高中数学讲义-极坐标与参数方程

中国知名教育品牌考试辅导专业机构极坐标与参数方程一、教学目标 本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。考纲解读极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。三、知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：（t为参数）其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论．eq\o\ac(○,1)．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝．eq\o\ac(○,2)．线段AB的中点所对应的参数值等于．2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：（为参数）3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：（为参数）（或）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：（为参数）（或）5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：（t为参数，p＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是（t为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐例题讲解1、已知一条直线上两点、，以分点M（x，y）分所成的比为参数，写出参数方程。2、直线(t为参数)的倾斜角是A．B．C．D．3、方程（t为非零常数，为参数）表示的曲线是()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线4、已知椭圆的参数方程是（为参数），则椭圆上一点P(，)的离心角可以是A．B．C．D．5、把弹道曲线的参数方程化成普通方程．6、将下列数方程化成普通方程．①，②，③，④，⑤．eq\o\ac(○,6)eq\o\ac(○,7)7、直线3x－2y＋6=0，令y=tx＋6（t为参数）．求直线的参数方程．8、已知圆锥曲线方程是若t为参数，为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离；若为参数，t为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。9、在圆x2＋2x＋y2=0上求一点，使它到直线2x＋3y－5=0的距离最大．10、在椭圆4x2＋9y2=36上求一点P，使它到直线x＋2y＋18=0的距离最短（或最长）．11、已知直线；l：与双曲线（y-2）2-x2=1相交于A、B两点，P点坐标P(-1，2)。求：（1）|PA|.|PB|的值；（2）弦长|AB|;弦AB中点M与点P的距离。12、已知A（2,0）,点B,C在圆x2+y2=4上移动，且有求重心G的轨迹方程。13、已知椭圆和圆x2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P1,在圆上求一点P2,使|P1P2|达到最大值，并求出此最大值。14、已知直线l过定点P(-2,0),与抛物线C:x2+y-8=0相交于A、B两点。（1）若P为线段AB的中点，求直线l的方程；（2）若l绕P点转动，求AB的中点M的方程.15、椭圆上是否存在点P，使得由P点向圆x2+y2=b2所引的两条切线互相垂直？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。16、在同一极坐标系中与极坐标M（－2,40°）表示同一点的极坐标是（）（A）（－2,220°）（B）(－2,140°)（C）(2,－140°)（D）(2,－40°)17、已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(4，0°),B(－4,－120°),C(2＋2,30°)，则△ABC为()。（A）正三角形（B）等腰直角三角形（C）直角非等腰三角形（D）等腰非直角三角形18、在直角坐标系中，已知点M(－2，1)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，当极角在(－π，π]内时，M点的极坐标为（）（，π－argtg(－)）（B）（－，argtg(－)（C）（－，π－argtg）（D）（，－π＋argtg）19、把点的极坐标化为直角坐标。20、把点的直角坐标化为极坐标。21、已知正三角形ABC中，顶点A、B的极坐标分别为，试求顶点C的极坐标。22、化圆的直角方程x2+y2-2ax=0为极坐标方程。23、化圆锥曲线的极坐标方程为直角坐标方程。24、讨论下列问题：（1）在极坐标系里，过点M（4，30°）而平行于极轴的直线的方程是（）（A）＝2（B）＝－2（C）（D）（2）在极坐标系中，已知两点M1(4，arcsin)，M2(－6，－π－arccos(－))，则线段M1M2的中点极坐标为（）（A）(－1，arccos)（B）(1,arcsin)（C）(－1，arccos(－))（D）(1,－arcsin)（3）已知P点的极坐标是(1,π)，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）。（A）ρ=1（B）ρ＝cosθ（C）ρcosθ=－1（D）ρcosθ=1（4）若ρ>0,则下列极坐标方程中，表示直线的是（）。（A）θ=（B）cosθ=(0≤θ≤π)（C）tgθ=1（D）sinθ=1(0≤θ≤π)（5）若点A(－4,π)与B关于直线θ=对称，在ρ>0,－π≤θ<π条件下，B的极坐标是。（6）直线ρcos(θ－)=1与极轴所成的角是。（7）直线ρcos(θ－α)=1与直线ρsin(θ－α)=1的位置关系是。（8）直线y=kx＋1(k<0且k≠－)与曲线ρ2sinθ－ρsin2θ＝0的公共点的个数是（）。（A）0（B）1（C）2（D）325、讨论下列问题；（1）圆的半径是1，圆心的极坐标是(1,0)，则这个圆的极坐标方程是（）。（A）ρ＝cosθ（B）ρ＝sinθ（C）ρ＝2cosθ（D）ρ＝2sinθ（2）极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是（）。（A）2（B）（C）1（D）（3）在极坐标系中和圆ρ=4sinθ相切的一条直线方程是（）（A）ρsinθ=2（B）ρcosθ=2（C）ρsinθ=4（D）ρcosθ=4（4）圆＝Dcosθ－Esinθ与极轴相切的充分必要条件是（）（A）D·E＝0（B）D2＋E2＝0（C）D＝0，E≠0（D）D≠0，E＝0（5）圆2sinθ－2cosθ的圆心的极坐标为。（6）若圆的极坐标方程为ρ=6cosθ，则这个圆的面积是。（7）若圆的极坐标方程为ρ=4sinθ，则这个圆的直角坐标方程为。（8）设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心的极坐标为(－4,0)，则这个圆的极坐标方程为。26、当a、b、c满足什么条件时，直线与圆相切？27、试把极坐标方程化为直角坐标方程，并就m值的变化讨论曲线的形状。