-m,-1,1).

jv-PD——2y2—2Z2=0

•••平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为平,

|4-2m+l|_2n

.­.|coS<u,v>|=^i=

\T5xJ(2-m)2+25>

解得；m=^.

即BC的长为"

【解析】(I)在平面ABCD内任取一点G(不在直线AB与直线4。上)，过G分别作AD、4B的垂线GE、

GF,由已知结合平面与平面垂直的性质可得GE1平面PAD,GF_L平面P4B,得到GE1P4GF1

PA,贝lJP4_1_平面4BCD；

(II)由(I)知，P4J_平面4BC0,又4B1AD,以4为坐标原点，分别以4B、DA,4P所在直线为X、

y、z轴建立空间直角坐标系，设BC=m,

则C(l,一小,0),然后分别求出平面PBC与平面PDC的一个法向量，再由平面PBC与平面PCD的夹

角的余弦值为甲列式求解m值，则答案可求.

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间

角，是中档题.

.【答案】：

20W(I)'--an+i=S.+l(n6N*),

：

•an=S71T+l(n>2),

aa=aa(

•**n+l~nn»•'tn+l=2an,H>2),

,・•数列｛｝为等比数列，・・公比

an♦q=2,

又=S]+1,**•2。]—Q]+1,Q1—1,

・・n；

•an=2t

(11)由(1)知02n=22nT,.•Jog2a2n=2,-1,

—lo^2^2^+^一/0。2(@2'022.....02”)

=2n+1-1-(2+22+…+2n—n)

=2n+1+n-1-2(：t)=7i+l,

1—Z

■■■

an—bn<2023,

271-1-(n+1)<2023,

•112n-1-n<2024,设/'(n)=2n-1-n,

f(n+l)-/(n)=2n-(n+1)-2时1+n=2n-1-1,

•••当nN2时，/(n)单调递增，又/(l)="2)=0,

又/'(11)=210-11=1013<2024,

/(12)=2n-12=2036>2024,

.•・满足题意的最大正整数"为11.

【解析】(I)先根据题意求出公比q=2,从而可求出的=1,从而可得｛a“｝的通项公式；

(II)先根据(I)求出%=几+1，再根据题意解不等式，即可求解.

本题考查等比数列的通项公式的求解，利用数列的单调性求解不等式问题，化归转化思想，属中

档题.

21.【答案】解：(I)设P(x,y)是双曲线上的任意一点，

贝!J|OP|2=%2+(y—2)2=2y2—4y+4+a2=2(y—l)2+

2+a2,

所以当y=1时，|DP『的最小值为2+a2,所以2+a?=3,

得—1,

所以双曲线E的方程为——y2=1;

(II)由直线八丫=依+771与圆。：M+(y+2)2=1相切得

由直线交双曲线的左、右支于4B两点，设8(X2,、2)，

联立_点二，,消y整理得(1—fc2)x2—2mkx—(m2+1)=0,

22

则4=4(m+1-fc)>0,%!%2=+x2=所以小_次1=":

所以X62=<O即nt?+4m+2<0,WW—2—y/~2<m<—2+y/~2<

1/'kk+-1i=m—z我+4;m二+2

|m+2|_1

又了二?一1‘贝”6+2|21，解得m2—1或m〈一3,

22

所以me(-2-y/~l,-3]U[-1,-2+^),所以|4B|=V1+k-\xx-x2\=V1+/c-

J4(m2+l-k2)

~\i^\

又点D(0,2)到AB的距离幺=-p=,故a=A\AB\d.=0-血二岁

J1+k12111-m£-4m-2

设“(％3，为)，N(X4，y4),

联立方程组匚/二;，消y整理得(1-/c2)x2-2mkx-m2=0,

则42=4m2,%3+%4=,x4=六P所以1%3-/I=

2

所以|MN|=y/l+k-|x3-X4l=71+H・W，

1-k

,_—m2

又点。到MN的距离也=1靠，故丛=：|MN|d2=二』二，

所以当Si—4s2"时，有(2-吗丁子_4了V，

整理得(2—m)V—4m-2=^(5m2—8m—4),即(2—m)y/—4m—2=^(5m+2)(m—2),

又mH2,则d—4m—2=?(5m+2),EP200m2+258m4-81=0,解得阳=一［，如=一名(

745U

舍去)，

所以巾=一,，则％=士右所以直线方程为丫=±|工一a

【解析】(I)设P(x,y)是双曲线上的任意一点，先求得|DP|2=2(y—l)2+2+。2,再结合题意

即可求得的值，进而即可求出双曲线E的方程；

|m+2|_

(口冼根据直线呜圆C相切得到厂q-l,设｛工21)，8(冷女)，再联立直线，的方程和双曲线

qi+k

E的方程，求得%i%2，+小，根据题意求得加的取值范围，设点。(0,2)到48的距离为由，从而

求得品，再联立直线1的方程和双曲线E的渐近线的方程，求得%3%，的+处，设点。到MN的距离

为d2,从而求得S2,再结合S1-4s2=5即可求得化的值，进而即可求得直线1的方程.

本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，属于难题.

22.【答案】解：(I)/(x)=L—2年=必处，

当a<o时,/'(%)>o,y(%)在(0,+8