浅谈“圆及其有关的证明与计算”专题复习感悟

浅谈“圆及其切线有关的证明与计算”专题复习感悟中考复习盐池县第一中学李裕庆尊敬的各位领导、各位老师：大家好!我荣幸地能在这里和各位同仁一起探讨关于中考数学复习的方法。一年一度的中考即将到来，如何在有限的时间内提高中考数学复习质量，更有效地提高学生的学业成绩,这是大家关注的问题。为此，在中考复习中，就要有计划地进行系统的扎实的复习。下面我谈谈“圆及其切线有关的证明与计算”在中考复习中的一些感悟。一、选本专题的主导思想

我们统计了从2016年至2020年的中考中所出现的所有与圆有关的题目，发现圆的知识每年必考，所占比分仍不可忽视。2016年，考题（12）、（15）、（23）2017年，考题（8）、（15）、（23）2018年，考题（6）、（23）2019年，考题（8）、（14）、（23）2020年，考题（6）、（12）、（23）

从分值上看，基本保持在14分，占总分数的12％，而圆的证明与计算是宁夏历年中考数学试题的解答题型重要组成部分，主要考查圆与直线的位置关系较多，大多数考查切线的性质与判定，通过与特殊的几何图形相结合，利用图形全等、相似、勾股定理或解直角三角形等知识综合解答图形中的有关计算问题，在问题解决过程中，既考察与切线性质与判定的证明，又考查学生运用恰当辅助线、特殊几何图形及圆等知识解决综合问题的能力,所以我们觉得还是要在这一块上做到足够的重视.二、学情分析

鉴于圆是九（上）学生所学内容，学生对圆的有关性质、与圆有关的位置关系还有较深的印象，这便于知识的归纳与梳理，圆的切线的判定定理与性质定理在较复杂的情境中运用时，如与几何图形结合，学生就得需要选择恰当的辅助线，进而分析、解决问题并进行方法的提炼，且能严谨、规范的进行解答，对学生要求较高，学习时较为困难，在教学中成为了课时顺利完成的不稳定因素.三、教学策略

本节课主要采用学案教学法，充分考虑学生已有经验和知识背景，通过“知识回顾——综合应用——方法总结”环节，环环相扣，步步为营展开教学，重点突出“圆的切线判定与性质的应用”，选择具有代表性的中考真题，进行适当的拓展、变式，在有关切线的证明过程中渗透计算，从而逐步突破难点，以期达到触类旁通的效果；通过调动学生积极参与课堂教学，教师侧重学法指导与归纳，对学生在活动探究的过程予以评价，并关注学生解答过程的合理性与完整性.

王老师结合中考题就圆中的有关证明与计算进行了复习，共分为三个部分：四、王玲霞老师所授复习课的解读知识点1：垂径定理及推论知识点2：圆周角定理及推论知识点3：切线的性质和判定

本节课王老师首先对圆中的垂径定理及推论、圆周角定理及推论、切线的性质与判定进行了复习，让学生在回顾知识后进行了中考试题的链接。

在活动中设计的题都是有代表性的，也是能够展示出学生技巧与能力的题目，如：第1、2题1、（2019宁夏第14题）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝，则⊙O的半径为

．设计意图：通过本题，体现出做题技巧的重要性，本题在数值方面只给出了弦长，但是用折叠的性质巧妙的把弦心距和半径的关系给联系了起来，然后运用勾股定理来计算出半径，既考察了“数形结合”的思想，又把折叠的性质、垂径定理、勾股定理的知识综合起来进行了考察。2、如图,四边形OBCD是⊙O内的四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是().

A.88°B.92°C.106°D.136°设计意图：本题既考察的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，又考察了学生的阅读能力，是2015宁夏中考题第6题的变式，看似简单却很容易出错，稍不注意就会把⊙O内的四边形和⊙O的内接四边形看错，体现了当下中考中对阅读能力提升的考察。（2015宁夏第6题）如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是().

A.88°B.92°C.106°D.136°

特别的要注意第3、4、5题这三道题，是“与圆有关的位置关系”的证明与计算，考查了切线的性质与判定，通过与特殊的几何图形相结合，利用图形全等、相似、勾股定理或解直角三角形等知识综合解答图形中的位置关系和有关计算问题，也是近几年中考试卷上比较容易出现的一类题目。3、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；设计意图：本题是2016宁夏第23题的变式题，通过对本题的证明来加深学生对切线的判定定理的运用和回顾在证明过程中添加适当的辅助线解决问题，提高学生运用知识的能力，培养学生解决问题与表述的能力。4、如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接OD．（1）求证：OD∥BC；（2）过点D作⊙O的切线，交BC于点E，若∠A＝30°，求的值．设计意图：本题是2019中考试题第23题，主要考察了切线的性质定理，通过走近中考真题，让学生分析、阐述解题思路，感悟中考题目的内在联系，体会特殊几何图形与圆之间的位置关系，提高学生解决问题的能力。5、如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=OB=4，求弦AE的长设计意图：本题考查了切线的判定定理，通过与特殊的几何图形相结合，利用图形全等和解直角三角形等知识综合解答图形中的位置关系和有关计算问题，使学生掌握证圆的切线的技巧，熟悉常用辅助线的添加。鼓励学生准确挖掘出图形中的隐含条件，主动参与探究活动，发表自己的见解，调动学生的积极性，培养学生综合应用知识的能力，达到举一反三的效果。五、对于中考中“圆”的复习策略

我们在复习“圆”的相关知识时，分成三大