电工学第二章

本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期电压和电流。

第2章正弦交流电路2.1

电路的基本概念2.2

单一元件正弦交流电路2.3

正弦交流电路的分析2.4三相交流电路2.5功率因数的提高2.6非正弦周期交流电路简介2.1正弦交流电的基本概念

直流电路在稳定状态下电流、电压的大小和方向是不随时间变化的，如右上图所示。

正弦电压和电流是按正弦规律周期性变化的，其波形如右下图所示。t

OU/ItuiO+

–

+uiR–

+uiR正半周负半周1．正弦电量的三要素瞬时值幅值、最大值角频率初相位三要素：幅值、角频率、初相位有效值是从电流的热效应来规定的。交流电流通过一个电阻时在一个周期内消耗的电能与某直流电流在同一电阻相同时间内消耗的电能相等，这一直流电流的数值定义为交流电的有效值。周期T：正弦量变化一周所需要的时间；频率f：正弦量每秒内变化的次数；角频率

:

［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其周期和角频率。［解］

=2

f=23.1450rad/s=314rad/s

称为正弦量的相位角或相位。它表明交流电流变化的进程。t=0时的相位角称为初相位角或初相位。同频率正弦量的相位之差或初相角之差，称为相位差，用

表示。即0

tiuiu同相：ii反相：超前、滞后注意2．正弦电量的相量表示

正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除用三角函数式和正弦波形表示外，还可以用相量来表示。正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。+1+jaAObr模辐角设平面有一复数A极坐标式代数式三角式指数式A

=

a+jb复数A可有几种式子表示

为与复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并在大写字母上打一“•”。比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为正弦量的幅值或有效值，复数的辐角即为正弦量的初相位角。的相量式为

［例］已知，。试写出电流幅值的相量式；求；画出向量图。［解］总电流的瞬时值为：相量图为：P.59(2.1.1)36.9°正弦电量(时间函数)所求正弦量变换相量(复数)相量结果反变换相量运算(复数运算)注意只有正弦周期量才能用相量表示；只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，两者之间并不相等。复数在进行加减运算时应采用代数式，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。复数进行乘除运算时应采用指数式或极坐标式，模与模相乘除，辐角与辐角相加减。为什么还用相量表示？2.2单一元件正弦交流电路1．电阻元件设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。R–

+ui根据欧姆定律设复阻抗：无源二端元件上电压相量与电流相量之比电压电流同频率，同相位；数量关系满足欧姆定律；u

tOipO

tP=UI平均功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值2．电感元件的正弦交流电路设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。–

+uLi设由得OfXLXL与f的关系感抗与频率f和L成正比。因此，电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流可视为短路。

tOui波形图U•+1+jOI•相量图电压超前电流90

；

电压与电流大小关系

电压与电流相量式瞬时功率有功功率无功功率：瞬时功率的最大值p

t0++––iu

t0波形图电感不消耗功率，它是储能元件。

［例］把电感为0.4H的线圈接到市电220V上，试求线圈的的感抗、电流有效值和无功功率；直接接到直流电源上会出现怎样的现象？［解］市电频率为50Hz，所以有线圈直接接到直流电源上，由于频率为零，相当于短路元件。P.63(2.2.1)

容抗与频率

f，电容C

成反比。因此，电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故可视为开路。3．电容元件的正弦交流电路设在电容元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。C–

+uiOfXCXC

与f的关系u波形图

tOiU•+1+jO相量图I•电流超前电压90

；

电压与电流大小关系

电压与电流相量式瞬时功率有功功率无功功率：瞬时功率的最大值ui

tO波形图p

t0++––

电容不消耗功率，它是储能元件。

［例］有一只47µF耐压值220V的电容器，将它接到50Hz电压有效值110V的交流电源上，电路电流和无功功率各是多少？；若电压值不变，电源频率为1000Hz，此时电流为多少？能否直接接到220V的交流电源上？［解］电源频率为50Hz，所以有电源频率为1000Hz时，220V的交流电源的最大值是，超过了耐压值220V，所以不能接到220V电源上。P.65(2.2.2)作业：（P.104）1、

2、3

2.3正弦交流电路的分析1．RLC串联的交流电路在R、L、C串联交流电路中，电流电压参考方向如图所示。–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+KVL相量表示式为–

+–

+–

+–

+RjXL–jXC设电流

i=Imsin

t

为参考正弦量当

XL>XC

，

为正，电路中电压超前电流，电路呈电感性；当

XL<XC

，

为负，则电压滞后电流，电路呈电容性；当

XL=XC

，

=0，则电流与电压同相，电路呈电阻性。

的大小和正负由电路参数决定。则电压

u=Umsin(

t+

)

为正时电路中电压电流相量图I•U•UR•UL•

UC•UL•UC•阻抗三角形XL

XCR

Z设电流

i=Imsin

t

为参考正弦量则电压

u=Umsin(

t+

)Um与Im的关系？

的大小？瞬时功率有功功率无功功率

电压与电流的有效值之积,单位V·A，（伏·安）视在功率功率因数

［例］图示为日光灯的简化电路，R为日光灯电阻，XL为镇流器的电感。已知交流电压的有效值U=220V，R=300Ω，L=1.65H。试求电路的复阻抗Z、灯管电压UR和有功功率P、无功功率Q及视在功率S。–

+–

+–

+RjXL［解］设以电压为基准相量，即

［例］电路如图示，已知R=16kΩ，C=0.01µF。当频率为何值时与之间的相位差为45°？它们之间超前滞后关系如何？+++---R［解］电路的复阻抗为：2．电路谐振

在含有电感和电容的交流电路中，若调节电路的参数或电源的频率，使电路中的电流与电源电压同相位，称这时电路中发生了谐振现象。

按发生谐振电路的不同，谐振现象分为串联谐振和并联谐振。掌握串联谐振与并联谐振的条件和特征。复阻抗虚部=0阻抗角为零–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+谐振频率串联谐振电路特征(1)其值最小。最大；(2)电路对电源呈电阻性，(3)电源电压串联谐振条件？串联谐振时相量图I•U•UR•UL•UC•

当XL=XC>R

时，UL

和UC

都高于电源电压U。如果电压过高，可能会击穿线圈和电容的绝缘。因此，在电力系统中应避免发生串联谐振。而在无线电工程中则用串联谐振以获得较高电压。串联谐振也称为电压谐振品质因数Q：电感电压有效值与总电压有效值之比

［例］图示为收音机的天线输入回路，已知R=20Ω，L=0.3～0.35mH，C=27～

270pF。试求收音机收听的频率范围；如果所接收的电台频率为640kHz，且该型号输入电压的有效值为3µV，此时电容器的容量及输出电压UC各是多少？［解］LuCR–

+ii1iC在图示并联电路中等效复阻抗为=0谐振频率并联谐振电路特征(2)电路对电源呈电阻性。(3)支路电流可能会大于总电流。所以并联谐振又称电流谐振。品质因数Q：［例］［解］［例］［解］选取b为参考结点，各支路复阻抗分别为：作业：（P.104）4、5、6、7、8、92.4三相交流电路1．对称三相电路⊕⊙⊕⊙⊕⊙三相电动势幅值相等、频率相同、相位上互差120°，称对称三相电动势。相序：对称三相电动势按正弦规律达到正幅值的次序。A-B-C?0120°UA•UC•UB•120°120°三相电动势用相量表示三相电源的星形联结Y联结–

+uCA–

+uAN中性点或零点ABCN–

+uAB+–

uBCuB–

+uC–

+相线中性线

端线与端线间的电压称为线电压。其有效值用

UAB、UBC、UCA

表示或一般用

UL

表示。

端线与中性线之间的电压称为相电压；其有效值用

UA

、

UB、UC

表示或一般用

UP

表示。线、相电压之间的关系uAB=uA

uBuBC=uB

uCuCA=uC

uA线、相电压间相量关系式相量图UA•UC•UB•30o30o30o线电压也是对称三相电压在相位上线电压超前对应相电压30°三相电源的三角形联结△联结电源的三相绕组的末端首端依次相连，再由三个连接点引出端线，只能向负载提供一种电压：线电压（也是相电压）。第一相标第二相标第三相标不构成环流2．三相电路负载的连接三相四线制三角形联接星形联结NL1L2L3Z3Z2Z1M3~相电流：流经负载的电流N

电路及电压和电流的参考方向如图示线电流：流经端线的电流线、相电流相等则有每相负载中的电流N［例］［解］设A相电压为参考正弦量，即三相负载不对称，中性线有电流中性线存在，负载中性点与电源中性点等电位三相负载对称，中性线电流为零负载对称时，中性线电流为零，所以可以去掉中性线，成为三相三线制电路。则有N

N等电位［例］［解］根据已知条件，线电压的相量为N

N中性线的作用是什么？在什么情况下可以没有中性线？中性线起着保证各相负载电压为各相应电源相电压的作用中性线上不允许安装熔断器和开关三相负载对称时可以没有中性线作业：（P.106）11、12、14、17、18、L1L3L2设AB间线电压为参考相量若负载为三相对称负载IA•IB•IC•ICA•IAB•IBC•UAB•UCA•UBA•线电流也是对称三相电流在相位上线电流滞后对应相电流30°［例］［解］设以A相电压为参考正弦电量，N3．三相电路的功率

不论负载是何种联结方式，总的有功功率必定等于各相功率之和。当负载对称时，三相总功率为P=3Pp=3UpIpcos

注意

是相电压与相电流的相位差角。当对称负载是星形联结时，当对称负载是三角形联结时，由上述关系可得对称负载的三相功率为注意

仍是相电压与相电流的相位差角。同理，可得［例］［解］电源线电压为380V时，电动机应星形连接电源线电压为220V时，电动机应三角形连接作业：（P.107）20、21、22、23、24、2.5功率因数的提高功率因数1．电源设备的容量将不能充分利用2．增加输电线路和发电机绕组的功率损耗在P、U一定的情况下，cos

越低，I越大，损耗越大。有功功率P=UNIN

cos

在电源设备UN、IN

一定的情况下，cos

越低，P越小，设备得不到充分利用。P=UIcos

电压与电流的相位差角(功率因数角)I•IC•I1•U•

1

iiCC电路功率因数低的原因感性负载的存在提高功率因数的方法并联电容后，电感性负载的工作状态没变，但电源电压与电路中总电流的相位差角减小，即提高了电源或电网的功率因数。LuR–

+i1

已知感性负载的功率及功率因数cos

1

，若要求把电路功率因数提高到cos

，则所并联的电容C

可由相量图求得又因所以由此得［例］［解］发电机输出的有功功率为实际电路中会遇到非正弦周期量，如下面所列举的波形0t

2Umu0t24Umu0t2

Umu矩形波锯齿波三角波设周期函数为f(t)，可以分解为下列傅里叶级数：式中，A0

为直流分量；第二项的频率与非正弦周期函数的频率相同，称为基波；其余称为高次谐波。2.6非正弦周期交流电路简介1.非正弦周期量的分解几种非正弦周期电压的傅里叶级数的展开式矩形波电压锯齿波电压三角波电压从上面几个式子可以看出，傅里叶级数具有收敛性。3.非正弦周期量的平均值4.非正弦周期量的有效值式中

同理，非正弦周期电压u的有效值为

[例

1]

一可控半波整流电压

,在

/3

之间是正弦电压，

求其平均值和有效值。

t10u/V0

23[解]平均值：有效值：5.纹波系数6.非正弦周期交流电路中的平均功率非正弦周期交流电路中的平均功率等于恒定分量和各正弦谐波分量的平均功率之和作业：（P.107）25、26、27、282）交流电路部分a.基本概念：正弦量的三要素，相量，单一元件交流电路特征，串、并联谐振，三相电路联接方式，功率因数，三相功率等。b.交流电路分析计算：串联交流电路分析计算，并联交流电路分析计算，画相量图，提高功率因数方法，三相交流电路分析计算，功率计算，非正弦周期量有效值的计算等。2.正弦交流电路理解正弦量的三要素、相位、相位差、有效值、最大值等基本概念；掌握正弦量的相量表示法，能用相量图或复数分析、计算正弦交流电路。理解并掌握有功功率、无功功率、视在功率，功率因数的概念和计算；了解提高功率因数的常用方法及意义；理解交流电路中谐振的概念，串联谐振、并联谐振各自的特点；掌握三相电路的联接方式及各自特点，并能分析、计算三相电路；了解非正弦周期量的概念，掌握非正弦周期量有效值的计算公式。了解Multisim软件在分析交流电路中的应用。

[例

1]

下图中电容

C

=

23.5

F，接在电源电压

U

=

220

V、频率为

50

Hz、初相位为零的交流电源上，求电路中的电流i

、P

及

Q。该电容的额定电压最少应为多少伏？[解]容抗C–

+uiP

=0

Q=

UI=356.4var额定电压≥311V[解](1)

[例

2]R、L、C

串联交流电路如图所示。已知

R

=

30

、L

=

127

mH、C

=

40F，

。求：(1)电流

i

及各部分电压

uR，uL，uC；(2)求功率

P

和

Q。于是得–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+注意：(2)电容性(3)电流、电压相量图

[例3]图中电源电压对称，Up=220V；负载为电灯组，在额定电压下其电阻分别为R1=5

，R2=10

，R3=20

。电灯额定电压UN=220V。求负载相电压、相电流及中性线电流。

–

+u1Nu2–

+u3–

+i1N

i2i3iNR1R2R3L1L2L3

[解]负载不对称有中性线时(其上电压若忽略不计)，负载的相电压与电源的相电压相等。220-120°I2=U2·R2=A=·10A22-120°220120°I3=U3·R3=A=·2011120°AIN=I1+I2+I3=··29.1-19°··2200°I1=U1·R1=A=·5440°A

[例

4]

在上例中，(1)L1相短路时，(2)L1相短路而中性线又断开时，试求各相负载的电压。

[解]

(1)此时

L1

相短路电流很大将

L1

相中熔断器熔断，因有中性线L2、L3

两相未受影响，其上电压仍为

220

V。

(2