基于扫掠法的六面体网格生成算法研究

基于扫掠法的六面体网格生成算法研究

1面体网格生成方法随着有限元法在不同领域的广泛应用，有限元网格分散技术已成为主要研究方向。在有限元网格划分中,四面体网格的划分已经相当成熟,已经实现全自动划分,相比于四面体网格,六面体网格对于三维复杂实体具有网格的单元数少,变性特性好,可以精确反应模型结构等优点,从而成为今年众多学者的研究热点。在六面体网格生成方法中,具有代表性的有映射法、单元转化法、扫掠法、基于栅格法、四面体分解法等。过去几十年里扫掠法受到人们广泛的研究,Lai等人通过平面求交算法来逐层生成内部节点,一定程度上改进了传统的向量平均算法的不足,但不能有效地处理像旋转体等复杂扫掠体,而且所生成的网格质量较差。Knupp通过构造线性变换,逐层将低层内部节点向高层投影生成内部节点,并通过层节点光顺,改善网格质量,虽然该算法可处理旋转扫掠体,但由于未考虑目标面几何,当目标面为复杂曲面时,网格质量较差。Roca等人则在上述算法思想的基础上,同时考虑了目标面几何,使基于线性变换的扫掠算法可一定程度地处理源面和目标面都是曲面的复杂扫掠体,但该算法要求每个中间都存在一个比较好的线性变换,否则网格质量难以保证。本文针对已有算法的不足,提出一种基于Roca算法内部节点定位的新算法,改进后的扫掠法可以处理源面和目标面都是复杂曲面,变截面轮廓的扫掠体,且生成的网格质量有所提高,丰富了扫掠体六面体网格生成工具。2复杂扫掠体网格的构建扫掠体,也称为2.5维实体,一般由源面,目标面和扫掠面三部分组成,扫掠体按源面和目标面的对应数目可以分为:一对一,多对一和多对多等3类扫掠体。直接生成多对一和多对多扫掠体的六面体网格比较困难,通常的做法是将多对一和多对多扫掠体拆分为简单的一对一扫掠体,再分别进行六面体网格划分。而一对一复杂扫掠体应满足以下约束条件:(1)扫掠体由一个源曲面,一个目标曲面和一系列的连接曲面组成。(2)源面和目标曲面必须拓扑结构相同即有相同数目的孔洞和逻辑边。(3)连接曲面必须由4个逻辑边定义。2.1最佳仿射映射在本算法中,源曲面网格是应用已有的基于Paving算法的四边形网格生成器得到,该网格生成器已经应用于ETA公司的板料成型分析软DYNAFORM中。因为连接曲面由四个逻辑边定义(每个逻辑边可以由多个边组成),所以可以很方便地利用四边形网格生成算法生成结构化的网格,这里使用的是超限映射法。已经有基于此方法的网格生成器,该算法不在本文讨论范围内,需要注意的是,连接曲面网格与源曲面网格在边界处必须保持一致。利用源曲面已经划分好的网格和连接曲面的结构化网格,一层一层地用相同的算法投影,将源曲面的节点逐层投影,直到目标曲面。把X={xi}i=1,2,…,mÌRn当作一些源点,Y={yi}i=1,2,…,mÌRn当作一些目标点,当mue08en时,存在一个映射ϕ:Rn→Rn。从Rn对Rn仿射映射φ近似得到ϕ,即这些仿射映射取决于一个最小二乘拟合所给出的数据。最佳的仿射映射是把目标点和源点的反映之间距离的平方的总和设成最小,定义:分别作为几何中心的x和y,其中X是一系列源表面边界的节点,Y是由一个给定内层或者离散化的目标表面的边界节点的环节点组成。任意一个仿射映射从Y到X可写成:其中A∈ς(Rn)是一个线性变换(齐次部分),b′∈Rn是仿射部分。令b=b′+AcX,则将式(2)经过变换得如式(6)所示。由此可以证明出(AE,bE)∈ς(Rn)×Rn是式(6)的最优解,则式(6)的仿射部分是Y,由式(5)可知最优解是cX的中心映射到cY的中心,因此Y也是bE=cY的几何中心。2.2扫阶段的内节点生成通过相应的算法,生成每个边界节点的过程称为内部节点定位,它是扫掠法生成高质量六面体网格的关键一步。针对已有内部节点定位算法在处理复杂扫掠对象时的不足,提出一种基于Roca算法内部节点定位的新算法。设给定前一层上的节点pi,pi是在前一层边界节点环L上任意边界节点{xk}中的一点,且在当前层也存在边界环上的K个边界节点,需要寻找一个矢量b和一个在两个环边界之间非奇异线性变换的3´3的矩阵T,对所有的K个节点都满足:对于当前层的任意环节点pi,可得:矢量b可以由环节点的中点推导出用T表达的式子,首先定义环中心:将所有的k点带入式(7)中,将其相加可得:把式(11)代入式(7)中可得式(12)。运用F的最小化可以求解出T。为了计算出T,设,得到三个无关的线性关系,记作:其中:在非平面内,线性变换T可以由非奇异矩阵M求得。在平面内,M是奇异的,故T无法由M求得。定义矢量uk:经变换可得:在扫掠法中除非几何体是凹几何体,否则不会存在一个矢量n是垂直所有uk,运用最小拟合方法,可得:将所有的k点代入式(13)相加可得:再将式(11)和式(12)代入式(13)中可得式(21):最后利用最小二乘法求解矩阵T,从而逐步得到整个环的变换。求解出紧邻边界的当前层的内节点后,利用由外向内推进的波前法思想逐渐求解出更内部的内节点,直到当前层中所有内节点都生成。即有以下几个步骤:(1)根据现有的成熟面网格任意划分方法,将源曲面划分成四边形网格,记录边界节点和内节点信息。(2)使用映射法将连接曲面划分成结构化四边形网格,同时记录划分连接曲面生成的层和每一层的边界节点信息。(3)利用源曲面的边界节点、紧邻边界的内节点和根据连接曲面得到当前层的边界节点位置,得到当前层紧邻边界的线性变换矩阵,求解出当前层的紧邻边界内节点。重复上述过程,利用渐推的思想求解出当前层其他的内节点位置。记录所有内节点的信息。(4)重复步骤(3),逐层生成内节点直到目标曲面的内节点生成。(5)将所有节点,从边界向内,从源曲面向目标曲面,上下每八个节点构造一个六面体网格,直到所有的体网格生成。3roca算法的生成本文运用VC++和openGL建立仿真实验平台,实验数据如表1所示,其中包含本文算法处理前后的数据和Roca算法的处理前后的数据。图1为一个E字母,其中源面和目标面相同,且连接曲面是不变化的。图2为本文算法划分的多个组合字母,这几个字母为科技大学的拼音,有源面和目标面不同的,也有连接曲面是变化的。图3为一个椅子,各个面均为复杂的双曲面,且扫掠截面也是变化的。4改进的六面体网格算法扫掠法提供了一种相对快速的,半自动化的通用的2.5维几何形体的六面体网格生成方法,本文在基于Roca算法的基础上,提出了一种新的算法。该算法思想简单,易于编程实现,应用该算法能得到较好的内部节点位置,生成的六面体网格质量有所提高