高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形单元过关检测 文-人教版高三数学试题

第三章三角函数、解三角形单元过关检测（三）(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于第二象限的点P,则cosα+sinα= ()A. B.- C. D.-【解析】选B.由任意角三角函数的定义知sinα=,又α是第二象限角,所以cosα=-=-,因此cosα+sinα=-.2.记cos(-80°)=k,那么tan100°等于 ()A. B.-C. D.-【解析】选B.因为cos(-80°)=cos80°=k,所以sin80°==.所以tan100°=-tan80°=-=-.3.(2018·嘉兴模拟)将函数f(x)=cosωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位,若所得图象与原图象重合,则f不可能等于 ()A.0 B.1 C. 【解析】选D.由题意=·k(k∈N*),所以ω=6k(k∈N*),因此f(x)=cos6kx,从而f=cos,可知f不可能等于.4.(2018·广州模拟)为了得到函数y=sin(2x-)的图象,只需将函数y=sinxcosx的图象 ()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【解析】选D.因为y=sin=sin2,因此只需将y=sinxcosx=sin2x向右平移个单位即可.【变式备选】将函数f(x)=2sin(x+)+1的图象向右平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得函数y=g(x)的图象,则g(x)图象的一个对称中心为 ()A. B.C. D.【解析】选D.由题意y=g(x)=2sin+1,令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,令k=0可得g(x)图象的一个对称中心为.5.(2018·北京模拟)将函数f(x)=cos2x图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间[0,a]上单调递增,则实数a的最大值为 ()A. B. C. D.π【解析】选B.将函数f(x)=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)=cos2=sin2x的图象,令2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故当k=0时,g(x)在区间上单调递增,由于g(x)在区间[0,a]上单调递增,可得0<a≤,即实数a的最大值为.6.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,若它的终边经过点P(2,3),则tan= ()A.- B. C. D.-【解析】选D.依题意,角α的终边经过点P(2,3),则tanα=,tan2α==-,于是tan==-.7.已知sinα+cosα=,α∈(0,π),则sin(α+)的值为 ()A. B.C. D.【解析】选A.因为sinα+cosα=,所以sinαcosα<0,又因为α∈(0,π),所以α∈,所以α+∈,因为sinα+cosα=sin=,所以sin=,所以cos=-,sin=sin=sincos-cossin=×-×=.8.(2018·杭州模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈的图象如图所示,若f(x1)=f(x2),且x1≠x2,则f(x1+x2)= ()A.1 B. C. D.2【解析】选A.由题图知=-=,故T=π,所以ω==2,又f=0,所以2×+φ=0,φ=,故f(x)=2sin,又f(x1)=f(x2)且x1≠x2,不妨设x1=0,则x2=,所以x1+x2=,因此f(x1+x2)=2sin=1.9.(2018·淄博模拟)使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)是奇函数,且在上是减函数的θ的一个值是 ()A. B. C. D.【解题指南】利用辅助角公式化简得f(x)=2sin(2x+θ+),由于它是奇函数,故θ+=kπ,k∈Z,再讨论k是奇数和偶数,使f(x)满足在上是减函数得到θ值.【解析】选B.因为函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin是奇函数,故θ+=kπ,k∈Z,θ=kπ-,k∈Z.当k为奇数时,令k=2n-1,n∈Z,f(x)=-2sin2x,满足在上是减函数,此时,θ=2nπ-,n∈Z,选项B满足条件.当k为偶数时,令k=2n,f(x)=2sin2x,不满足在上是减函数.综上,只有选项B满足条件.10.(2018·长沙模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=1,c=2,cosC=,则△ABC的面积为 ()A. B. C. D.【解析】选C.因为a=1,c=2,cosC=,则sinC==,所以由余弦定理得:=,整理得2b2-b-6=0,解得b=2或b=-(舍),所以S△ABC=absinC=×1×2×=.11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为,半径等于4米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是A.6平方米 B.9平方米C.12平方米 D.15平方米【解析】选B.如图,由题意可得:∠AOB=,OA=4,在Rt△AOD中,可得:∠AOD=,∠DAO=,OD=AO=×4=2,可得:矢=4-2=2,由AD=AO·sin=4×=2,可得:弦=2AD=2×2=4,所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=(4×2+22)=4+2≈9(平方米).12.(2018·九江模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(2sinB+sinA)+(2a+b)sinA=2csinC,则C= ()A. B. C. D.【解析】选C.因为b(2sinB+sinA)+(2a+b)sinA=2csinC.所以由正弦定理可得:b(2b+a)+(2a+b)a=2c2,整理可得:b2+a2-c2=-ab,所以由余弦定理可得:cosC===-.因为C∈(0,π),所以C=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为________.

【解析】y=sin2x+=sin2x+cos2x+=sin+,故T===π.答案:π14.如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°,乙山山顶B的仰角为45°,∠APB的大小为45°,山脚P到山顶A的直线距离为2km,在A处测得山顶B的仰角为30°,则乙山的高度为________【解析】假设甲山底部为C,乙山底部为D,过A作AE⊥BD于点E.由题意可知∠APC=30°,∠BPD=45°,AP=2,所以AC=AP·sin30°=1,DE=AC=1,设BD=h,则DP=BD=h,BE=h-1,所以BP=h.因为∠BAE=30°,所以AB=2BE=2h-2.在△ABP中,由余弦定理得:cos45°===.解得h=2.所以乙山的高度为2km.答案:215.(2017·浙江高考)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是________,cos∠BDC=________. 【解析】因为在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,所以由余弦定理得cos∠ABC===,则sin∠DBC=sin∠ABC=,所以S△BDC=BD·BCsin∠DBC=,因为BD=BC=2,所以∠BDC=∠ABC,则cos∠BDC==.答案:16.(2018·长春模拟)非零实数a,b满足tanx=x,且a2≠b2,则(a-b)sin(a+b)-(a+b)sin(a-b)=__________.

【解析】因为非零实数a,b满足tanx=x,且a2≠b2,所以可得:b=tanb,a=tana,所以原式=(a-b)(sinacosb+cosasinb)-(a+b)(sinacosb-cosasinb)=2acosasinb-2bsinacosb=2tanacosasinb-2tanbsinacosb=2sinasinb-2sinasinb=0.答案:0三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2017·山东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a.【解析】因为·=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π,所以A=,又b=3,所以c=2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×2×=29,所以a=.【变式备选】(2016·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.(1)求B.(2)若cosA=,求sinC的值.【解题指南】(1)利用正弦定理实现边化角,化简得到cosB,结合B的范围得出B.(2)利用三角形内角和为π,将所求角化为两已知角的和,再根据两角和的正弦公式求解.【解析】(1)在△ABC中,由=可得asinB=bsinA,又由asin2B=bsinA得2asinB·cosB=bsinA,整理得cosB=,因为B为△ABC的内角,所以B=.(2)在△ABC中,sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),由cosA=得sinA=,所以sinC=sin=sinA+cosA=.18.(12分)如图,两同心圆(圆心在原点)分别与OA,OB交于A,B两点,其中A(,1),|OB|=,阴影部分为两同心圆构成的扇环,已知扇环的面积为.(1)设角θ的始边为x轴的正半轴,终边为OA,求的值.(2)求点B的坐标.【解析】(1)由A(,1)得|OA|=,则sinθ==,cosθ==,所以====.(2)设∠AOB=α,因为扇环的面积为,所以=α·|OB|2-α·|OA|2=α(|OB|2-|OA|2)=α·(6-3)=α.所以α=.由题意知B,因为cos===.sin===,即B.19.(12分)(2018·潍坊模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为.(1)当x∈时,求f(x)的单调递减区间.(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈[-,]时,求函数g(x)的值域.【解析】(1)由题意可得:函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin(ω>0,0<φ<π)为奇函数,所以φ-=kπ,k∈Z,所以φ=.因为相邻两对称轴间的距离为==,所以ω=2,f(x)=2sin2x.令2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),求得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),故函数的减区间为,k∈Z.结合x∈,可得f(x)的单调递减区间为.(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin的图象;再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)=2sin的图象,当x∈时,4x-∈,此时,sin∈,故函数g(x)∈[-2,].20.(12分)(2018·九江模拟)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R且f=.(1)求A的值.(2)若f(θ)+f(-θ)=,θ∈,求f.【解析】(1)因为函数f(x)=Asin,x∈R且f=,所以Asin=Asin=A·=,故A=.(2)由(1)得f(x)=sin,所以f(θ)+f(-θ)=sin+sin=2sincosθ=cosθ=,故cosθ=,又因为θ∈,所以sinθ==.所以f=sin=sin(π-θ)=sinθ=.21.(12分)(2017·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).(1)求cosA的值.(2)求sin(2B-A)的值.【解析】(1)由asinA=4bsinB,及=,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA===-.(2)由(1)可得sinA=,代入asinA=4bsinB,得sinB==.由(1)知,A为钝角,所以cosB==,于是sin2B=2sinBcosB=,cos2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=×-×=-.22.(12分)(2018·石家庄模拟)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sinθ=,0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时).(2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.【解题指南】(1)先根据题意画出简图确定AB,AC,∠BAC的值,求出θ的余弦值,再由余弦定理求出BC的值,从而可得到船的行驶速度.(2)先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q,根据余弦定理求出cos∠ABC的值,进而可得到sin∠ABC的值,再由正弦定理可得AQ的长度,从而可确定Q在点A和点E之间,根据QE=AE-AQ,求出QE的长度,然后过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离,进而在Rt△QPE中求出PE的值,再与7进行比较即可得到答案.【解析】(1)如图,AB=40,AC=10,∠BAC=θ,sinθ=,由于0°<θ<90°,所以cosθ==.由余弦定理得BC==10.所以船的行驶速度为=15(海里/小时).(2)设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中,由余弦定理得,cos∠ABC===.从而sin∠ABC===.在△ABQ中,由正弦定理得,AQ===40.由于AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,