弧度制教学课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.1任意角和弧度制5.1.2弧度制

引入

在古典小说中，我们经常会看某人动不动就身长“七尺”，“八尺”，甚至“一丈”，而在现代，2米以上的人并不多见，何也，难道古人真的普遍比现代人高很多？对于钻石的大小，我们有时说多少多少克拉，有时又说是多少多少克；称时体重，中国人常说多少多少斤，西方人常说多少多少磅，....,这些听起来总有些让人糊涂，原因又是什么呢？

对于同一种量，衡量时采用是不同的单位制。

度量长度，可以用米，英尺，码，市尺等不同的单位制，度量质量也可以用千克，磅等不同的单位制.在不同的地域，不同的场景，不同的习惯中，这样的不同单位制，往往能给解决问题带来方便。

那么角的大小是否也可以用不同的单位制呢？又能否象度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？接下来我们就来研究这个问题。1′=60″因此，周角=360°，平角=180°，直角=90°。

思考1：回忆一下，在以前，角的大小我们一般用什么单位制来度量？它的规定是怎样的？度(°)，分(')，秒(″)的关系是：角度制。其基本单位是“度(°)”，其下还有“分(')”和“秒(″)”1°=60′思考2：角度制下，扇形的弧长和面积公式是怎样的？思考3：你能说说角度制在一些场合(比如函数)的局限吗？

我们知知道，函数是非空实数集到实数集的对应关系，而实数采用的是十进制

。为了研究周期性的变化现象，我们现在需要建立任意角的三角函数，而角度制下的角却是六十进制，也就是说，自变量的集合不满足十进制，这是与函数的定义不吻合的．

另外，很多时候，周期性现象中的变量也不都是角，有可能还有时间，位移等十进制的量，而在解决实际问题的过程中，有时需要同时应用几种不同类型的函数，也就可能出现角与实数进行运算的情况，这时，如果角仍是角度制下六十进制，那就没法进行了，而且其中的意义也不得而知。

所以，为了满足函数的定义，为了解决三角函数的适用性，迫切需要引入一种新的单位制来度量角，在这种单位制下，角最好能象实数一样进行十进制的运算，甚至可以直接和实数进行运算。这种单位制就是弧度制.

它采用弧度作为角的单位知识探究

结论：圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关．也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系(如比值)来度量圆心角．弧度的单位可以省略不写1.“1弧度”角的定义

长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角．

弧度单位用符号”rad”表示,读作弧度.弧度制1rad2.弧度的表示：(1)几何表示(2)代数表示返回

思考3：弧度制和角度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算，如何换算呢？弧度制与角度制的换算两边同除180两边同除π返回思考4：如何用弧度制表示与α终边相同的角？例1.(1)按下列要求，把67°30′化成弧度：①精确值；

②近似值(精确到0.001)。解：①

例析例1.(2)按下列要求，把3.14rad化成角度：(1)精确值；(2)近似值(精确到0.001)。解：(1)

说明：(1)若无特别要求，互化结果一般取精确值，不将π化成小数；(2)弧度单位可省略不写，如角度制与弧度制的比较

(1)角度制与弧度制都是度量角的单位制(2)弧度制的单位是“弧度(rad)”,1弧度角等于半径长的圆弧所对的圆心角.用弧度表示角的大小时，

单位通常省略不写.

角度制的单位是“度(°)”,其下还有分(′)，秒（″)，1度角等于周角的1/360.用角度表示角的大小时，单位不能省略。

(3)角度制是以“角量角”，弧度制都是以“以弧量角”,但不论以哪种单位制来度量角，圆心角的大小都与半径大小无关．(4)弧度制的是“十进制”，角度制是“六十进制”；

（5)角度与弧度的基本换算关系：

思考5：你能将角度制和弧度制作一个比较吗？注意：表示角时，两种单位不能“混用”.如下列写法都是错误的:返回部分特殊角的角度与弧度180°=πrad

一一对应的关系。即

每个角都有唯一的实数(等于这个叫的弧度)；

每个实数也都有唯一一个对应的角(弧度数等于这个实数).

思考6：请完成下表

思考6：

你能说说角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间的对应关系是怎样的？角的集合正角零角负角实数集R正数零负数对应角的弧度数返回轴线角和象限角的表示(1)轴线角的表示：

x轴非负半轴上的角:

x轴非正半轴上的角:y轴非负半轴上的角:y轴非正半轴上的角:x轴上的角:y轴上的角:(2)象限角的表示：

第一象限角：第二象限角：第三象限角:第四象限角:返回练习（教材P175练习第1,2题）解：(1)例析α弧度制下扇形的弧长和面积公式(1)弧长公式：(2)扇形面积公式：返回

例3.

一扇形周长为10cm，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积.解：例析练习

1.分别用角度制，弧度制下的弧长公式计算半径为1cm的圆中，60°的圆心角对对弧的长度。

2.已知半径为120mm的圆上，有一条弧长为144mm,求该弧所对圆心的弧度数和角度数。

3.已知扇形的周长为8cm，圆心角为2。求该扇形的面积.课堂小结1.为什么要引入弧度制，用弧度制度量角合理吗？2.什么是1弧度角，它的几何表示和代数表示各是怎样的？3.弧度制与角度制怎样进行