江苏省淮安市盱眙县2023-2024学年高一数学第一学期期末监测试题含解析

江苏省淮安市盱眙县2023-2024学年高一数学第一学期期末监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．过点且平行于直线的直线方程为（）A. B.C. D.2．已知函数,若,则恒成立时的范围是()A. B.C. D.3．直三棱柱中,若,则异面直线与所成角的余弦值为A.0 B.C. D.4．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是A. B.C. D.5．函数的部分图象如图所示，则A.B.C.D.6．给出下列四个命题：①若，则对任意的非零向量，都有②若，，则③若，，则④对任意向量都有其中正确的命题个数是（）A.3 B.2C.1 D.07．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（）A. B.C. D.8．已知点M在曲线上，点N在曲线：上，则|MN|的最小值为（）A.1 B.2C.3 D.49．若，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.10．下列命题中正确的是A. B.C. D.11．化简A. B.C.1 D.12．半径为，圆心角为的弧长为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．如下图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为3214．已知，且，则=_______________.15．在函数的图像上，有______个横、纵坐标均为整数的点16．当时，函数取得最大值，则_______________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层、某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元.设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.（1）求和的表达式；（2）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用最小，并求出最小值.18．已知函数，图象上两相邻对称轴之间的距离为；_______________；（Ⅰ）在①的一条对称轴；②的一个对称中心；③的图象经过点这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；（Ⅱ）若动直线与和的图象分别交于、两点，求线段长度的最大值及此时的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若，求值；（3）求证：当时，20．心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力,x表示讲授概念的时间(单位:min)，可有以下的关系:（1）开讲后第5min与开讲后第20min比较,学生的接受能力何时更强一些?（2）开讲后多少min学生的接受能力最强?能维持多少时间?（3）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间,那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念?21．在①；②.请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的问题.在中，角所对的边分别为，__________.（1）求角；（2）求的取值范围.22．如图,在矩形中,点是边上中点,点在边上(1)若点是上靠近的三等分点,设,求的值(2)若,当时,求的长

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、A【解析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解.【详解】解：设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得.所以所求的直线方程为.故选：A2、B【解析】利用条件f（1）＜0，得到0＜a＜1．f（x）在R上单调递减，从而将f（x2+tx）＜f（x﹣4）转化为x2+tx＞x﹣4，研究二次函数得解.【详解】∵f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），∴f（x）是定义域为R的奇函数，∵f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），且f（1）＜0，∴，又∵a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1∵ax单调递减，a﹣x单调递增，∴f（x）在R上单调递减不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0化为：f（x2+tx）＜f（x﹣4），∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，∴△＝（t﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜t＜5故答案为B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3、A【解析】连接，在正方形中，，又直三棱柱中，，即，所以面.所以，所以面，面，所以，即异面直线与所成角为90°，所以余弦值为0.故选A.4、A【解析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，再依次判断每个选项的奇偶性和单调性得到答案.【详解】易知：函数为偶函数，且在上单调递增A.，函数为偶函数，且当时单调递增，满足；B.为偶函数，且当时单调递减，排除；C.函数为奇函数，排除；D.，函数为非奇非偶函数，排除；故选：【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.5、A【解析】由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.【考点】三角函数的图象与性质【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值6、D【解析】对于①，当两向量垂直时，才有；对于②，当两向量垂直时，有，但不一定成立；对于③，当，时，可以是任意向量；对于④，当向量都为零向量时，【详解】解：对于①，因为，，所以当两向量垂直时，才有，所以①错误；对于②，因为，，所以或，所以②错误；对于③，因为，所以，所以可以是任意向量，不一定是相等向量，所以③错误；对于④，当时，，所以④错误，故选：D7、D【解析】由正切函数的性质，可以得到函数的周期，进而可以求出解析式，然后求出即可【详解】由题意知函数的周期为，则，所以，则.故选D.【点睛】本题考查了正切函数的性质，属于基础题8、B【解析】根据圆的一般方程得出圆的标准方程，并且得圆的圆心和半径，计算两圆圆心的距离后就可以求解.【详解】由题意知：圆:,的坐标是,半径是，圆:，的坐标是,半径是.所以,因此两圆相离,所以最小值为.故选：B9、A【解析】由指数函数的单调性可知,由对数函数的单调性可知,化简,进而比较大小即可【详解】因为在上是增函数,所以；在上是增函数,所以；,所以,故选:A【点睛】本题考查指数、对数比较大小问题,考查指数函数、对数函数的单调性的应用10、D【解析】本题考查向量基本运算对于A，，故A不正确；对于B，由于向量的加减运算的结果仍为向量，所以，故B错误；由于向量的数量积结果是一个实数，故C错误，C的结果应等于0；D正确11、D【解析】先考虑分母化简，利用降次公式，正切的两角和与差公式打开，整理，可得答案【详解】化简分母得.故原式等于.故选D【点睛】本题主要考查了两角和与差公式以及倍角公式．属于基础题12、D【解析】利用弧长公式即可得出【详解】解：，弧长cm故选：D二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、6【解析】如下图所示，O'B'=2,OM=214、【解析】由同角三角函数关系求出，最后利用求解即可.【详解】由，且得则，则.故答案为：.15、3【解析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得.【详解】因为，所以函数在R上单调递减，又，，，，且当时，，当时，令，则，综上，函数的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点故答案为：3.16、【解析】利用三角恒等变换化简函数，根据正弦型函数的最值解得，利用诱导公式求解即可.【详解】解析：当时，取得最大值（其中），∴，即，∴故答案为：-3.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1），（2）隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元【解析】(1)由已知，又不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．所以可得C（0）＝5，由此可求，进而得到．由已知建造费用为6x，根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），可得f（x）的表达式(2)由(1)中所求的f（x）的表达式，利用基本不等式求出总费用f（x）的最小值【小问1详解】因为，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，所以，故，因为为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，所以.【小问2详解】，当且仅当，即时，等号成立，即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元.18、（Ⅰ）选①或②或③，；（Ⅱ）当或时，线段的长取到最大值.【解析】（Ⅰ）先根据题中信息求出函数的最小正周期，进而得出.选①，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；选②，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；选③，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；（Ⅱ）令，利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出在上的最大值和最小值，由此可求得线段长度的最大值及此时的值.【详解】（Ⅰ）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，，此时.若选①，则函数的一条对称轴，则，得，，当时，，此时，；若选②，则函数的一个对称中心，则，得，，当时，，此时，；若选③，则函数的图象过点，则，得，，，，解得，此时，.综上所述，；（Ⅱ）令，，，，当或时，即当或时，线段的长取到最大值.【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了余弦型三角函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题.19、(1)；(2)；(3)证明见解析.【解析】（1）利用真数大于零列出不等式组，其解为，它是函数的定义域.（2）把方程化为后得到，故.（3）分别计算就能得到.解析：（1）由，得函数的定义域为.（2），即，∴，∴且，∴.（3）∵，，∴时，，又∵，∴.20、（1）开讲后第5min比开讲后第20min，学生接受能力强一些.；（2）6min;（3）详见解析.【解析】第一步已知自变量值求函数值，比较后给出答案；第二步是二次函数求最值问题；第三步试题解析：（1），，则开讲后第5min比开讲后第20min，学生的接受能力更强一些.]（2）当时，，当时，开讲后10min（包括10分钟）学生的接受能力最强，能维持6min.（3）由当时，，得；当时，，得持续时间答：老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念.考点：1.求函数值；2.配方法求二次函数的最值；3.分段函数解不等式.21、（1）条件选择见解析，（2）【解析】（1）若选①，由正弦定理得，即可求出；