平均变化率+高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5.1.1平均变化率第5章§5.1导数的概念1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题.学习目标导语恩格斯说：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动.”大家知道，世界充满着变化，有些变化几乎不易被人们察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！比如同学们身高、体重的变化，学习成绩的变化，在短时间内不易被发现，而火箭的发射、F1赛道上赛车的速度却会让我们惊呼.平均变化率的概念一问题如图是某市近34天最高气温的统计图，用怎样的数学模型刻画气温变化的快慢程度？2.平均变化率是曲线陡峭程度的“

”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“

”.注意点：(1)函数在区间[x1，x2]上有意义.(3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(4)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.数量化视觉化（1）已知函数f(x)＝x2＋1，则当x由2变到2.1时，函数值的改变量为()A.0.40 B.0.41

C.0.43 D.0.44例1

答案B解析f(2.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.故选B.

如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于A.1 B.－1C.2 D.－2√练习1

平均变化率概念的理解(1)要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常数函数，则Δy＝0.(3)平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同.实际问题中的平均变化率二【例2】水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积

（单位：

）试计算第一个10s内V的平均变化率.即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.25cm3/s(负号表示容器甲中的水在减少)．解：练习2

蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T＝

＋15，其中T为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为______℃/min.－1.6故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6℃/min.平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键.函数中的平均变化率三例3

计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为：(1)2；

(2)1；

(3)0.1；

(4)0.01.因为f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx，(1)当Δx＝2时，平均变化率为Δx＋2＝4，即函数f(x)＝x2在区间[1,3]上的平均变化率为4.(2)当Δx＝1时，平均变化率为Δx＋2＝3，即函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为3.(3)当Δx＝0.1时，平均变化率为Δx＋2＝2.1，即函数f(x)＝x2在区间[1,1.1]上的平均变化率为2.1.(4)当Δx＝0.01时，平均变化率为Δx＋2＝2.01，即函数f(x)＝x2在区间[1,1.01]上的平均变化率为2.01.计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为：

①2；②1；③0.1；④0.01.并思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？观察上式可知，当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小并接近于2.

（2）已知函数f（x）=2x+1，g（x）=-2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f（x）及g（x）的平均变化率.解：函数f（x）在区间[-3，-1]上的平均变化率为

同理可得,函数f（x）在区间[0，5]上的平均变化率为

2；函数g（x）在区间[-3，-1]上的平均变化率为-2；函数g（x）在区间[0，5]上的平均变化率为-2．［问题］从上述习题的求解中，你能发现一次函数y=kx+b在区间[p,q]上的平均变化率有什么规律吗？

［结论］：一次函数y=kx+b在区间[p,q]上的平均变化率为直线的斜率k．

练习3若函数f(x)=3x+1,试求f(x)在区间[a,b]上的平均变化率.

答案：3求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量x