2021年福建省厦门市双十中学初三年级下册数学第一次诊断卷（含解析）

2021厦门双十中学初三下数学第一次诊断卷

一.选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.（4分）-1的倒数为（）

2

A.AB.2C.-2D.-1

2

2.（4分）二元一次方程组J、'1y=2的解是（）

2x-y=l

fx=0(x=l

A一

ly=2.[y=l.

fx=-lfx=2

c.\D.4

\iy=-l.[y=0.

3.（4分）下列各式计算正确的是（）

A.V7"V5=V2B.(/〃)2=〃6户

二一

Lp.—2_—1—_---1--U.u•CL3-CI3

aba-b

4.（4分）掷一•枚质地均匀的硬币5次,其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这

枚硬币，正面朝下的概率是（）

A.1B.2C.3D.A

552

5.（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后

能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形.下列图形中，平移重合

图形是（）

A.平行四边形B.等腰梯形C.正六边形D.圆

6.（4分）如图，过直线A外一点尸作它的平行线/2,其作图依据是（）

A.两直线平行，同位角相等

B.两直线平行，内错角相等

C.同位角相等，两直线平行

D.内错角相等，两直线平行

7.（4分）已知a,b,c都是实数，则关于三个不等式：a>b,a>b+c,的逻辑关系的

表述，下列正确的是（）

A.因为a>Hc,所以c<0

B.因为a>b+c,c<0,所以“>匕

C.因为a>b+c,所以c<0

D.因为a>6,c<0,所以“>6+c

8.（4分）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组

根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如

期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③一^»,剩下的工程

由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：

=则方案③中被墨水污染的部分应该是（）

xx+5

A.甲乙合作了4天B.甲先做了4天

C.甲先做了工程的2D.甲乙合作了工程的工

44

9.（4分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的

封闭图形是莱洛三角形，若A8=2,则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）

C.2兀D.2H-2V3

10.(4分)若点A(a-1,%)，B(a+1,X）在反比例函数y=K（Jt<0）的图象上，且

x

V>）2,则。的取值范围是（）

A.a<-\B.-I<i7<lC.a>\D.a<-1或a>l

二.填空题（共6小题，满分20分）

11.（4分）如图，在△ABC中，NC=90°,AB=5,BC=3,则cosA的值是

12.（4分）如图，在△ABC中，/B=40°,NC=30°,延长84至点。，则/CAZ）的大

13.(4分)已知，一次函数y=%+5的图象经过点P(〃，/?)和Q(c,d),则o(c-d)-

b(c-J)的值为.

14.(4分)如图，BC//DE,KBC<DE,AO=BC=4,AB+DE=10.则迪的值为.

AC

15.（4分）观察分析下列方程：①X+2=3；②工+2=5；③X+」2=7.请利用它们所蕴含

XXX

的规律，求关于X的方程X+ILJ旦=2〃+5（〃为正整数）的根，你的答案是.

x-4

16.计算：（15）2-5y）+5y=.

三.解答题（共9小题，满分86分）

17.（12分）（1）计算：（TT-2020）0-J8+4sin45°-（A）

2

x~3（x-l）>T①

（2）解不等式组：x/x+1，并把不等式组的解集表示在如图的数轴上.

-4-3-2-1~0~1_2~3~~4>

18.（8分）先化简，再求值：+上其中a=2sin60°+1.

2

a+1a-ia+1

19.（8分）如图，四边形A8CC中，点E在边AO上，NBCE=NACD,NBAC=ND,BC

=CE,求证：NC4O=N£).

D

E

20.（8分）如图，已知四边形ABC£（是矩形.

（1）请用直尺和圆规在边AO上作点E,使得EB=EC.（保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若A8=4,AD=6,求EB的长.

21.（8分）已知在△ABC中，NA,NB,NC的对边分别是a,b,c,关于x的方程a（1

-/）+2bx+c（1+?）=0有两个相等实根，且3c=〃+36

（1）试判断AABC的形状；

（2）求sinA+sinB的值.

22.（8分）对任意一个两位数相，如果相等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数相

为“平方和数"，若加=/+/（a、6为正整数），记A（〃?）=".例如:29=22+52,29

就是一个“平方和数”，则A（29）=2X5=10.

（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；

（2）若％是一个“平方和数”，且A（k）=互£求Z的值.

2

23.（11分）“世界那么大，我想去看看"一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们

的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场.顺风车行经营的A型车去年6月份销售

总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6

月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月

份销售总额增加25%.

（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；

（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过

4型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A、B两种型号车的进货和销售价格如表：

A型车B型车

进货价格(元/辆)11001400

销售价格(元/辆)今年的销售价2400

格

24.(11分)如图，在正方形A8CO中，48=4,点E在对角线80上，aABE的外接圆交

BC于点F.连接AF交8。于点G.

(1)求证：AF=y[2AE；

(2)若"/是该圆的切线，交线段C。于点H,且尸H=FG,求B尸的长.

25.(12分)已知二次函数y=o?+以+c(aWO)的图象与x轴交于A,B两点,顶点为C,

且△ABC为等腰直角三角形.

(1)当A(-1,0),B(3,0)时，求a的值；

(2)当。=-2a,aVO时.

①求该二次函数的解析式(用只含“的式子表示)；

②在-1WXW3范围内任取三个自变量X],刈，曲，所对应的三个函数值分别为yi，”，

)，3,若以为yi，”，g为长度的三条线段能围成三角形，求a的取值范围.

2021厦门双十中学初三下数学第一次诊断卷

参考答案与试题解析

选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.（4分）-工的倒数为（）

2

A.AB.2C.-2D.-1

2

【解答】解：V（-1）x（-2）=1,

2

A-上的倒数是-2.

2

故选：C.

2.（4分）二元一次方程组[

的解是

]2x-y=l

A.（乂=0

ly=2.

C.卜=-1

ly=-l.

【解答】解：（xxR,

12x-y=l②

①+②得，3x=3,

解得x=l,

把x=1代入@得，l+y=2,

解得y=1，

所以，方程组的解是!'=1.

Iy=l

故选：B.

3.（4分）下列各式计算正确的是（）

A.V?-B.(/b)2=//

C.2-1=.1D.a)-r-ai=ai

aba-b

【解答】解：A、EX，无法计算,故此选项错误；

B、（/人）2=々6b2,故此选项正确；

C、2-工=生工，故此选项错误；

abab

D、c^^a3=a6,故此选项错误.

故选:B.

4.（4分）掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这

枚硬币，正面朝下的概率是（）

A.1B.2C.3D.A

552

【解答】解：•••掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同，

再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是』.

2

故选：D.

5.（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后

能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形.下列图形中，平移重合

图形是（）

A.平行四边形B.等腰梯形C.正六边形D.圆

【解答】解：如图，平行四边形ABCO中，取BC,AO的中点E,F,连接EE

；四边形ABE尸向右平移可以与四边形EFDC重合,

平行四边形ABCO是平移重合图形，

故选：A.

6.（4分）如图，过直线/1外一点P作它的平行线/2,其作图依据是（）

A.两直线平行，同位角相等

B.两直线平行，内错角相等

C.同位角相等，两直线平行

D.内错角相等，两直线平行

【解答】解：由图可知，

直线/1和直线/2之间的内错角相等，则可以判定这两条直线平行,

故选：D.

7.（4分）已知a,h,c都是实数，则关于三个不等式：a>h,a>b+c,c<0的逻辑关系的

表述，下列正确的是（）

A.因为a>/?+c,所以a>。，c<0

B.因为a>b+c,c<0,所以

C.因为a>b,a>b+c,所以c〈0

D.因为a>6,c<0,所以a>b+c

【解答】解：A、例如a=5,b=l,c=2,满足条件a>b+c,但是不满足结论c<0,故

本选项错误；

B、例如a=5,〃=8,c=-6,满足条件a>Hc,c<0,但是不满足结论a>〃，故本选

项错误；

C、例如a=5,b=\,c—2,满足条件a>6,a>b+c,但是不满足结论c<0,故本选项

错误；

D、'.'c<0,'.a+c<a,即a>a+c,

a>b,a+c>b+c,

.\a>b+c,故本选项正确.

故选：D.

8.（4分）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组

根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如

期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天：③一^»,剩下的工程

由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：

=则方案③中被墨水污染的部分应该是（）

xx+5

A.甲乙合作了4天B.甲先做了4天

C.甲先做了工程的工D.甲乙合作了工程的工

44

【解答】解：•••某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：

xx+5=

...甲工作了4天，乙工作了x天，

即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工,

可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天，

故选：A.

9.（4分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的

封闭图形是莱洛三角形，若AB=2,则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）

B.兀-爪C.2兀-爪D.2兀-2丘

【解答】解：过4作ADLBC于。,

：.AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

'：AD±BC,

：.BD=CD=\,AD=4^BD=M，

△ABC的面积为/XBCXADVX2XJ^=F，

Sic=60irx22=4,

3603

莱洛三角形的面积S=3X-2XJE=2TT-2«,

3

故选：D.

10.(4分)若点A(a-1,yi),B(a+1,”)在反比例函数y=K(^<0)的图象上，且

X

yi>”，则。的取值范围是()

A.aV-1B.-l<a<lC.a>\D.。<一1或〃>1

【解答】解：FVO,

・・・在图象的每一支上，y随X的增大而增大,

①当点（a-1,yi）、（〃+1,丁2）在图象的同一支上,

Vyi>y2,

-1>。+1,

此不等式无解；

②当点（。-1,力）、（。+1,）2）在图象的两支上,

Vyi>y2>

：.a-KO,a+l>0,

解得：-1<a<1,

故选：B.

二.填空题（共6小题，满分20分）

11.（4分）如图，在△ABC中,ZC=90°,AB=5,BC=3,则cosA的值是A

-5'

【解答】解：•.,在△ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,

AC=J§2_§2=4,

.".cosA=-^-=—.

AB5

故答案为名.

5

12.（4分）如图，在△A8C中，/B=40°ZC=30°,延长3A至点。，则/C4Q的大

小为70°

【解答】解：•••/B=40°,ZC=30°,

...NCAO=NB+NC=70°,

故答案为：70。.

13.（4分）已知，一次函数y=x+5的图象经过点P（〃，b）和Q（c,d）,则o（c-d）-

b（c-d）的值为25.

【解答】解：・・,一次函数y=x+5的图象经过点尸（小b）和。（c,d）,

・••点P（a,b）和Q（c,d）满足一次函数解析式y=x+5,

.•・/?=。+5,d=c+5,

••a—-5,c~d~~-5,

：.a(c-d)-b(c-J)=(a-b)(c-d)=(-5)X(-5)=25.

故答案是：25.

14.(4分)如图，BC//DE,JaBC<DE,AD=BC=4,AB+DE^}0.则坐的值为2.

/.△ADE^AABC,

•ADDE-AEPn4DE-AE

ABBCACAB4AC

：.AB^DE=16,

VAB+D£=10,

：.AB=2fDE=8,

•.A•-E=-D--E=—8o

ACBC4

故答案为：2.

15.（4分）观察分析下列方程：①X+2=3；②/旦=5；③X+」2=7.请利用它们所蕴含

XXX

的规律，求关于X的方程工+工二旦=2〃+5（〃为正整数）的根，你的答案是尤=〃+4或

x-4

x=〃+5.

【解答】解：X+J2£2=3,解得：x=2或尸1；

X

x+2乂3=5,解得：x=2或x=3；

x

x+2八2=7,解得：x=3或x=4,

x

得到规律X+则1=m+〃的解为：x—m或x=n,

x

所求方程整理得：X-4+n（n+l）=2〃+1,

x-4

根据规律得：1-4=〃或工-4=〃+1,

解得：x=〃+4或x=〃+5.

故答案为：x=〃+4或x=〃+5

16.计算：(15y2-5y)+5y=3v-1.

【解答】解：原式=15f+5y-5y+5y

=3y-1,

故答案为：3y-1.

三.解答题(共9小题，满分86分)

17.(12分)(1)计算：(n-2020)0-J8+4sin45°-(A)1

2

x~3(x-l)>-1①

(2)解不等式组：|x-x+l-，并把不等式组的解集表示在如图的数轴上.

-4-3-2-1~0~1_2~3~~4>

【解答】解：(1)原式=1-2扬4X喙-2

=1-2扬2M-2

=-1;

x-3(x-1)①

(2)‘三〈三包②

322

解不等式①，得xW2.

解不等式②，得x>-3.

所以该不等式组的解集是-3<xW2.

表示在数轴上为：

」.・•.一

-4-3-2-10123^.

18.(8分)先化简，再求值：4-_2_,其中a=2sin60°+1.

2

a+1a-ia+1

【解答】解：原式=.对！=」,

(a+1)(a-1)2l-a

Va=2sin60°+1,

ci=1,

・•.原式=i=­M

1-V3-13

19.（8分）如图，四边形ABC。中，点E在边AD上，NBCE=NACD,ZBAC=ZD,BC

=CE,求证：ZCAD=ZD.

【解答】证明：•../BCEuNACQ,

NBCE-/4CE=ZACD-ZACE,

即ZACB=NDCE,

在△ABC和△£>£(:中，

"ZBAC=ZD

.ZACB=ZDCE-

BC=CE

.♦.△ABC丝△DEC(AAS),

：.AC=DC,

J.ZCAD^ZD.

20.（8分）如图，已知四边形ABC。是矩形.

（1）请用直尺和圆规在边AD上作点E,使得EB=EC.（保留作图痕迹）

（2）在（I）的条件下，若A8=4,AD=6,求EB的长.

D

【解答】解：（1）如图所示，点E即为所求;

(2)连接EB,EC,

由(1)知E8=EC,

•..四边形ABC。是矩形，

.,.ZA=ZD=90",AB=DC=4,

.".RtAAB£^RtADC£(HL),

：.AE=DE=^AD=3,

2

在中，

Rt^ABE^=VAB2+AE2=A/^2=5.

21.(8分)已知在△ABC中，乙A,ZB,NC的对边分别是a,b,c,关于x的方程a(1

-/)+2bx+c(1+x2)=0有两个相等实根，且3c=〃+36

(1)试判断△ABC的形状；

(2)求sinA+sinB的值.

【解答】解：(1)方程整理为(c-a)/+2bx+a+c=0,

根据题意得△=4廿-4(c-a)(a+c)=0,

:.a2+b2=c2,

・・・△ABC为直角三角形；

(2)\\?+/?2=c2,3c=a+3b

：.(3c-3b)W=c2,

・・・(4c-5b)(c-b)=0,

.•.4c=5〃，即b=&,

5

n=3c-3b—^-c

5

VsinA=A,sinB=—,

cc

3_t4

.*.sirL4+sinB=AtL=^---—=—.

cc5

22.（8分）对任意一个两位数机，如果，”等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数加

为“平方和数”，若机=。2+序（队b为正整数）,记A（阳）=ab.例如：29=22+52,29

就是一个“平方和数”，则A（29）=2X5=10.

（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；

（2）若人是一个“平方和数”，且4（k）=g£求上的值.

2

【解答】解：（1）25是“平方和数”.

V25=32+42,

（25）=3X4=12；

(2)设QJ+H,则A(k)—ab,

"：A(k)=幻1,

2

2

.'.2ab=a2+b2-4,

.'.a2-2ab+b2=4,

(a-b)2=4,

.'.a-b—±2,即a=Z?+2或6=a+2,

•.%、b为正整数，”为两位数，

.,.当a=l,b=3或a=3,b=l时，k=10；

当a=2,6=4或a=4,b=2时，上=20；

当a=3,Z?=5或a=5,/?=3时，％=34；

当a=4,b=6或a=6,b=4时，Z=52：

当a=5,6=7或a=7,b=5时，/c=74；

综上，&的值为：10或20或34或52或74.

23.（11分）“世界那么大，我想去看看"一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们

的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场.顺风车行经营的A型车去年6月份销售

总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6

月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月

份销售总额增加25%.

（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；

（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且5型车的进货数量不超过

A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A、8两种型号车的进货和销售价格如表:

A型车8型车

进货价格（元/辆）11001400

销售价格（元/辆）今年的销售价2400

格

【解答】解：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，

根据题意得32000n32000（1+25%）,

xx+400

解之得x=1600,

经检验，x=1600是方程的解.

答：今年A型车每辆2000元.

（2）设今年7月份进A型车〃?辆，则8型车（50-机）辆，获得的总利润为〉元,

根据题意得50-mW2m

解之得用2

,.,50-m20,

.,・加＜50,

.•.162WSW50

3

Vy=（2000-1100）m+（2400-1400）（50-M=-100/n+50000,

随加的增大而减小,

...当利=17时，可以获得最大利润.

答：进货方案是A型车17辆，8型车33辆.

24.（11分）如图，在正方形A8C。中，A8=4,点E在对角线8。上，ZVIBE的外接圆交

BC于点尺连接AF交BO于点G.

(1)求证：AF=J^AE；

(2)若F//是该圆的切线，交线段CD于点H,且PH=FG,求8F的长.

【解答】(1