2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案5.4《复数》 (教师版)

页第四节复数核心素养立意下的命题导向1.通过方程的解，认识复数．2．结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3．结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．复数的定义及分类(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类：eq\a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))2．复数的有关概念复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复数的模向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)3.复数的几何意义复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的几何表示复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量eq\o(OZ,\s\up7(→))4.复数的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．5．复数运算的几个重要结论(1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．(2)eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2.(3)若z为虚数，则|z|2≠z2.(4)(1±i)2＝±2i.(5)eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(6)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(复数的概念)复数z＝eq\f(i,5＋i)的虚部为()A.eq\f(5,26)B．eq\f(5,26)iC．－eq\f(5,26)D．－eq\f(5,26)i解析：选Az＝eq\f(i,5＋i)＝eq\f(i5－i,5＋i5－i)＝eq\f(1＋5i,26)＝eq\f(1,26)＋eq\f(5,26)i.故选A.2．(复数的模)复数z＝(1＋i)2，则|z|＝()A．0B．1C．2D．3解析：选C由题得z＝2i，所以|z|＝2.故选C.3．(复数的几何意义)复数z＝eq\f(5,2－i)在复平面上的对应点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选Az＝eq\f(5,2－i)＝eq\f(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i)))＝2＋i，在复平面上的对应点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))，位于第一象限．故选A.4．(复数的运算)若复数z满足z·i＝1＋i(i是虚数单位)，则z的共轭复数是________．解析：由z·i＝1＋i，得z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1＋i－i,－i2)＝1－i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋i.答案：1＋i二、易错点练清1．(概念理解错误)i为虚数单位，复数eq\f(4＋3i,3－4i)的虚部是()A．－1B．1C．iD．－i解析：选B由题意得，eq\f(4＋3i,3－4i)＝eq\f(4＋3i3＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(25i,25)＝i，所以复数的虚部是1.故选B.2．(混淆绝对值与复数模的含义)若z＝3＋4i，则|z|＝()A.eq\r(5)B．5C．7D．25解析：选B因为z＝3＋4i，所以|z|＝eq\r(32＋42)＝eq\r(25)＝5.考点一复数的概念1．已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝()A．1B．－1C．2D．－2解析：选C因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2，故选C.2．若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．2解析：选C因为z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，故选C.3．(多选)已知i为虚数，且复数z满足z(1＋2i)＝1＋i3，则下列关于复数z的命题中正确的为()A．复数z的虚部为－eq\f(3,5)B．|z|＝eq\f(2\r(5),5)C．复数z对应的点在第三象限D．z<1＋2i解析：选ACz＝eq\f(1－i,1＋2i)＝eq\f(1－i1－2i,5)＝eq\f(－1－3i,5)，则复数z的虚部为－eq\f(3,5)，故A正确；|z|＝eq\f(\r(10),5)，故B错误；复数z对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，－\f(3,5)))，为第三象限内的点，故C正确；虚数不能比较大小，故D错误．故选A、C.4．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是()A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若eq\x\to(z)2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2解析：选BC由复数的形式知选项A显然不正确；当z1z2＝z1z3时，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3，故选项B正确；当eq\x\to(z)2＝z3时，则z2＝eq\x\to(z)3，|z1z2|2－|z1z3|2＝(z1z2)(eq\x\to(z)1eq\x\to(z)2)－(z1z3)(eq\x\to(z)1eq\x\to(z)3)＝z1z2eq\x\to(z)1eq\x\to(z)2－z1z3eq\x\to(z)1eq\x\to(z)3＝0，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则z1z2＝|z1|2＝z1eq\x\to(z)1⇒z1z2－z1eq\x\to(z)1＝z1(z2－eq\x\to(z)1)＝0，又z1≠0，所以eq\x\to(z)1＝z2，故选项D不正确．5．已知复数z＝eq\f(a,2－i)＋eq\f(2－i,5)的实部与虚部的和为2，则实数a的值为________．解析：易知z＝eq\f(a,2－i)＋eq\f(2－i,5)＝eq\f(a2＋i,5)＋eq\f(2－i,5)＝eq\f(2a＋2,5)＋eq\f(a－1i,5)，由题意得eq\f(2a＋2,5)＋eq\f(a－1,5)＝2，解得a＝3.答案：3[方法技巧]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝eq\x\to(z)；③z∈R⇔z2≥0.(4)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R);②z是纯虚数⇔z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2<0.考点二复数代数形式的运算[典题例析](1)(1＋2i)(2＋i)＝()A．－5iB．5iC．－5D．5(2)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．2(3)eq\f(2－i,1＋2i)＝()A．1B．－1C．iD．－i[解析](1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋4i＋i－2＝5i，故选B.(2)法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2－2i|＝2.故选D.法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝eq\r(2)×|－1＋i|＝eq\r(2)×eq\r(2)＝2.故选D.(3)eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(－5i,5)＝－i.[答案](1)B(2)D(3)D[方法技巧]复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式[针对训练]1．复数eq\f(1,1＋2i)＋eq\f(i,2)的共轭复数的虚部为()A.eq\f(1,10)B．－eq\f(1,10)C.eq\f(3,10)D．－eq\f(3,10)解析：选B∵eq\f(1,1＋2i)＋eq\f(i,2)＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＋eq\f(i,2)＝eq\f(1－2i,5)＋eq\f(i,2)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i＋eq\f(i,2)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,10)i，∴复数eq\f(1,1＋2i)＋eq\f(i,2)的共轭复数为eq\f(1,5)－eq\f(1,10)i，虚部为－eq\f(1,10).故选B.2．计算：(1)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝________；(2)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝________.解析：(1)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(2)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1－i,2i)－eq\f(1＋i,2i)＝eq\f(－2i,2i)＝－1.答案：(1)eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i(2)－1考点三复数的几何意义[典例](1)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝()A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－i(2)在复平面内，复数eq\f(m＋i,m－i)(i为虚数单位)对应的点位于第一象限，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)[解析](1)由题意知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故选B.(2)eq\f(m＋i,m－i)＝eq\f(m＋i2,m－im＋i)＝eq\f(m2－1,m2＋1)＋eq\f(2m,m2＋1)i.∵该复数对应的点位于第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－1,m2＋1)>0，,\f(2m,m2＋1)>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1>0，,2m>0，))解得m>1，∴实数m的取值范围是(1，＋∞)，故选D.[答案](1)B(2)D[方法技巧]复数几何意义问题的解题策略(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[针对训练]1．复数z＝eq\f(1－i,3＋i)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D∵z＝eq\f(1－i,3＋i)＝eq\f(1－i3－i,3＋i3－i)＝eq\f(2－4i,10)＝eq\f(1,5)－eq\f(2i,5)，∴在复平面内对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，－\f(2,5)))，位于第四象限，故选D.2．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2eq\r(2)＋i|的最大值是()A．3B．2eq\r(3)C．1＋2eq\r(2)D．4解析：选D|z|＝1表示单位圆上的点，那么|z＋2eq\r(2)＋i|表示在单位圆上的点到(－2eq\r(2)，－1)的距离，求最大值转化为点(－2eq\r(2)，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－2eq\r(2)，－1)到原点的距离为3，所以最大值为4.3．设复数z满足|z－i|＝|z＋i|(i为虚数单位)，且z在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列结论一定正确的是()A．x＝1B．y＝1C．x＝0D．y＝0解析：选D∵满足|z－i|＝|z＋i|的点为复平面内到点(0，－1)和(0,1)的距离相等的点的集合，∴Z(x，y)的轨迹为x轴，其方程为y＝0.故选D.eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])1．已知i为虚数单位，z＝eq\f(4,1－i)，则复数z的虚部为()A．－2iB．2iC．2D．－2解析：选Cz＝eq\f(4,1－i)＝eq\f(41＋i,1－i1＋i)＝eq\f(41＋i,2)＝2＋2i，虚部即为i的系数，为2，故选C.2．设复数z＝eq\f(1－i,1＋i)，f(x)＝x2020＋x2019＋…＋x＋1，则f(z)＝()A．iB．－iC．1D．－1解析：选C∵z＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2020＋(－i)2019＋…＋(－i)＋1.∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，∴f(z)＝505×0＋1＝1.故选C.3．若z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋m－6))＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为()A．－2B．2C．－3D．3解析：选C因为z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋m－6))＋(m－2)i为纯虚数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2m＋3＝0，,m－2≠0，))解得m＝－3，故选C.4．复数z＝eq\f(2i4,1＋i)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D由题得复数z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝eq\f(21－i,2)＝1－i，所以复数z对应的点位于复平面第四象限，故选D.5．“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C当a＝－2时，z＝(－2＋2i)(－1＋i)＝－4i，则z为纯虚数，可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充分条件；当z＝(a＋2i)(－1＋i)＝(－a－2)＋(a－2)i为纯虚数时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－2＝0，,a－2≠0，))解得a＝－2，可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的必要条件．综上所述，“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充要条件．6．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\x\to(z)＝4，则a＝()A．1或－1B．eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3)D．eq\r(3)解析：选A∵z＝a＋eq\r(3)i，∴eq\x\to(z)＝a－eq\r(3)i，∴z·eq\x\to(z)＝(a＋eq\r(3)i)(a－eq\r(3)i)＝a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1，故选A.7．已知m∈R，复数z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·eq\x\to(z)2为实数，则m＝()A．－eq\f(2,3)B．eq\f(2,3)C．3D．－3解析：选B因为z1·eq\x\to(z)2＝(1＋3i)(m－2i)＝(m＋6)＋(3m－2)i为实数，所以3m－2＝0，解得m＝eq\f(2,3).故选B.8．已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则eq\f(z1,z2)＝()A.eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iB．－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iC．－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iD．eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i解析：选A由题意，复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i，则z2＝3＋i，则根据复数的运算，得eq\f(z1,z2)＝eq\f(3－i,3＋i)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.9．已知z＝a＋bi，其中a，b∈R，且满足(a＋i)2＝bi5，则|z|＝()A．5B．eq\r(5)C．3D．eq\r(3)解析：选B由已知得(a＋i)2＝bi，所以a2－1＋(2a－b)i＝0，所以a2－1＝0且2a－b＝0，解得a＝1，b＝2或a＝－1，b＝－2，所以|z|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5).10．设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是()A．1B．2C．3D．4解析：选C∵|z－i|≤2，∴复数z在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，2为半径的圆上及其内部(如图)．∴|z|的最大值为3.11．已知ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是－2＋i,1－i,2＋2i，则点D对应的复数为()A．4－iB．－3－2iC．5D．－1＋4i解析：选D由题得A(－2,1)，B(1，－1)，C(2,2)，设D(x，y)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(3，－2)，eq\o(DC,\s\up7(→))＝(2－x,2－y)，因为eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x＝3，,2－y＝－2，))解得x＝－1，y＝4.所以点D的坐标为(－1,4)，所以点D对应的复数为－1＋4i.12．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为eq\x\to(z)，则()A．|z|＝eq\f(3,5)B.eq\x\to(z)＝－eq\f(1＋2i,5)C．复数z的实部为－1D．复数z对应复平面上的点在第二象限解析：选BD因为复数z满足z(2－i)＝i，所以z＝eq\f(i,2－i)＝eq\f(i2＋i,2－i2＋i)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i，所以|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2)＝eq\f(\r(5),5)，故A错误；eq\x\to(z)＝－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，故B正确；复数z的实部为－eq\f(1,5)，故C错误；复数z对应复平面上的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(2,5)))在第二象限，故D正确．13．已知i为虚数单位，且复数z满足z－2i＝eq\f(1,1－i)，则复数z在复平面内的点到原点的距离为()A.eq\f(13,2)B．eq\f(\r(26),2)C.eq\f(\r(10),2)D．eq\f(5,2)解析：选B由z－2i＝eq\f(1,1－i)，得z＝2i＋eq\f(1,1－i)＝2i＋eq\f(1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(5,2)i，∴复数z在复平面内的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))，到原点的距离为eq\r(\f(1,4)＋\f(25,4))＝eq\f(\r(26),2).14．(多选)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m＝in，n∈N))，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是()A．(1－i)(1＋i)B．eq\f(1－i,1＋i)C.eq\f(1＋i,1－i)D．(1－i)2解析：选BC根据题意，M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m＝in，n∈N))，∴M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，i，－i)).选项A中，(1－i)(1＋i)＝2,2∉M；选项B中，eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝－i∈M；选项C中，eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝i∈M；选项D中，(1－i)2＝－2i∉M，故选B、C.15．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，则|z1－z2|＝_______.解析：法一：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝eq\r(3)－a＋(1－b)i，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|z1|2＝a2＋b2＝4，,|z2|2＝\r(3)－a2＋1－b2＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝4，,\r(3)a＋b＝2，))所以|z1－z2|2＝(2a－eq\r(3))2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(eq\r(3)a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2eq\r(3).法二：题设可等价转化为