高中数学--指数函数与对数函数

指数函数、对数函数问题例题剖析：设f(x)=log2,试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；解析：(1)a.定义法：由>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则F(x2)－F(x1)=()+(),∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.b.单调性：由>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，则，显然在定义域上（-1，1）是增函数函数在定义域上（-1，1）是增函数。C.导数法：（理科）=∴函数在定义域上（-1，1）是增函数。典型例题：例1：已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.答案：(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x2,所以OC的斜率：k1=,OD的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2即：log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(，log8).例2：在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0<a<1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由.解：(1)由题意知：an=n+,∴bn=2000().(2)∵函数y=2000()x(0<a<10)递减，∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()－1>0,解得a<－5(1+)或a>5(－1).∴5(－1)<a<10.(3)∵5(－1)<a<10,∴a=7∴bn=2000().数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1.于是当bn≥1时，Bn<Bn－1,当bn<1时，Bn≤Bn－1,因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn∴所求a的取值范围是0＜a≤.5.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤()2(当且仅当x1=x2时取“=”号)，当a>1时，有logax1x2≤loga()2,∴logax1x2≤loga()，(logax1+logax2)≤loga,即f(x1)+f(x2)］≤f()(当且仅当x1=x2时取“=”号)当0＜a＜1时，有logax1x2≥loga()2,∴(logax1+logax2)≥loga,即［f(x1)+f(x2)］≥f()(当且仅当x1=x2时取“=”号）.6.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内，圆弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点，分两类讨论.(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得1+≤k≤2(1+);(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－)≤k≤1－.x综上，当a>1时，logaxy的最大值为2+2，最小值为1+；当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－，最小值为2－2.7.解：∵2(x)2+9(x)+9≤0∴(2x+3)(x+3)≤0.∴－3≤x≤－.即()－3≤x≤()∴()≤x≤()－3,∴2≤x≤8即M={x|x∈［2,8］}又f(x)=(log2