2023届福建省宁德市高考数学必刷试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点月是抛物线C：f=2py的焦点，点名为抛物线c的对称轴与其准线的交点，过鸟作抛物线。的切线，

切点为A,若点A恰好在以月，工为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）

V6-V2C

B.V2-1F氏3

2

2.设全集U=R,集合A={x|x<2},3=„_3%<0},贝!）（科4）B=（）

A.（0,3）B.[2,3）C.（0,2）D.（0.+OO）

3.已知双曲线C：（a>（）/>0）的左、右焦点分别为G，E,过K的直线/与双曲线C的左支交于4、

a~b~

3两点.若|/18|=|4段,的5=120,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=+^-xB.y-+^-xC.y=±（G一D.丁=±（百—1）尤

4.运行如图所示的程序框图，若输出的值为300,则判断框中可以填（）

A.i>30?B.Z>40?C.z>50?D.Z>60?

5.若复数二满足（l+i）z=i（i是虚数单位），贝!h的虚部为（）

6.在正方体A5CD-ABG。中，点E,F,G分别为棱4A，D}D,的中点，给出下列命题：①A£，EG；

71

@GC//ED,③平面BGG；④旅和成角为」.正确命题的个数是（）

4

A.0B.1C.2D.3

7.已知函数"x）=Gsin2x-2cos2x+l,将“X）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的g,纵坐标保持不变;

再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，若8（石）送（占）=9,则值-到的值可能为（）

5万3117171

A.—B.—C.-D.一

4423

8.已知不同直线/、〃7与不同平面a、0,且/ua,mup,则下列说法中正确的是（）

A.若。〃£,则/%”B.若a_L尸，贝

C.若/•!"£,则D.若则加_La

9.把函数y=sin（x+刍）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移g个单位，那么所

63

得图象的一个对称中心为（）

A.（一,0）B.（一,0）C.（—,0）D.（0,0）

3412

10.已知函数/（x）=sin（s+*）3>0,网<|）的最小正周期为7r,f（x）的图象向左平移己个单位长度后关于）'轴对

TT

称，则/（X—二）的单调递增区间为（）

71.51,71.71.

A.+k兀、---FK7VkeZB.---+攵万,——\-kjikeZ

6._36_

71.57r,.)71,71f

C.----卜tar,卜k兀keZD.----1-kjt、一+k兀keZ

121263

11.若复数Z满足（l+i）z=|3+4"，贝!|Z的虚部为（）

55

A.5B.-C.--D.-5

22

12.已知复数7=吐？f二”（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为4B.复数二在复平面内对应的点位于第三象限

C.z的共辗复数三=4—2iD.\z\=2y[5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.数列｛4｝的前〃项和为S,,数列也｝的前〃项和为北，满足q=2,3S„=(n+m)«„(neN*,me/?),且

区也,=〃+1.若任意〃eN*,44(“一方成立，则实数4的取值范围为.

14.函数.f(x)=，一x-A(e为自然对数的底数，beR),若函数g(%)=/1/(x)-g)恰有4个零点，则实数匕的

取值范围为.

15.(l-x)(l+x)4展开式中，含/项的系数为.

-y>0

16.若实数%)，满足不等式组2x-y+3N0,则z=2y—x的最小值是一

x+y-l<0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知/(6二炉+办？一。与+2.

(1)若ar(),求函数/(x)的单调区间；

(2)若不等式2xlnxW/'(x)+a2+i恒成立，求实数”的取值范围.

18.(12分)已知/(%)=X2+2,-1|.

(1)解关于x的不等式：/(%)〉呼；

(2)若“X)的最小值为M,S.a+b+c=M(a,b,ceR+),求证：竺把1+土土£1+22.

cba

19.(12分)如图，。。的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为。。上一点，AE=AC,DE交AB

于点尸.求证：^PDF~\POC.

20.(12分)已知函数/(x)=x2-a]nx-l(aeR)

(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数”的取值范围；

(2)若函数g(x)=/+/—ex-/(x)-120对xe[l,+O恒成立，求实数。的取值范围.

21.(12分)如图A6是圆。的直径，Q4垂直于圆。所在的平面，。为圆周上不同于A6的任意一点

D

A/

(1)求证：平面平面P8C；

(2)设丛=48=24。=4,。为m的中点，M为AP上的动点(不与A重合)求二面角A-BM-C的正切值的

最小值

22

22.(10分)已知点8(0,-2)和椭圆M：q+、=1.直线/:>=履+1与椭圆”交于不同的两点p,Q.

(1)当左=•1■时，求△PBQ的面积；

2

(2)设直线PB与椭圆"的另一个交点为C,当。为PB中点时，求A的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得A的值，设出双曲线方程，求得2a=|AF2I-IAFt

I=(V2-1)P，利用双曲线的离心率公式求得e.

【详解】

直线尸2A的直线方程为：y=kx——,Fi(0,—)»尸2(0,――)>

222

代入抛物线C必=2内方程，整理得：X2-2〃Ax+p2=0,

.,.△=4A2P2_4p2=0,解得：k=±l,

22

：.A(p,E),设双曲线方程为：=

2a2b2

IAFII=p,IAFiI=^p2+p1=y/2p>

2a=IAF2I-IAFiI=(V2-DP，

2c=p,

C1r~

工离心率e=—=~i=—=72+1,

aV2-1

故选：D.

【点睛】

本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题.

2.B

【解析】

可解出集合B,然后进行补集、交集的运算即可.

【详解】

8={小2-3工<0}=(0,3),A={x\x<2],则”=[2,同,因此，(^A)fB=[2,3).

故选：B.

【点睛】

本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.

3.D

【解析】

设|伍仁〃2,利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.

【详解】

设=|=加,.•.忸周=一2M或.|AK|.cos12(),由双曲线的定义可知：|A4|=加一2a,

因此忸£|=2a,再由双曲线的定义可知：\BF2\-\BFi\=2a^m=^a,在三角形中，由余弦定理可知：

|耳用2=|+1Ag「—2|Af；卜|A用.cos120°=C?=(5-2^3)a2=>a2+b2=(5-2收a1

=>/=(4—2后)/=1=(4一2>5)=2=百_1,因此双曲线的渐近线方程为：

3a

y=±(石-l)x.

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.

4.B

【解析】

由300=200+10+20+30+40,则输出为300,即可得出判断框的答案

【详解】

由300=200+10+20+30+40,则输出的值为300,i=40+10=50,故判断框中应填i>40?

故选：B.

【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.

5.A

【解析】

由（1+i）z=i得z=」一，然后分子分母同时乘以分母的共甄复数可得复数"从而可得-的虚部.

【详解】

因为(l+i)z=i,

所以z=L=i-i2z+111.

--=—I—I

l+z(l+i)(l-z)1+122

所以复数Z的虚部为1.

2

故选A.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算和复数的概念，属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共挽复数，转化

为乘法运算.

6.C

【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.

【详解】

设正方体边长为2,建立空间直角坐标系如下图所示，A（2,0,0）,q（0,2,2）,G（2,l,2）,

。(0,2,0),以1,0,2),。(0,0,0)，4(2,2,2),网0,0,1),8(2,2,0).

①，AC.=(-2,2,2),EG=(l,l,0),AC,-EG=-2+2+0=0,所以故①正确.

②，GC=(-2,1,-2),ED=(-1,0,-2),不存在实数；I使GC=义物，故GC〃。不成立，故②错误.

③，母尸=(一2,—2,—l),BG=(O,T,2),BG=(—2,O,2),3尸36=0,3尸30=2,0,故片FJ.平面BGG不

成立，故③错误.

EFBB-2J1

④，所=(一1,0,-1),84=(0,0,2),设旅和8瓦成角为凡贝iJcosOn^一=7一=—,由于

\EF\,LBB|V2x2L

6e[o,g，所以e=£,故④正确.

综上所述，正确的命题有2个.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.

7.C

【解析】

利用二倍角公式与辅助角公式将函数y=/(x)的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数y=g(x)的解析式为

g(x)=2sin(4x-2]+l,可得函数y=g(x)的值域为[-1,3],结合条件g(xj.g(w)=9,可得出g(xj、g(x2)

均为函数y=g(x)的最大值，于是得出归-对为函数y=g(x)最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.

【详解】

函数/(%)=百sin2x-2cos2x+1=\^sin2x-cos2x=2sin,

将函数y=/(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的g倍，得y=2sin的图象；

再把所得图象向上平移1个单位，得函数y=g(x)=2sin[以一方11的图象，易知函数y=g(x)的值域为.

若g(X|)，g(X2)=9，则g(%)=3且g(电)=3,均为函数y=g(x)的最大值,

由41一生=生+2左"(AwZ),解得％=工+红(左wZ)：

其中王、X?是三角函数y=g(x)最高点的横坐标，

・••居一目的值为函数y=g(x)的最小正周期T的整数倍，且7=^=］.故选C.

【点睛】

本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定g(xj、g(w)均为

函数y=g(x)的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

8.C

【解析】

根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.

【详解】

对于A，若。〃尸，则/,加可能为平行或异面直线，A错误；

对于3,若a,分，则/，加可能为平行、相交或异面直线，3错误；

对于C,若I",且/ua,由面面垂直的判定定理可知aC正确；

对于。，若。_1£,只有当〃?垂直于。，尸的交线时才有。错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.

9.D

【解析】

试题分析：把函数y=sin(x+3图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=sin(gx+令的图象;

再将图象向右平移£个单位，可得y=sin［」(x-工)+工］=sin」x的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0),

32362

故选D.

考点：三角函数的图象与性质.

10.D

【解析】

先由函数/(x)=sin((yx+0)的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数/(x)=sin(8+°)的解析式，从而

jrTT

得出/(%--)的解析式，再根据正弦函数/(%)=Sinx的单调递增区间得出函数/(%--)的单调递增区间，可得选

66

项.

【详解】

因为函数/(x)=sin(«yx+e)(0>O，M|<H)的最小正周期是乃，所以兀=」,即to=2,所以/(x)=sin(2x+。),

2co

/(x)=sin(2x+0)的图象向左平移e个单位长度后得到的函数解析式为

y=sin21x+—J+I=sinl2x+—,

jr-rrjrIJT\

由于其图象关于V轴对称，所以；+e=—+2左肛AeZ,又例<彳，所以夕=二，所以/a)=sin2%+工，

3226\oJ

77

所以/(冗一T)二sin

6

jrjr

因为/(x)=sinx的递增区间是：一,+2版\2版■+,,keZ,

[L']I']I']1

由+2k;r<2x<2k7r+—,kwZ,得：----\-k7i<x<k7i+—,keZ,

26263

所以函数/(x—M)的单调递增区间为—5+左质]+后不(ZeZ).

6L63_

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于

中档题.

11.C

【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

由(1+i)z=|3+4i|=)32+42=5,

5_5(l-i)_55.

得『币=(1+，)(1)=5一子

•'•Z的虚部为----

2

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

【解析】

利用i的周期性先将复数z化简为z=T+2i即可得到答案.

【详解】

4i+24i+24i+2

因为j2=—1，厂=1，j5=j,所以i的周期为4,故2==而百=-^-=--=-4+2i,

11-1

故工的虚部为2,A错误；z在复平面内对应的点为(T,2),在第二象限，B错误；z的共

粗复数为］=T—2i，C错误；［z|=g)2+22=26，D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共物复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13./I<—

【解析】

a„〃+1

当〃..2时，a“=S,,-S“_1,可得到口-=_再用累乘法求出。，，再求出“，根据定义求出7“，再借助单调性求

a.,_.n-i

【详解】

解：当〃=1时，35j=(1+m)aA=3«,,则机=2,3s“=(〃+2)。”，

当〃..2时，3s“_]=(〃+,

3%=(〃+2)an-(n+!)«„.,,

------=n(n+1),

n-I

.7/4-11

■-b„=--=-

…+彳万(当且仅当〃=1时等号成立)'

故答案为:

【点睛】

本题主要考查已知s“求。”，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题.

1,-+In2

2

【解析】

令“力―g=r,则/⑺=0,〃x)=/+g恰有四个解.由/'(x)=e'—1判断函数增减性，求出最小值，列出相应

不等式求解得出。的取值范围.

【详解】

解：令则/⑺=0,/(%)=，+；恰有四个解.

/()=0有两个解，由r(x)=e、-l,可得/(x)在(9,0)上单调递减，在(0,+。)上单调递增，

则〃)血=〃°)=1一8<°，可得

设/(。=。的负根为〃？，

由题意知，ftiH—>1—/?>m>—b

229

则0，一；〉0，

••b<—FIn2.

2

故答案为：［l,；+ln2}

【点睛】

本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.

15.2

【解析】

4444r

变换得到(1一x)(l+x)=(1+x)-x(l+%),展开式的通项为Tr+}=C；x-,计算得到答案.

【详解】

444r

(1-x)(l+x)=(1+x)-x(l+x),(l+x)4的展开式的通项为：Tr+x=C^-.

含V项的系数为：C：-C：=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16.-1

【解析】

作出可行域，如图:

由2=2丁一%得丫=!%+,2,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值，A(1,0)

22

所以Zmin=-1

故答案为」

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)答案不唯一，具体见解析(2)[-2,+8)

【解析】

(1)分类讨论，利用导数的正负，可得函数/(X)的单调区间.

(2)分离出参数。后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域.

【详解】

(1)J”(x)=3]2+2依-/=(x+a)(3x-a)

由/,x)=0得力=一〃或尤=£

①当a>0时，由/«x)<0,得—a<x<].

由/<x)>0,得x<_“或

此时〃x)的单调递减区间为1-。,一2，单调递增区间为(9,一。)和(*+8).

②当a<0时，由得W<x<—a

由/«x)>0,得x<1或x>_"

此时/(%)的单调递减区间为，，-a),单调递增区间为卜町?和(一公”)

综上：当”>0时，“X)单调递减区间为单调递增区间为(F—。)和仁,+8

当a<0时，/(x)的单调递减区间为[?-a],单调递增区间为(一叫智和口).

(2)依题意xe(0,+oo),不等式2xInx</'(x)+/+1恒成立

等价于2xlnx«3x2+2ax+l在(0,+?)上恒成立，

31

可得aNlnx-—三，在(0,+?)上恒成立，

设〃3=|…全总’则”但€弓+看=一(1譬+1)

令〃'(x)=0,得x=l,九=一；(舍)

当0<x<l时，”(x)>0；当x>l时，//(x)<0

当X变化时，”(x),〃(x)变化情况如下表：

X(0,1)1(1,+?)

“3+0—

3)单调递增-2单调递减

.,.当x=l时，取得最大值，〃(初职=-2,/.«>-2.

。的取值范围是［—2,+8).

【点睛】

本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.

18.(1)(-oo,0)u(V5-l,+oo);(2)证明见解析.

【解析】

(1)分类讨论求解绝对值不等式即可；

(2)由(1)中所得函数，求得最小值再利用均值不等式即可证明.

【详解】

(1)当x<0时，/(x)>一等价于龙，+2卜--l|>-2,该不等式恒成立,

当0<xWl时，/(x)>艮^等价于/一2%>0

,该不等式解集为“，

当x>l时，/(x)>邑^等价于必+2%-2>2

，解得X>^5—19

综上，x<0或七〉&•一1，

所以不等式/(%)〉?的解集为(一8,。)。(6-1,4-ooj.

(2)f(x)=x2+2\x-l\=[X\+2X~2，X-l,

J11[X2-2X+2,X<\

易得的最小值为1，即a+〃+c=M=l

因为a,h,cwR+,

a2+c\lacb2+a2labc2+b22bc

二---,

bbccaa

,a2+c2b2+a2(?+/Jacab、%》+儿)+(ac

所以一；—+------+------->—+一+

bcaybc)<ca)\ba)

>24Z+2/?+2C=2,

当且仅当a=b=c=-时等号成立.

3

【点睛】

本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式，涉及利用均值不等式证明不等式，属综合中档题.

19.证明见解析

【解析】

根据相似三角形的判定定理，已知两个三角形有公共角NP,题中未给出线段比例关系，故可根据判定定理一需找到另外

一组相等角，结合平面几何的知识证得=NOCP即可.

【详解】

证明：,••?1£=AC,所以NC£)E=NAOC,

又因为ZCDE=ZP+ZPFD,ZAOC=ZP+ZPCO,

所以NPFD=NOCP.

在APDF与APOC中，ZP=NP，NPFD=NOCP,

故KDF〜^POC.

【点睛】

本题考查平面几何中同弧所对的圆心角与圆周角的关系、相似三角形的判定定理;考查逻辑推理能力和数形结合思想;

分析图形，找出角与角之间的关系是证明本题的关键;属于基础题.

20.(1)y,O]32｝；(2)[0,+oo).

【解析】

(1)求导得到尸(X)=生二色，讨论和。＞()两种情况，计算函数的单调性，得到/'(x)min=4口)，再讨论

xV2

★＜1,耳＞1三种情况，计算得到答案.

(2)计算得至ijg'(x)=q+e*—e,g〃(x)=e'-g,讨论。＜0两种情况，分别计算单调性得到函数最值，得

xx

到答案.

【详解】

O丫2—〃

(1)f(x)=x2-alnx-\,ff(x)=------

x

①当。〈。时/。)＞0恒成立，所以/(X)单调递增，因为/(1)=0,所以/(X)有唯一零点，即符合题意;

②当a>0时，令.(x)=0,x=

函数在|o,卷上单调递减，在5+8上单调递增，函数/(X)*=/(｛］)。

/

(i)当即今=1,a=2"(X)min=/⑴=0所以。=2符合题意,

(ii)当即有<1,0<。<2时/(《)</⑴=0，

」_2_2

因为/(e；)=eZ+lT=eZ+l〉0,e*<―

故存在玉/⑴=0所以0<a<2不符题意

⑴)当《〉1,。〉2时/©>八1)=0,

因为f(a-1)=(。-一aln(a-1)-1=a(a-2-\n(a-1)),

设。-1=，>1,。一2—111(。-V)=t-l-\nt9

所以h'(t)=1一；>0,h(t)单调递增，即h(t)>/z(l)=0,/(a-l)>0,a-l>J^

故存在々€(，］,。一1),使得/(々)=/(1)=。，。>2,不符题意;

综上，。的取值范围为(-8,0］。｛2｝.

(2)g(x)=aInx+cx—ex,g'(x)———Fcx_e,g"(x)—£x---<>

XX

①当a20时，g'(x)20恒成立，所以g(x)单调递增，所以g(x)2g⑴=0,

即符合题意；

②当。<0时，g"(x)〉0恒成立，所以g'(x)单调递增，

aa(l-ln(e-Q))_

又因为g'(D=a<0,g'(ln(e-a)=---------a-------------->0

In(e-Q)In(e-a)

所以存在超e(Lln(e-a)),使得8'(%)=0,且当xe(L/)时，g'(x)<0。

即g(x)在(1,%)上单调递减，所以g(Xo)<g(D=O,a<O,不符题意。

综上，。的取值范围为[0,+8).

【点睛】

本题考查了函数的零点问题，恒成立问题，意在考查学生的分类讨论能力和综合应用能力.

21.(1)见解析(2)巫

3

【解析】

(1)推导出ACL3C,PA1BC,从而平面抬C,由面面垂直的判定定理即可得证.

(2)过A作以A为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设"(0,0,7)，e(0,4],利用空间向量法表示出

二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值;

【详解】

(1)因为Q4_LO,BCu面。

：.PA±BC

-BC±AC,ACr\PA=A,ACu平面PAC,丛u平面PAC,

.•.BC_L平面PAC,

又BCu平面PBC,

平面Q4CL平面P8C；

(2)过A作ArJ_A6,以A为坐标原点，建立如图所示空间坐标系,

则A(0,0,0),C(百,1,0),5(0,4,0),设"(0,0。"e(0,4],

BC=(73,-3,0),BM=(0,-4,r)

则平面AMB的一个法向量为m=(1,0,0)

设平面BMC的一个法向量为n=(x,y,z)

n•BC—0y/3x-3