点云数据热传导惩罚函数形态的模糊数学分析

点云数据热传导惩罚函数形态的模糊数学分析

点云数据的平滑处理是反向工程和复杂表面检测数据预处理的链接之一。对于点或线扫描数据，处理方法包括空间法和频率法。对于云和散列云数据，二次复合插值函数用于平滑云中数据，但如何选择曲线类型并选择哪个形状的曲线。在文献中，提出了随机滤波平滑算法。该算法考虑了云数据在扫描线之间的变化，并具有一定的局限性。在文献中，热传导理论被用来解决点云平滑和噪声去除过程中噪声传播与特征信息保留之间的矛盾，但热传导惩罚函数的确定尚未解决。本文以散乱点云数据为研究对象,针对热传导平滑去噪过程中的导热惩罚函数确定问题,拟以模糊数学隶属度函数形态相似性原理对惩罚函数的形态确定进行研究.1单元时间内微元体应力能的增量在一个热传递系统中,温度通常是空间和时间的函数,在直角坐标系中可以表示为θ=f(t,x,y,z)(1)θ=f(t,x,y,z)(1)式中:t为时间;(x,y,z)为空间的坐标位置.点云数据的去噪及平滑处理可以理解为热力学温度场中的点热源传导.点云数据可以看作一个空间温度场,噪声点可以看作为温度场中的一个点热源.整个系统可以认为是一个非稳态的热传导系统.噪声点的扩散控制相当于在这个非稳态温度场中,要求热量传导具有非均质性.将点云数据中的一个单元点作为温度场中的一个基本微元,为了与前述公式区别,引入热力学中的符号来表示.由能量守恒定律,如图1所示,导入微元体的净热流量ΔΦd与单位时间内热源的热量ΔΦv之和等于单元时间内微元体热力学能的增量ΔΦ,即ΔΦd+ΔΦv=ΔΦ(2)ΔΦd+ΔΦv=ΔΦ(2)根据傅里叶定律,在x、y和z方向上导入微元体的净热流量为ΔΦd=ΔΦx+ΔΦy+ΔΦz=λ(∂2θ∂x2+∂2θ∂y2+∂2θ∂z2)dxdydz=ΔΦd=ΔΦx+ΔΦy+ΔΦz=λ(∂2θ∂x2+∂2θ∂y2+∂2θ∂z2)dxdydz=式中:θ为温度;λ为导热系数.单位时间内微元体内热源产生的热量为ΔΦv=˙Φdv=˙Φdxdydz(4)ΔΦv=Φ˙dv=Φ˙dxdydz(4)式中,˙ΦΦ˙为内热源强度.单位时间内微元体热力学能的增量为ΔΦ=ρc∂θ∂τdxdydz(5)ΔΦ=ρc∂θ∂τdxdydz(5)式中:ρ为材质密度;c为比热容.由式(2)～(5)得∂θ∂τ=λρc(∂2θ∂x2+∂2θ∂y2+∂2θ∂z2)+˙Φρc(6)∂θ∂τ=λρc(∂2θ∂x2+∂2θ∂y2+∂2θ∂z2)+Φ˙ρc(6)当z向无导热,˙Φ/(ρc)Φ˙/(ρc)为常数,式(6)可简化为∂θ∂τ=λρc(∂2θ∂x2+∂2θ∂y2)∂θ∂τ=λρc(∂2θ∂x2+∂2θ∂y2)令α=λ/(ρc),以差分代替上式,即有θτ=θτ-1+λρc(∂2θ∂x2+∂2θ∂y2)τ-1=θτ-1+α■2θ(x,y)(7)由式(7)可知,其表达与拉氏平滑算子完全一样,说明点云数据平滑与温度场中能量的传递在本质上是完全相同的.式(7)的推导是在均匀介质中完成的,为了消除噪声点对其邻域点的平均作用和防止其传播,在温度场中,式(7)可转化为微元体在x、y方向具有不同的导热系数,即θτ=θτ-1+(α1∂2θ∂x2+α2∂2θ∂y2)τ-1(8)为方便说明,将式(8)写成笛卡尔坐标系下的表达式:fi(x,y)=fi-1(x,y)+(α1∂2f(x,y)∂x2+α2∂2f(x,y)∂y2)i-1(9)为了满足式(9)在特征边界处不变形,而在区域内能够平滑去噪,转换到温度场中时在特征边界处令导热系数为0,在区域内部导热系数不为0.因此,式(9)中的α1、α2具有惩罚作用,将其称作导热惩罚函数.很显然α1、α2函数形态的选择对点云数据去噪平滑处理的结果有影响.2模糊数学模糊中属度函数的选择导热惩罚函数α1(·)的形态直接与去噪平滑的效果有关.模糊数学中隶属度函数的形态决定了模糊数贴定度的不同.与其相类似,导热惩罚函数的选择范围有下列几种情况.(1)阈值a的选择αi(x)={1x≤a0x>a(10)降半矩形函数形态是一种刚性去噪,其中阈值a的选择至关重要,而自由型面产品零件表面采样所得点云数据的数学形态变化符合曲率连续的性质,所以阈值的准确定义很困难.这种形状分布函数不适合作为导热惩罚函数.(2)柔性去噪αi(x)={1x≤ae-k(x-a)x>a,k>0(11)它属于柔性去噪,其边界效果变化匀衡,因此,对点云去噪过程所起的惩罚作用不强.(3)x、a,k>0αi(x)={1x≤ae-k(x-a)2x>a,k>0(12)它属于柔性去噪方法,用降半正态分布进行滤波处理后,在点云数据曲率变化剧烈的地方,其惩罚作用比较明显.(4)降半哥西分布αi(x)={1x≤a11+γ(x-a)βx>a(13)γ>0‚β>0降半哥西分布属于柔性去噪方法,降半哥西分布在阈值处变化比较大,用降半哥西分布对点云数据进行平滑处理的惩罚作用最强.(5)降半三角形分布去噪αi(x)={1x≤a1a2-xa2-a1a1<x≤a20a2<x(14)降半梯形分布属于线性去噪方法,降半梯形分布在阈值处均匀变化,所以用降半梯形分布进行滤波处理时,在点云数据的边界变化处的惩罚作用不明显.同时,在滤波前首先要确定阈值a1、a2,而对于非接触测量点云数据,要确定出临界阈值a1、a2是困难的,所以该分布函数的形态不适合导热惩罚函数.(6)点云数据二次热传导平滑αi(x)={1x≤a112-12sinπa2-a1(x-a1+a22)a1<x≤a20a2<x(15)降岭形分布属于柔性去噪方法,降岭形分布在阈值a1、a2处变化平滑,在阈值a1、a2中间的变化接近于线性,故用降岭形分布进行滤波处理,在点云数据的边界处的惩罚作用比降半梯形分布明显.阈值a1、a2的确定对于非接触测量点云数据是困难的,所以该分布函数形态也不适合作为导热惩罚函数.对于降半正态分布与降半哥西分布,考虑到最能反映点云数据信息的内部几何特性是梯度,梯度越大,该点的扩散越小.根据点云数据,其函数表达中参数的选择为x=|■f(x,y)|(16)k=1‚γ=1‚a=0,β=2因此,降半哥西分布与降正态分布函数可表示为:αi(x)=11+∥■f(x,y)∥2(17)αi(x)=exp[-∥■f(x,y)∥2](18)以图2所示的点云数据为例进行分析.为了能够清晰地看出其表面点云数据的形态,首先将点云数据进行三角化,然后以Gouraud方法显示出来.图3(a)、(b)为采用降半哥西分布函数和降半正态分布函数进行二次热传导去噪平滑后的效果图.两者都保留了点云数据的细节信息,同时又达到了局部平滑的目的,从全局来看,采用降半哥西分布函数的效果更佳.采用降半Г分布函数对图2所示点云数据进行二次热传导平滑,其结果如图3(c)所示.在卷积过程中,如果某微元各方向的导热系数趋近于0,则说明该微元是孤立热元体,其对应于点云处理,则是明显的噪声点.与传统的滤波方法不同,这些噪点作为孤立热元体不会向周围扩散,因为其四周的导热系数近似为0.因此,很容易将其分辨出来并剔除掉,从而使点云数据的平滑去噪与特征信息保留达到完美协调.所以惩罚函数的选择原则为自变量的变化与惩罚函数值成非线性反比.3点云编码及数据处理以图4(a)点云数据为例进行6次平滑试验.导热惩罚函数分别采用降半Г分布、降半哥西分布和降半正态分布,6次平滑处理后的结果如图4所示.为了更好地显示其区别,对点云数据进行三角化,然后采用Gouraud模式显示其区别.图4(a)所示为1个带有2个凹面及局部细节的原始测量点云数据三角化及Gouraud显示.图4(b)为采用降半Г分布平滑处理的测量点云三角化及Gouraud显示.图4(c)为降半哥西分布平滑对原始点云数据处理后的Gouraud显示.图4(d)为降半正态分布平滑进行原数据处理后的Gouraud显示.由图4可见,降半哥西分布与降半正态分布为最佳选择.为了清楚显示出其区别,在图4(a)所示的黑实线位置对原始点云、降半Г分布、降半哥西分布和降半正态分布处理过的点云进行截面分割,并在平面内将处理后的点云分别与原始点云进行比较,其结果如图5所示.对比图5(a)、(b)、(c)可以看出其都达到了平滑的目的,但从保留特征的细节上来看,降半哥西分布和降半正态分布处理的结果要更接近于原始特征状态.因此后2种函数形态是