2022年湖北省随州市高新区中考数学联考试卷（3月份）及答案解析

2022年湖北省随州市高新区中考数学联考试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一3的倒数是（）

A.3B.-gC.-3D.g

2.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报.经初步统计，2019年全国教

育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%.将50175亿用科学记数法表示为（）

A.5.0175x1011B.5.0175x1012C.0.50175x1013D.0.50175x1014

3.下列各式中，正确的是（）

A.x+2x=3x2B.-（%—y）=-x—y

C.（x2）3=x5D.X5-rx3=x2

4.如图，AB//CD,点E在线段BC上，CD=CE.若乙4BC=30。，则ND的度数为（）

A.85°

B.75°

C.65°

D.30°

5.李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到

单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（

千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的大致图象是（）

6.如图，有一块半径为1m,圆心角为90。的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽

略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）

1

Am

4-

3

Bm

4-

c.>/15

D.V3

7.如图，小明在距离地面30米的P处测得4处的俯角为15。，B处的心角为60。，若斜面坡度

为1；场,则斜面4B的长是米.（）

A.20V6B.20V3C.2072D.155/3

8.函数、=!与3/=。/+比;+。的图象如图所示，则函数y=kx-b的大致图象为（）

A.

y

X

B.

9.仇章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最

重要的一种.书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门八十步有木，出西

门二百四十五步见木.问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形4BCD的边

AD.AB的中点，MEJ.4D,NF1AB,EF过点A,且ME=80步，NF=245步，则正方形

的边长为（）

A.280步B.140步C.300步D.150步

10.如图，已知二次函数y=aM+bx+c的图象与x轴交于（一3,0）,顶点是则以

下结论：@abc>0；②4a+2b+c>0；③若y2c,则xS-2或x20；④b+c=g?n.其

中正确的有个.（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.计算1一回+（兀—314）。=.

12.不等式组-1的解集是.

13.已知方程/一4%—1=0的两根为x2,则（1一%）（1一打）=

14.如图，矩形4B0C的顶点在坐标原点，顶点B,C分别在x轴，y轴上，顶点4在反比例函

数y=5（k为常数，k>0,x>0）的图象上，AC=1,将矩形4B0C绕点4按逆时针方向旋转

90。得到矩形ZB'0'C'.若点。的对应点。'恰好落在此反比例函数图象上，则k的值为

15.我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定

规律性，从图中取一列数：1,3,6,10,分别记为a1=1,g=3,%=6,a4=10,

ill1

...»那么丁+丁-*------的值是___________.

a3alQ

1

11

121

1331

14641

15101051

I615201561

16.如图，在矩形48CD中，点E在边48上，△8EC与△EEC关于直线EC对称，点8的对称点

尸在边40上，G为CD中点，连结BG分别与CE,CF交于M,N两点若BM=BE,MG=1,则

8N的长为,sin乙4f后的值为.

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题7.0分）

先化简，再求代数式（1一二）一及U的值，其中X=4cos3（r-1.

18.(本小题8.0分)

如图，在口4BCD中，对角线力C与BD相交于点。，点E,尸分别在BD和DB的延长线上，S.DE=

BF,连接4E,CF.

(1)求证：CBFx

(2)连接ZF,CE,当BD平分乙4BC时，四边形4FCE是什么特殊四边形？请说明理由.

19.(本小题8.0分)

如图，直线y=kc+力0)与双曲线y=H0)交于点4(一；,2),5(n,-l).

(1)求直线与双曲线的解析式.

(2)点P在x轴上，如果SA”.=3,求点P的坐标.

20.(本小题8.0分)

2022年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会.目

前运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定.某校体育社团随机调查了部分同

学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成

了如图两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题:

(1)这次被调查的同学共有多少人？

(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为多少？

(3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的

方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

21.(本小题9.0分)

如图，△力BC中，41cB=90。，BO为AABC的角平分线，以点0为圆心，0C为半径作。。与

线段AC交于点D.

(1)求证：4B为。。的切线；

(2)右tanA="AO=2,求B。的长.

22.(本小题10.0分)

甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面0B4可视为抛物线的一部分，在

某一时刻，桥拱内的水面宽。A=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m.

(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式：

(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距。点0.4m时，桥下水位刚好

在。4处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥

拱，请说明理由(假设船底与水面齐平).

(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线丫=&/+版+c(aR0),该抛物线在x轴下方部

分与桥拱。B4在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移＞0)个

单位长度，平移后的函数图象在84XV9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求

小的取值范围.

23.(本小题10.0分)

如图三角形的两个内角a与满足2a+0=90。，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.

(1)如图1,在Rt/kABC中，LACB=90°,40是484c的平分线.

①证明：△4BD是“准互余三角形”；

②若AC=4,BC=5,试问在边BC上是否存在点E(异于点。)，使得△ABE也是“准互余三

角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由；

(2)如图2,在四边形4BC0中，AB=7,CD=12,BD1CD,乙ABD=2乙BCD,且△ABC是

“准互余三角形”，求对角线4C的长.

24.(本小题12.0分)

已知抛物线y=ax2+bx+6(a*0)交x轴于点4(6,0)和点交y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)如图(1),点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直

线AC于点D,E,当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；

(3)如图(2),点M为抛物线对称轴I上一点，点N为抛物线上一点，当直线ZC垂直平分△4MN

的边MN时，求点N的坐标.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：一3的倒数是一，

故选：B.

根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数.

本题考查了倒数，分子分母交换位置是求倒数的关键.

2.【答案】B

【解析】解:50175亿=5017500000000=5.0175x1012.

故选：B.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1S|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此回答.

此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.【答案】D

【解析】解：4、应为K+2X=3X,故本选项错误；

B、应为一(x-y)=-x+y,故本选项错误；

C、(/)3=/、3=%6,,故本选项错误；

D、X5-T-x3=x5-3=x2,故本选项正确.

故选：D.

根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数的幕相除，底数不变指数相

减，塞的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解.

本题主要考查合并同类项法则，同底数塞的除法，塞的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：

4c=4ABC=30°,

又;CD=CE,

乙D=/.CED,

vNC+ND+MED=180°,即30°4-2/.D=180°,

ZD=75°.

故选：B.

先由AB〃CC,得NC=乙4BC=30。，CD=CE,得4。=/CEO,再根据三角形内角和定理得，

ZC+ZD+^CED=180°,即30。+24。=180。，从而求出/£».

此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出NC,再

由C。=CE得出NO=LCED,由三角形内角和定理求出NO.

5.【答案】B

【解析】解：随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除D;

由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，而路程没有变化，排除4

后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡.

故选：B.

首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间t和运动的路程s之间的关系采用排除法

求解即可.

此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型利所需要的条

件，结合实际意义得到正确的结论.

6.【答案】C

【解析】解：解法一：设圆锥形容器的底面半径为rm,则2仃=喘^,

解得：r=

.,.圆锥形容器的身为：JI2—(i)2==5(m)>

解法二：设圆锥形容器的底面半径为rm,

360”90,

I1

,■Y'—_一_

44

圆锥形容器的高为：J12_©)2T⑺

故选c.

7.【答案】B

【解析】解：如图所示：过点4作4F_LBC于点F,

••・斜面坡度为1：V3,：

•••tan"BF=募.=苧；\

：

•••^ABF=30。，0……R^

nDrL

•・・在P处进行观测，测得山坡上4处的俯角为15。，山脚8处的俯角为60。，

:.乙HPB=30°,乙APB=45°,

・•.Z,HBP=60°,

AZ-PBA=90°,/.BAP=45°,

.•・PB=AB,

•••PH=30m,s讥60。=霁==争

解得：PB=20V3(m),

故43=20V3m.

故选:B.

过点4作4F1BC于点F,根据三角函数的定义得到乙4BF=30°,根据已知条件得到4HPB=30°,

AAPB=45°,求得4HBp=60。，解直角三角形即可得到结论.

此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确

得出PB=4B是解题关键.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数的图象，反比例函数图象以及二次函数图象与系数的关系的知识，解题的关

键是了解三种函数的图象的性质，难度不大.

首先根据二次函数及反比例函数的图象确定Mb的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可.

【解答】

解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k>0,

根据二次函数的图象可知a<0,b<0,

.•・函数y=kx—b的大致图象经过一、二、三象限，

故选D.

9.【答案】A

【解析】解：设正方形的边长为％步，

•.•点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、4B的中点，

•.AM=^AD,AN=^AB,

.-.AM=AN,

由题意可得，Rt^AEM^Rt^FAN,

_ME_AM

"'AN~丽’

即4"2=80x245=19600,

解得：AM=140,

.-.AD=2AM=280步；

故选：A.

根据题意，可知Rt^AENsRt△凡4N,从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边

长.

本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意.利用相似

三角形的性质和数形结合的思想解答.

10.【答案】B

【解析】解：①•••抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，

a>0,b>0,c<0,

:.abc<0,

故结论①错误；

②•二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(-3,0),顶点是(一l,m),

.♦・抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),

••,抛物线开口向上，

二当％=2时，y=4a+2b+c>0,

故结论②正确；

③由题意可知对称轴为：直线X=-1.

bd

AX=——=—1,

2a

・•・b=2a,

把y=c,b=2Q代入y=ax2+Z?x+c得:

ax2+2ax+c=c,

•••%2+2x=0,

解得％=0或一2,

.,・当y>c,则x<一2或%>0,

故结论③正确；

④把(1,0)代入y=ax2+bx+c得:

a—b+c=m,,a+b+c=0,

b=—jm,

vb=2a,

1

・••a=--m,

4

•・・抛物线与刀轴的另一个交点为(L0)，

・•・a+b+c=0,

3

c=-,

4

131

b+cm=,-

-2-4-m4-m

故选：B.

①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、氏c的符号，进而可得Q儿的符号，

结论①错误；

②由抛物线与％轴交于(-3,0),顶点是(-Lm),可判断出抛物线与％轴的另一个交点为(1,0),当

%=2时，y=4a+2b+c>0,结论②正确；

③由题意可知对称轴为：直线％=-1,即一卷=一1，得力=2a,把、=。，b=2a代入y=a/+

bx+c并化简得：%2+2%=0,解得％=0或-2,可判断出结论③正确；

④把(1,0)代入y=ax2+b%+c并计算可得b=由对称轴可得b=2a,a=一"?n，

由a+b+c=0可得C=[M,再计算b+c的值，可判断④错误.

本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与X轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点,

观察函数图像结合二次函数图形与系数关系，逐一分析四条结论的正误是解题的关键.

11.【答案】3-3V3

【解析】解：©)T—内+(兀-314)°

=2-373+1

=3-3V3.

故答案为：3-3料.

首先计算零指数幕、负整数指数累、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可.

此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，

要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同

级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

12.【答案】W1

x+2>4x—1①

【解析】解:

2x>1—x（2）

解不等式①，得xS1,

解不等式②，得X>g,

所以不等式组的解集是4<X41,

故答案为：1<x<1.

先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键.

13.【答案】-4

【解析】解：根据题意得%1+工2=4,%1%2=

所以(1—%i)(l—%2)=1—(%1+%2)+=1-4+(―1)=-4.

故答案为-4.

先根据根与系数的关系得到%1+%2=4,%1外=-1，再利用乘法公式展开得到(1-%1)(1-x2)=

1-(式1+久2)+与％2,然后利用整体代入的方法计算.

本题考查了根与系数的关系：若%1，冷是一元二次方程+b%+C=0(。。0)的两根时，/+

b_C

X2=~~fX1X2-£・

14.【答案】喈

【解析】解：•.・顶点4在反比例函数y=((k为常数，k>0,x>0)的图象上，AC=1,

・•・A(l,k)f

则08=1,OC=k,

•・,矩形4B0C绕点4按逆时针反向旋转90。得到矩形AB'。'。'，

/.O'C=k,B'O'=1,

:.。'(1+k,k—1),

・・・4。'在此反比例函数图象上，

/.(fc+l)(k-l)=fc,

k?-k—1=0,

.1±71+41±V5

V/c>0,

・・•负值舍去，

故答案为：萼.

由题意得A(l,k),则。B=l,OC=k,根据旋转的性质得到O'C'=k,B'O'=1,于是得到。'(1+

k.k-l),于是得到方程(k+l)(k-1)=3求得卜=萼(负值舍去)，即可得到结论.

本题考查了坐标与图形变化-旋转，矩形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理

解题意是解题的关键.

15.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查规律型：数字的变化规律.找到变化规律然后用“裂项法”求解是解本题的关键.首先

根据题意得出On的关系式，然后用“裂项法”将5裂成2(；-磊)，即可求出结果.

【解答】

解：由题意得=1,。2=3=1+2,a3=6=14-2+3,@d=10=1+2+3+4,…,

・0_九5+1)

,•an-2'

・—=21)

=7(--f

,,ann(n+l)n+r

111i1」1a111111」11、a1、20

.•温+瓦+]+…+而=2(1_5+2_^+L]_£+…+五—五)=2(1-三)=五.

故答案为：笔

16.【答案】2;y/2—1

【解析】解：・・•BM=BE,

・•・乙BEM=Z.BME,

-AB//CD,

:.乙BEM="CM,

又•・•乙BME=乙GMC,

・・・Z.GCM=4GMC,

:.MG=GC=1,

vG为CD中点，

:.CD=AB=2.

连接8凡FM,

由翻折可得4FEM=々BEM,BE=EF,

・•・BM=EF,

•・,乙BEM=4BME,

・•・Z-FEM=(BME,

・・・EF”BM,

・•・四边形为平行四边形，

•・・BM=BE,

・•・四边形BE尸M为菱形，

v^EBC=Z.EFC=90°,EF//BG,

・•・乙BNF=90°,

•・・BF平分乙ABN,

・・・FA=FN,

・・・Rt△ABF三Rt△NBF(HL),

.・.BN=AB=2.

•・・FE=FM,FA=FN,LA=乙BNF=90°,

・•・Rt△AEF^Rt△NMF(HL),

:.AE=NM,

设AE=NM=%,

则BE=FM=2-x,NG=MG-NM=1-x,

•♦・FM//GC,

・•・△FMNfCGN,

CG_GN

‘丽=丽’

即我-=工

2—xx

解得％=2+或(舍)或％=2—V2,

:,EF=BE=2—x=&，

si*”E=若=誉=壶-L

故答案为：2；V2—1.

连接8凡FM,由翻折及8M=ME可得四边形8EFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得BN=BA.

先证明AAEF三ANMF得AE=NM,再证明△尸CGN可得名=盥，进而求解.

FMNM

本题考查矩形的翻折问题，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的判定及性质求

解.

17•【答案】解：原式=寻濡枭

2

―x+1

x=4cos30。-1=4Xy-1=2V3-1.

二原式=洋1=4

【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把X的值代入得出答案.

此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键.

18.【答案】证明：(1)，,•四边形/BCD是平行四边形,

・•・AD=BC,AD//BC,

:.Z-ADB=乙CBD,

:.Z.ADE=乙CBF,

在△8。£和4尸中，

AD=BC

Z.ADE=乙CBF,

DE=BF

•••△ADEwZkCBF(SAS)；

(2)四边形4FCE是菱形，理由如下：

•・・8。平分4ABC,

:.Z.ABD=Z-CBD,

v乙ADB=乙CBD,

・•・Z.ABD=Z.ADB,

:.AB=AD,

•・•四边形4BCD是平行四边形，

・•・OB=0D,

・•・4cl8。，

ADE=LCBF,

・•.AE=CF,Z,AED=乙CFB,

:・AE"CF,

••・四边形4FCE是平行四边形,

vAC1.BD,

MCE是菱形.

【解析】（1）根据四边形4BCD是平行四边形，得AD=BC,AD//BC,可证乙4DE=4CBF,然后

通过SASiiEAADE=^CBF即可；

（2）由BD平分N4BC,得4480=乙CBD,又因为N/1D8=4CBD,则44BD=乙ADB,有4B=AD,

可证出AC1BD,然后证出四边形4FCE为平行四边形即可解决问题.

本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，证出

AC18。是解题的关键.

19.【答案】解：（1：•双曲线＞=?（小中0）经过点4（一；,2）,

:.m=—1.

•・•双曲线的解析式为y=—§

•••点8（弭—1）在双曲线y=一:上，

•••点B的坐标为（1,一1）.

•••直线y=kx+b经过点4（一；,2）,B（l,—1）,

・・・｛：；+22,解得真；2,

・,・直线的解析式为y=—2x+1；

（2）当y=-2x+1=0时，x=5

••・点c©,0）.

设点P的坐标为（x,0）,

•双傅=3,做一表2），5（1,-1）,

x3|x-^|=3»即|x-2|=2,

解得:*]=_'!，x2=|.

・・•点P的坐标为（一I，0）或（|,0）.

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、

待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐

标利用待定系数法求出函数的解析式;(2)根据三角形的面积公式以及S-BP=3,得出|x-g|=2.

(1)把4的坐标代入可求出zn,即可求出反比例函数解析式，把8点的坐标代入反比例函数解析式,

即可求出n,把4,B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；

(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为(x,0),根据三角形的面

积公式结合S-BP=3,即可得出氏-；|=2,解之即可得出结论.

20.【答案】解：(1)根据题意得：54+30%=180(人)，

即这次被调查的学生共有180人；

(2)根据题意得：360°x(1-20%-15%-30%)=126°,

即扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126。；

(3)画树状图如下：

甲乙丙丁

/4\ZN/1\/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有2种，

恰好选中甲、乙两位同学的概率为总

izo

【解析】(1)根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；

(2)用360。乘以篮球的学生所占的百分比即可；

(3)画树状图，共有12种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有2种，再由概率公

式求解即可.

此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图.树状图法可以不重复不遗漏的列

出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

21.【答案】（1）证明：过。作OHJ.AB于H,

vZ.ACB=90°,

•••OC1BC,

•••B。为AABC的角平分线，OH1.AB,

OH=OC,

即。”为。。的半径,

•••OH1AB,

•••48为。。的切线；

(2)解：设。。的半径为3%,贝I。"=OD=OC=3x,

在Rt△v=7,

AOHV,,•*tanA4

,OH_3

,,丽="

3x3

1=­f

AH4

・•・AH=4%,

・•・AO=y/OH2+AH2=V(3%)2+(4x)2=5x,

-AD=2,

:.AO=OD+AD=3%+2,

・,・3%+2=5%,

A%=1,

・・・04=3%+2=5,0H=0D=0C=3x=3,

.・・AC=OA+OC=5+3=8,

在RtMBC中，•••tanA=

3

.•・BC=AC-tanA

=8x-4=6,

OB=y/OC2+BC2=V32+62=3通.

【解析】(1)过。作。AB于H,根据角平分线的性质得到OH=0C,根据切线的判定定理即可

得到结论；

(2)设。。的半径为3x,则OH=OD=OC=3x,在解直角三角形即可得到结论.

本题考查了平行的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关

键.

22.【答案】解：(1)如图②，由题意得：水面宽04是8m,桥拱顶点B到水面的距离是4根，

结合函数图象可知，顶点B(4,4),点0(0,0),

设二次函数的表达式为y=a(x—4)2+41

将点。(0,0)代入函数表达式，

解得：a=-*,

二次函数的表达式为y=—4)2+4,

-1

即y---x2+2%(0<%<8)；

(2)工人不会碰到头，理由如下：

•••小船距。点0.4m,小船宽1.2m,工人直立在小船中间，

由题意得：工人距。点距离为0.4+2x1.2=1,

，将=1代入y=-：/+2%,

解得：y—1.75,

v1.75m>1.68m,

.•.此时工人不会碰到头；

(3)抛物线y=~1x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称.

如图所示，

新函数图象的对称轴也是直线x=4,

此时，当0WXW4或x28时，y的值随x值的增大而减小，

将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象,

如图所示，

x=4+?rt

•・・平移不改变图形形状和大小,

••・平移后函数图象的对称轴是直线工=4+m,

二当m<%<4+m或％>8+m时，y的值随x值的增大而减小，

.••当8SXW9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，

得zn的取值范围是：

①mW8且4+m29,得5<mW8,

08+m<8,得mWO,

由题意知m>0,

znW0不符合题意，舍去，

综上所述，m的取值范围是5SmW8.

【解析】(1)根据题意结合图象可以求出函数的顶点B(4,4),先设抛物线的顶点式y=a(x-4)2+4,

再根据图象过原点，求出a的值即可；

(2)先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可；

(3)根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移山各单位，根据二次函数的性质求出血的取

值范围.

本题考查二次函数的应用、轴对称以及平移等知识，关犍是利用平移后的函数对称轴，函数的增

减性求m的取值范围.

23.【答案】⑴①证明：•••40是NB4C的平分线，

:.Z-BAC=2乙BAD,

•・•Z.ACB=90°,

・・・ABAC4-Z-B=90°,

・•・2/LBAD+Z,B=90°,

是“准互余三角形”；

②解：如图①中，存在，理由如下:

在RtZi/BC中，vLB+Z.BAC=90°,Z.BAC=2Z.BAD,

・・・4B+24B4D=90。，

・•・△48D是“准互余三角形”，

•・・△48E也是“准互余三角形”，

・•・只有248+NBAE=90°,

v乙B+乙BAE+乙EAC=90°,

:.Z-CAE=乙B,

vzC=ZC=90°,

CAE^/s.CBA,

・•・CA2=CE•CB,

“16

'•CE=可，

D7rl69

-,-1BE=1S--5=5'

••・存在点E,使得△ABE是“准互余三角形"，此时BE=?；

(2)解：如图②中，将△BCO沿BC翻折得至BCF.

/.CF=CD=12,乙BCF=CBCD,乙CBF=cCBD,

•・•乙ABD=2(BCD,4BCD+乙CBD=90°,

・•・乙ABD+乙DBC+乙CBF=180°,

・・・4、B、F共线，

・•・Z-FAC+Z.ACF=90°

・・・2/.ACB+乙CAB=90°,

・•・只有2484C+Z.ACB=90°,

:.乙FCB=乙FAC,

vZ.F=Z-F,

・••△FCB~AFAC9

CF2=FB-FA,

设产B=x,

则有：x(x+7)=122,

x=9或—16(舍弃)，

二AF=7+9=16,