新教材适用2023-2024学年高中数学第7章随机变量及其分布章末知识梳理学案新人教A版选择性必修第三册

章末知识梳理知识点1条件概率与事件的独立性1．条件概率：P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))(P(A)>0)．2．乘法公式与全概率公式、贝叶斯公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)；P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,)P(BAi)＝eq\i\su(i＝1,n,)P(Ai)P(B|Ai)，i＝1,2，…，n；P(Ai|B)＝eq\f(P(Ai)P(B|Ai),P(B))3．独立性与条件概率的关系：当P(B)>0且P(AB)＝P(A)P(B)时，有P(A|B)＝eq\f(P(AB),P(B))＝eq\f(P(A)P(B),P(B))＝P(A)．知识点2随机变量1.离散型随机变量及其分布列eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(离散型随机变量的概念,分布列的概念和性质,两点分布))4．正态分布eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正态曲线的特点,正态分布的“3σ原则”))要点一条件概率条件概率是概率的重要内容之一，是后续学习的基础．在高考中经常涉及，一般以选择和填空的形式考查，试题难度不大，属基础题．求条件概率的常用方法为：(1)定义法，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A)).(2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A)).典例1在100件产品中，有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取1件产品．试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．[解析]设第一次取到不合格品为事件A，第二次取到不合格品为事件B，则有：(1)P(A)＝eq\f(5,100)＝0.05.(2)(方法一)第一次取到一件不合格品，还剩下99件产品，其中有4件不合格品，95件合格品，于是第二次又取到不合格品的概率为eq\f(4,99)，由于这是一个条件概率，所以P(B|A)＝eq\f(4,99).(方法二)根据条件概率的定义，先求出事件A，B同时发生的概率P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,100))＝eq\f(1,495)，所以P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,495),\f(5,100))＝eq\f(4,99).[规律方法](1)条件概率的计算公式：P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))或P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A)).(2)条件概率具有的性质：①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．要点二离散型随机变量的分布列、期望与方差求离散型随机变量ξ的分布列、均值、方差的方法(1)理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)根据均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．注意：如果ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．典例2为创建文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行“爱心送考”的次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望．[解析](1)由图可知200名司机中“爱心送考”1次的有20人，“爱心送考”2次的有100人，“爱心送考”3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为eq\f(20×1＋100×2＋80×3,200)＝2.3.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人‘爱心送考’1次，另一人‘爱心送考’2次”为事件A；“这两人中一人‘爱心送考’2次，另一人‘爱心送考’3次”为事件B；“这两人中一人‘爱心送考’1次，另一人‘爱心送考’3次”为事件C；“这两人‘爱心送考’次数相同”为事件D.由题意知X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,100),C\o\al(2,200))＋eq\f(C\o\al(1,100)C\o\al(1,80),C\o\al(2,200))＝eq\f(100,199)，P(X＝2)＝P(C)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,80),C\o\al(2,200))＝eq\f(16,199)，P(X＝0)＝P(D)＝eq\f(C\o\al(2,20)＋C\o\al(2,100)＋C\o\al(2,80),C\o\al(2,200))＝eq\f(83,199)，∴X的分布列为X012Peq\f(83,199)eq\f(100,199)eq\f(16,199)E(X)＝0×eq\f(83,199)＋1×eq\f(100,199)＋2×eq\f(16,199)＝eq\f(132,199).[规律方法]离散型随机变量的期望与方差的关注点(1)求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分布列，再按期望与方差的计算公式计算．(2)要熟记特殊分布的期望与方差公式(如两点分布、二项分布、超几何分布)．(3)注意期望与方差的性质．(4)实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学模型来表达．要点三二项分布与超几何分布n重伯努利试验和二项分布、超几何分布是概率中的重要模型，是学习方差、均值的基础．高考中是常考内容，以选择、填空题的形式出现．有时在解答题中有所涉及，题目难度不大属低档题，二项分布的实际应用是常考题型．典例3甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为eq\f(2,3)，乙队中3人答对的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且各人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P(C)．[解析](1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，故ξ的分布列为：ξ0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)(2)甲队得2分，乙队得1分，两事件相互独立，由(1)得，甲队得2分的概率P(ξ＝2)＝eq\f(4,9)，乙队得1分的概率P＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,18).根据独立事件概率公式得，“甲队得2分，乙队得1分”的概率P(C)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,18)＝eq\f(10,81).[规律方法]1.关于二项分布的实际应用熟悉常见的n重伯努利试验的特点，涉及“多次”“多人”“多局”等的事件，每次事件发生的概率相同，随机变量往往符合二项分布，可以利用公式计算概率、期望．2．关于超几何分布的实际应用涉及不放回抽取，只含有两类元素抽取，或者多类元素，但抽取只涉及两个限定条件的事件，随机变量往往符合超几何分布，确定基本量n，M，N后可以利用公式求概率、期望．要点四正态分布正态分布是概率统计的重要内容，也是高考的重要内容．既可以以选择题、填空题的形式单独考查，难度较小，又可以与离散型随机变量的均值、方差及实际应用问题综合考查，难度中等偏上．求正态分布的概率主要有两种方法：(1)注意“3σ原则”的应用．记住正态总体在三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于正态密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．典例4某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请你判断考生成绩X在550～600分的人数．[解析]∵考生成绩X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P(550≤X≤600)＝eq\f(1,2)[P(500－2×50≤X≤500＋2×50)－P(500－50≤X≤500＋50)]≈eq\f(1,2)(0.9545－0.6827)＝0.1