2023年江苏省宿迁市沭阳重点中学高考数学段考试卷（一）及答案解析

2023年江苏省宿迁市沐阳重点中学高考数学段考试卷(一)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若集合A={x|x<4},B=[%|1<1),则4nB=()

A.(1,4)B.(-8,1)C.(-oo,0)U(l,4)D.(—8,0)u(0,1)

2.若复数z满足(l—2i)-z=(2+i)2,』为z的共舸复数，贝iJz-W=()

A.屋B.5C.CD.3

3.设T<G)b<G)a<l,那么()

A.aa<ab<baB.aa<ba<abC.ab<aa<baD.ab<ba<aa

4.当x>l时，不等式x+；2a恒成立，则实数a的取值范围是()

x-l

A.a<2B.a>2C.a>3D.a<3

4axax2ax32

5.若(2x+V-3)=a0+i+2+3+a4，则(a0+a2+a4)-(ax+的值为

()

A.-1B.1C.2D.-2

6.某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1,要用分层

抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为()

A.80B.40C.60D.20

7.椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆

的另一个焦点(如图).已知椭圆E；鸟+马=19>6>0)的左、右焦点分别为0,F2,过F2的

直线与椭圆E交与点A,B,过点A作椭圆的切线点8关于1的对称点为M,若|4B|=竽，触=

8.如图，在三棱柱ABC-A/iCi中，底面ABC为正三角形，侧Cl

棱垂直于底面，AB=4,441=6,若E是棱的中点，则异面直

线&E与/Ci所成角的余弦值为()

A口

13

B2^"^

•13

Q

■13

D.<13

26

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.设%是数列｛册｝的前71项和，且%>0,。2=。，3an+1=2SnSn+1,贝4()

A.%=JB.数歹U｛/｝是公差为目的等差数列

C.数列｛白｝的前5项和最大D-斯=(2n-ll)(2?i-13)

10.已知/'(x)为函数/(x)的导函数，^x2f'(x)+x/(x)=Inx,/-(l)=p则下列结论错误

的是()

A.x/Q)在(0,+8)上单调递增B.xf(x)在(0,+8)上单调递减

C.在(0,+8)上有极大值2D.xf(x)在(0,+8)上有极小值2

11.下列说法正确的是()

A.两个相交平面组成的图形称为二面角

B.异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直，则a,b所成的角与这个二面角相等或互

补

C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角

D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系

12.已知向量N=(l,sin。)，b=(cos0,V-2)，则卜列命题正确的是()

A.存在0,使得五〃石

B.当tan。=一好时，五与石垂直

C.对任意。，都有|五|^\b\

D.当五.方=一/3时，W在石方向上的投影为一手

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x<0时/（x）=eH则/'（仇2）=.

14.在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=2,sinAsinB+sinAsinC=

sinBsinC,则b+c的最小值为___.

15.在直角梯形4BCD中，AB//CD,ADLAB,AB=2DC=2,E为4。的中点.将△E4B和

△EC。分别沿EB,EC折起，使得点A,。重合于点F,构成四面体FBCE.若四面体尸BCE的四

个面均为直角三角形，则其外接球的半径为.

16.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，至必处时测得公路北侧一山顶。在西

偏北30。的方向上，行驶600m后到达8处，测得此山顶在西偏北75。的方向上，仰角为30。，

则此山的高度CD=m.

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

在①文.黑s4）=Ca,②£="（鬻+1），③csinB=bcos（C-弓）这三个条件中任选一

个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在AZIBC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.

⑴求C；

（2）若AABC的面积为10C，。为4C的中点，求的最小值.

18.（本小题12.0分）

设数列｛%｝的前71项的和为Sn,且Sn=3，数列｛%｝满足仇=C，且对任意正整数n都有心,

口,%+1成等比数列.

、a”

（1）求数列｛册｝的通项公式；

（2）证明数列｛%｝为等差数列；

(3)令C"=2V^bn-3，问是否存在正整数m,k,使得Cm，Cm+5,以成等比数列？若存在,

请求出m,k的值；若不存在，请说明理由.

19.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P-4BC。的底面为矩形，平面PCD1平面4BCD,△PCD是边长为2等边三角形，

攵，点E为CD的中点，点M为PE上一点(与点P,E不重合).

(1)证明：AM1BD；

(2)当AM为何值时，直线4M与平面BDM所成的角最大？

P,

20.(本小题12.0分)

已知双曲线C：胃-y2=i(a>0)的左顶点为4,右焦点为F,动点8在双曲线C上.当BF14产

时，\BF\=^^\AF\.

(1)求双曲线C的方程.

(2)设P为双曲线上一点，点M,N在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P恰为

线段MN的中点，试判断AMON的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定

值，请说明理由.

21.(本小题12.0分)

为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由

评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则

另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在［70,100)内，在以

(871—109,1么

喘〜)时，发瞅满足公

组距为5画分数的频率分布直方图(设

■^―k-—,n>16

11520—n

nGN*,5n<X<5(n+1).

(1)试确定兀的所有取值，并求k；

(2)组委会确定：在第一阶段比赛中低了85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在

[95,100)的参赛者评为一等奖；分数在[90,95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有白的概率

提升为一等奖；分数在[85,90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有;的概率提升为二等奖(所

有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级).已知学生A和B均参加了本次比赛,且学生4在第

一阶段评为二等奖.

⑷求学生B最终获奖等级不低于学生4的最终获奖等级的概率；

(ii)已知学生4和B都获奖，记4,B两位同学最终获得一等奖的人数为《，求f的分布列和数学

期望.

22.(本小题12.0分)

己知函数/(x)=/一。%万刀+1+访aeR,/'(x)为/'(x)的导函数.

(1)讨论/"(x)的极值；

(2)若存在t€[2,e],使得不等式/(t)<0成立,求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：由题意知，A={x[x<4),

由工<10七三<0=七二>0,解得％>1或%<0,

XXX

所以8={x|x<0或x>1},

则anB=(-co,o)u(1,4).

故选：C.

首先求解集合B,再求4nB.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：•••复数z满足(1-2。•z=(2+i)2=3+43

3+4i(3+4i)(l+20.,

==1+2t

(i+20(i-20~-

z•z=(-1+2i)(—1—2i)—5,

故选：B.

先求出z的值，再求出其共辄复数即可求解结论.

本题考查求复数的共轨复数，注意解题方法的积累，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

先由条件结合指数函数的单调性，得到0<a<b<l,再由指数函数和基函数的单调性求解.

本题主要考查指数函数、基函数的单调性.

【解答】

解：：5<G)"<d尸<1且'=©尸在R上是减函数.

/.0<a</?<1

・•・指数函数y=炉在R上是减函数

・•.ab<aa

・,・幕函数y=%。在R上是增函数

:.aa<ba

・•・ab<aa<ba

故选：C.

4.【答案】D

【解析】解：X>1,不等式％+六Na恒成立=Q工(%+小)min，

・.・x+去=(%—1)+言+122J(第一1).去+1=3(当且仅当％=2时取等号)，

,•当X>1时,(%+六)就建=3，

-a<3,

故选：D.

当%>1时，不等式x+吉2a恒成立，oaw(x+占)而小利用基本不等式可求得(x+

小)皿讥=3,从而可得答案•

本题考查函数恒成立问题，考查基本不等式的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中

档题.

5.【答案】B

4aXax23

［解析］解：在(2x+V^)=a0+l+2+a3X+中，

4

令x=1可得a。+%+=(2+V-3)；再令x=-1可得得即-a1+a2-a3+a4=

(-2+0，

2244

两式相乘可得(a。+a2+a4)-(%+a3)=(2+<3)-(-2+7-3)=1，

故选：B.

在所给的等式中，分别x=l、令x=-1可得两个等式，再把这两个等式相乘，即可得到要求式子

的值.

本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，

求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题.

6.【答案】B

【解析】解：•••要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本,

一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1,

••・三年级要抽取的学生是x200=40,

44-3+2+1

故选：B.

要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级

的学生比为4：3：2：1,利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽

取三年级的学生人数.

本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年

级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果.

7.【答案】A

由椭圆的光学性质可得Af,A,&三点共线.

设旧尸2|=x,则IB&I=2a-x,\MFX\=\AFX\+\MA\=\AFX\+\AF2\+\BF2\=2a+x.

故粽^=笠尚=5，解得％=犯|4团=手，所以|必|=，\AF\=y.

11*11J14.I人，J乙OtO

所以SAMAB=%Bim昨inzAMB=|4B||4M|=堂=见

八SAAFJZ-||i4Fi||4F2|sin（7r-zMi4B）一依&11”21—部击一35,

故选：A,

结合题目所给信息及图形可得=后由椭圆定义及条件可得|8尸2|=*\AF2\=

国*1=今最后由端=盟耨可得答案•

本题考查椭圆的定义及其性质，考查运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：取的中点。，为&的中点0,

建立如图所示的空间直角坐标系，

又4B=4,=6.若E是棱BBi的中点，

则4式0,-2,6),£(0,2,3),4(0,-2,0),5—2厅0,6),

则布=(0,4,-3).C^A=(2口—2,-6),

则砧•取=0X2y/~3+4X(-2)+(-3)X(-6)=10,

|砧|=5)\C^A\=2>ni3>

则cos<~A~EC~A>~砧砌--1°--色

川cos<做，C.A>一।硒取15X2E—13，

则异面直线&E与AQ所成角的余弦值为

故选：A.

取4B的中点0,41丛的中点。，建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合cos<

乖百”嘉蕊求解即可・

本题考查了异面直线所成的角的求法，重点考查了空间向量的应用，属基础题.

9.【答案】AC

一2

【解析】解：V%>0,a2=—,3an+1=2SnSn+1,A3a2=2al(%+a2)f

・•.%=g或%=-5(舍)，故选项A正确;

又30n+i=2SnSn+1,••・3(Sn+i—Sn)=2SnSn+1,

•・・J-一白=-今••.数列｛/｝是公差为一|的等差数列，故选项8错误;

由得？/+(-、2(n-l)ll-2n

W=31)(-1)=3一-s-=

1

二数列｛针｝的前5项和最大，故选项C正确;

=

当71=1时，«l=(2xl_Ux2xl-13)^这与%/矛盾,

故选项。错误.

故选：AC.

令n=1可得3a2=2al(%+ci2)即可求的判断4利用即，S“的关系可得自1一己1=一7?即可判断孙

C,取九=1求得即可判断。.

本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的性质，属于中档题.

10.【答案】ABC

【解析】解：4-x/(x)=Inx,可得%广(%)+f(%)=竽

设函数g(x)=%/(%),其导数g'(x)=xf(x)+/(%)=器

则。(%)=1(Znx)2+C,

由/⑴=：,得g⑴=1X〃1)=；C,

11

则g(x)=xf(x)=2(伍%)2+2f

所以小)="殳［(x)=*(乎+；)=。.1)2.0,

所以/Q)在(0,+8)上单调递减，故A错误；

又g'(x)=等。>。)，当xe(0,1)时，g'(x)<0,当xe(i,+8)时，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以g(x)在x=l处取得极小值g⑴=去故8、C错误，。正确，

故选：ABC.

依题意，可求得g(x)=2(mx)2+"=xf(x),求得/(x)的解析式后，求导分析其单调性可判断4

对g(x)求导分析其单调性与极值，可判断8、C、D,从而可得答案.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：对于4,根据二面角的定义知，4错；

对于B,因为异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直，所以异面直线a,b的方向向量分别

是二面角的两个面的法向量，所以a,b所成的角与这个二面角相等或互补，所以8对；

对于C,二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角，没有点最小值，

所以C错；

对于D,根据二面角的定义知，。对.

故选：BD.

4根据二面角定义判断；B根据二面角的平面角与二面角半平面所在平面的法向量成角关系判断;

C用极限思想求解；。根据二面角定义判断.

本题考查了二面角的基本概念，属于中档题.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假的判断，向量的数量积的应用，三角函数的恒等变换的应用，考查转化思想

以及计算能力，属于中档题.

利用向量平行的关系验证可判断4利用同角三角函数求出力汕与cos。的关系，结合向量垂直性

质即可判断B；通过向量的模的求法求解。判断C；利用向量的数量积结合同角三角函数的关系可

求得|3|,进而利用投影向量的定义即可判断0.

【解答】

解：对4：若五〃石，则sinOcos。=/7，即＞1,

故不存在这样的。使得五〃方，故A错误；

对B：当tanOu-y时，则sin。=一?cos。，

—I~9

则1•b=cos0+V_2sin0=cosd+\T~2x（一qcos。）

=cosO-cosQ=0,则五与石垂直成立，故B正确，

对C：若|初=|9|,则Vl+sin20=，2+COS2。,

得1+sin20=cos20+2,B[Jcos20—sin20=cos2d=—1,此时。=存在，故C错误；

对D：因为五•9=一/1，即cose+SsiTiJ=

结合sin?。+cos20=1,解得sin。=—cosd=—三^，

所以|不|=Vcos2e+2=子

五在石方向上的投影为径=-当?，故。正确.

故选BD.

13.【答案】—；

【解析】解：根据题意，当x<0时，/。)=靖，

而"2>0,则一伍2<0,所以/(尾)=/W=

由/(%)是奇函数，则，(仇2)=-/(-Zn2)=-/(ln|)=-1；

故答案为：-

根据题意，由函数的解析式求出f(-m2)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案.

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题.

14.【答案】8

【解析】解：因为smAsinB+sinAsinC=sinBsinC,

由正弦定理得ab+QC=be,

因为a=2,所以2b+2c=be,

BP-4-^=1,

cb

则b+c=(b+c)《+$=4+F+与24+2Jy-y=8.

当且仅当c=b=4时等号成立，

即b+c的最小值为8.

故答案为：8.

先由正弦定理，结合a=2,得到:+9=1,再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，还考查了正弦定理的应用，属于中档题.

15.【答案】手

4

【解析】解：如图.由题意可知，折叠后所构成的四面体FBCE中，/.EFC=90°,Z.EFB=90°,

NBFC不可能为直角.

在RtNBC中，由FB>FC可知，"CB为直角，BPBC1FC.

因为FE1FB,FE1,FC,FBCFC=F,FB,FCu平面FBC,所以FE1•平面FBC,则有FE1BC.

又因为BCJLFC,FEC\FC=iTffiFFC,则有BCJ.EC.

所以四面体尸BCE外接球的球心为BE的中点，半径为;BE.在直角梯形ABCD中，

设DE=E4=a,则有-E(72=a2+1,BE2=a2+4,BC2=4。？+1,由EC?+口酬=352,解得

a=好(负值已舍去)，

则BE=亨.因此，四面体FBCE外接球的半径为平.

画出折叠前后，折叠后所构成的四面体/BCE说明NFCB为直角，即BCLFC.证明FE1平面FBC,

推出FE1BC.转化求解外接球的半径即可.

本题考查空间几何体的特征，外接球的半径的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力,

是中档题.

16.【答案】100<7

【解析】

【分析】

本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形，将各个已知条件向三角形集中，再通

过正弦或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解.

设此山高h(m),在ABC。中，利用仰角的正切表示出BC,进而在△力BC中利用正弦定理求得力.

【解答】

解：设此山高九(m),则BC=V""可1,

在△ABC中，^BAC=30°,4c84=105°,^BCA=45°,AB=600.

根据正弦定理得冬=卑，

sm30°si九45

解得/l=100V~~6(m)

故答案为：100/%.

17.【答案】解：(1)选①时，3k片)=0,利用正弦定理：

sinB-sinCcosA=sinAsinC

由于8=7T—(4+C),

所以sinB=sin(i4+C),

故si九4cosc=^sinAsinC,

又si?L4H0,整理得tcmC=\/~3^

因为0<CV7T,故。=最

选②时，2="*+1)，

Jb2KtanB7

结合正弦定理，整理得吗=i+1)=当船，

sinB2^广cos"Cs吃tnB'zcosCsinB

由于4+C+8=7T,

所以sin(B+C)=sinA,

又si/M*0,sinB。0,故cosC=",

因为0<C<7T,故C=:

选③时，csinB=bcos(C—1),

由正弦定理得sinCsinB=sinBcos(C-5，

又sinBH0,整理得sinC=cos(C-看)=?cosC+gsinC，

所以sinC=\F3COSC,

整理得=y/~~3y

因为OvCVm故。=最

(2)由于△48c的面积为10，^,

所以;QbsinC=；ab♦3=10V~3»解得ab=40.

由余弦定理得B£)2=@2+—abcosC=a2+—^ab>2a-T：—^ab=^ab=20>

442222

故BD>2AT5.

当且仅当£1=：从即a=2"，b=4，亏时，BD=2，亏，

所以BD的最小值为2，石.

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考查三角恒等变换和基本不等式的应

用，主要考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于基础题.

(1)选①时，由正弦定理得si几8—sinCcosA=-^-sinAsinC再由sin8=sin(4+C)=tanC即可

求解；

选②时，利用tanC=1^,tan8=^^以及sin(B+C)=sEA化简可得cosC,即可求解；

选③时，利用正弦定理及两角差的余弦公式化简可得S讥C=cos(C-^)=^-cosC+\sinCn

tanC即可求解.

(2)SAABC=JabsinC=ab=40,再由余弦定理得BD?=。2+—abcosC=a2+---ab>利

z442

用基本不等式可得BD的最小值.

18.【答案】解：(1)%=3，可得a】=Si/

n

CHU.「「n-12

nN2时，/=Sn-Sx=肃-,=(n+i)(“+2)，

2

满足n=1的首项，可得an=V«liAJ=If无lI乙;J

(2)证明：数列｛匕｝满足瓦=C且对任意正整数n都有匕，%+i成等比数列.

可得垢—=嵩=("+1"),即有3也+2=(计2)1+3),

即有誓=需，即有篇=鬻，

当n为奇数时，含=?，可得垢=浮5+1)；

当n为偶数时，落=等而瓦尻=3,可得力2=亨，

可得勾=?(n+l);bn+1-bn=^，

则数列｛与｝为等差数列；

(3)c“=-3=2(n+1)-3=2n-1,

假设存在正整数m,k,使得」，」+5,以成等比数列，

可得71以=喧+5，即(2m-l)(2fc-1)=(2m+9)2,

即2k—1=四或，即k=m+10+4，

2m-l2m-1

可得2m—1=1,5,25,可得?n=l,k=61,或m=3,k=23,或m=13,fc=25.

则存在或3落二停或落一召，使得力,1+5,以成等比数列.

【解析】(1)运用数列的递推式可得所求通项公式；

(2)由等比数列中项性质和等差数列的定义，即可得证；

(3)求得Q=2V_2bn-3=2(n+1)—3=2n—1,假设存在正整数m,k,使得Cm，cm+5,以成

等比数列，运用等比数列的中项性质和整除的概念，可得所求值.

本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式,考查分类讨论思想和方程思想，化简运算能力，

属于中档题.

19.【答案】(1)证明：因为三角形PCD是等边三角形，且E是DC中点，所以PE1CD,

又因为PEu面PCD,面PCD上面力BCD,面PCDC面ABC。=CD,

所以PE1面4BCD,

又因为BDu面ABC。，所以BD1PE,

因为4BC。是矩形，所以4B〃CD,

设4ECBO=。，所以普=黑=整，即。。=¥*。=?,所以AE1BD,

ADDUAU33

因为4E1BD,BD1PE,AEdPE=E,AEu面PAE,PEu面PAE,

所以BDJjSiPAE,

又因为4Mu面P4E,

所以BD1AM.

(2)解：设尸是48中点，以E为原点，EF所在直线为久轴，EC所在直线为y轴，EP所在直线为z轴建

由己知得E(0,0,0),4(。,一1,0),B(C,1,0),。(0,—1,0),P(0,0,

设M(0,0,m)(0<m<则初=(-V~7,=(-C,-2,0),两=(0,1,m).

设面BOM的法向量为元=(a,b,c),贝曲,巫=。=『。。一十=0,

令b=1,有运=1,-'),

所以3伍，祠)=点焉=土耳=声言不"

当且仅当m=1时取等号，

即当AM=2时，直线4M与面8。”所成角最大.

【解析】⑴由题意可得PE，面4孔。，则BDJ.PE,由空间几何关系可证得4E1B。，从而BD1

面P4E,结合面面垂直的定义可得BD_L4”.

(2)建立空间直角坐标系，由题意求得直线AM与平面BDM所成的角的函数表达式，然后结合基本

不等式求解其最值即可确定2M的长度.

本题主要考查线面垂直的判定与应用，空间向量及其应用，立体几何中的探索性问题，空间想象

能力的培养等知识，属于中等题.

20.【答案】解：(1)双曲线C：^-y2=l(a>0)，贝S(c,0),B(c,±[)，

•••|呐=话二明，

b2<5-2,,、

••£=-5-(a+c)'

2c2-(<5-2)ac-<5a2=0,BP2e2-(V-5-2)e-C=0.

又e=；>l，

e=?，•••c2=a2=a2+b2<

.・.a2=4b2=4,

2

二双曲线C的方程为。•一y2=1；

(2)△MON的面积为定值2,

由(1)得双曲线C的渐近线方程为y=±|x,

设M(2m,7n),N(2n,—n),其中TH>0,n>0,

•••P为线段MN的中点，：•P(m+n,亨)，

22

将点P的坐标代入双曲线C的方程得空皿—生旦-=1，解得mn=1,

44

设NMON=2a,则tana=g,

又tana=sin2a+cos2a=1,0<a<^,

cosa22

.V52AT5

・•・stna=—»cosa=—，

4

:.sin2a=2sinacosa=

又|OM|=^~5mf\0N\=RYI,

•••ShM0N=\\OM\'\0N\sin2a=1x<5m•<5n•1=2,

••.△MON的面积为定值2.

【解析】(1)由题意得F(c,0),B(c,±1)，结合题意可得：=q^(a+c)，整理得2e2—(，石一

2)e-H=0,求解即可得出答案；

(2)由(1)得双曲线C的渐近线方程为y=±；%,设M(2m,m),N(2n,-n),其中m>0,n>0,可

得P(m+n,3"),将P代入双曲线方程得mn=1,设z_MON=2a,则tana=；,

可得|OM|=，■&n,|ON|=，^n，表示出AMON的面积，求解即可得出答案.

本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

21.【答案】解：⑴根据题意，X在[70,100)内，按组距为5可分成6个小区间，

分别是[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),

70<X<100,由5nWX<5(n+l),neN*,

n=14,15,16,17,18,19,

每个小区间对应的频率值分别是

8n-109-4“

—77—,n=14,15,16

J。

(i-5k=17,18,19

京+总+卷+1一以0+之+1)=1'解得"=言

•••n的对值是14,15,16,17,18,19,k=卷.

(2)(i)由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，

由⑴知,学生B的分数属于区间[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100)的概率

分别是：

3111914112

60,60,60,60,60,60，

我们用符号(或BQ表示学生应或B)在第一轮获奖等级为i,通过附加赛最终获奖等级为j,

其中，Si(i,)=1,2,3),

记皿="学生B最终获奖等级不低于学生4的最终获奖等级”，

则P(W)—P(B]+B2i+^22^22+832422)

=P(B1)+P(B21)+P(B22)P(42)+P(B32)P(-2)

_211111101014110_51

=60+60，ll+60'Ti，TT+60,7，lT=220*

(ii)学生4最终获得一等奖的概率是P(&i)=今，

学生B最终获得一等奖的概率是

211

P⑹+%)=萼+等x==^+捺X群=3，

6060

P«=0)=(1-^-)(1-l)=g,

p(f=D=1(—3+aTl/，

p（f=2）=击.*击,

§的分布列为:

012

80181

P

999999

Ef=。嗡+1嗡+2境20

99

【解析】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分布列、数学期望等

基础知识，考查运算求解能力，属于较难题.

(1)X在[70,100)内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),

[95,100),由70sx<100,由5nWX<5(n+l),nGN*,能求出n的对值和A.

(2)(i)由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，学生