2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案8.1《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》 (原卷版)

PAGEPAGE1第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程核心素养立意下的命题导向1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素，凸显直观想象的核心素养．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，凸显数学运算的核心素养．3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系，凸显数学抽象的核心素养．[理清主干知识]1．直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角直线的斜率定义当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°当直线l的倾斜角α≠eq\f(π,2)时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为kP1P2＝eq\f(y2－y1,x2－x1)区别直线l垂直于x轴时，直线l的倾斜角是90°；倾斜角的取值范围为[0，π)直线l垂直于x轴时，直线l的斜率不存在；斜率k的取值范围为R联系(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系；(2)当直线l的倾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，α越大，直线l的斜率越大2．直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率ky﹣y0＝k(x﹣x0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率ky＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面直角坐标系内所有直线[澄清盲点误点]一、关键点练明1．直线eq\r(3)x﹣y＋a＝0的倾斜角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(2π,3)2．经过点P0(2，﹣3)，倾斜角为45°的直线方程为()A．x＋y＋1＝0B．x＋y﹣1＝0C．x﹣y＋5＝0D．x﹣y﹣5＝03．倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是()A．x﹣y＋1＝0B．x﹣y﹣1＝0C．x＋y﹣1＝0D．x＋y＋1＝04．过点M(﹣1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．二、易错点练清1．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))2．已知经过两点A(m2＋2，m2﹣3)，B(3﹣m﹣m2，2m)的直线l的倾斜角为135°，则m的值为________．3．过点M(3，﹣4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________________．考点一直线的倾斜角与斜率[典例](1)直线2xcosα﹣y﹣3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.[方法技巧]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tanα的取值范围．(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2．斜率取值范围的2种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可[针对训练]1．“a<﹣1”是“直线ax＋y﹣1＝0的倾斜角大于eq\f(π,4)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(多选)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是()A．k1<k3<k2B．k3<k2<k1C．α1<α3<α2D．α3<α2<α1考点二求直线的方程[典例]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(﹣1，﹣3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．[方法技巧]求解直线方程的2种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程待定系数法①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程[针对训练]1．一条直线经过点A(﹣2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线的方程．2．已知△ABC的三个顶点分别为A(﹣3,0)，B(2,1)，C(﹣2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．考点三直线方程的综合应用[典例]直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．[方法技巧]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．[针对训练]已知直线l：kx﹣y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．创新思维角度——融会贯通学妙法妙用直线的斜率解题应用(一)比较大小[例1]已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则eq\f(fa,a)，eq\f(fb,b)，eq\f(fc,c)的大小关系为________________．[名师微点]有关eq\f(fx,x)的式子比较大小时，一般数形结合利用直线的斜率解题．应用(二)求解点共线问题[例2]已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(﹣1，b)四点共线，则a＝________，b＝________.[名师微点]若直线AB，AC的斜率相等，则A，B，C三点共线，反过来，若A，B，C三点共线，则直线AB，AC的斜率相等或都不存在．应用(三)求参数的取值范围[例3]已知线段PQ两端点的坐标分别为P(﹣1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围．[名师微点]当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律．但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大．应用(四)求函数的最值[例4]已知实数x，y满足y＝x2﹣2x＋2(﹣1≤x≤1)，试求eq\f(y＋3,x＋2)的最大值和最小值．[名师微点]巧妙利用斜率公式，借助数形结合思想直观求解，能收到事半功倍的效果，此题还可利用代数的方法求解．应用(五)证明不等式[例5]已知0<a<b，且p>0.求证：eq\f(a＋p,b＋p)>eq\f(a,b).[名师微点]观察不等式的两边，都可构造与斜率公式类似的结构.eq\f(a＋p,b＋p)＝eq\f(a－－p,b－－p)的几何意义就是点(b，a)与点(﹣p，﹣p)的连线的斜率，eq\f(a,b)可看成(b，a)与原点O(0,0)的连线的斜率．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．直线l的方程为eq\r(3)x＋3y﹣1＝0，则直线l的倾斜角为()A．150°B．120°C．60°D．30°2．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是eq\f(3,5)的直线方程为()A．3x﹣5y＋10＝0B．3x﹣4y＋8＝0C．3x＋4y＋10＝0D．3x﹣4y＋8＝0或3x＋4y﹣8＝03．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()4．已知直线l的斜率为eq\r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x﹣2y﹣4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为()A．y＝eq\r(3)x＋2B．y＝eq\r(3)x﹣2C．y＝eq\r(3)x＋eq\f(1,2)D．y＝﹣eq\r(3)x＋25．已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))6．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x﹣1)ex＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距为________．二、综合练——练思维敏锐度1．已知三点A(2，﹣3)，B(4,3)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(k,2)))在同一条直线上，则k的值为()A．12B．9C．﹣12D．9或122．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，﹣1)，则直线l的斜率为()A.eq\f(1,3)B．﹣eq\f(1,3)C．﹣eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)3．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝﹣x﹣1的倾斜角小eq\f(π,4)的直线方程是()A．x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝24．若k，﹣1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点()A．(1，﹣2)B．(1,2)C．(﹣1,2)D．(﹣1，﹣2)5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为()A．x＋2y＋3＝0B．2x＋y＋3＝0C．x﹣2y＋3＝0D．2x﹣y＋3＝06．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(﹣3,3)，则其斜率k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))C．(﹣∞，﹣1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))D．(﹣∞，﹣1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))7．若直线x﹣2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A．[﹣2,2]B．(﹣∞，﹣2]∪[2，＋∞)C．[﹣2,0)∪(0,2]D．(﹣∞，＋∞)8．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是()A．直线l恒过定点(0,1)B．当m＝0时，直线l的斜率不存在C．当m＝1时，直线l的倾斜角为eq\f(3π,4)D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直9．设点A(﹣2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(5,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](