2023年江苏省南京市建邺某中学高一年级下册学期期中考试数学试卷含详解

2022-2023学年南京市建邺高级中学高一下期中考试卷

一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1.已知向量a=（2,4）,b=（l,x）,且a/〃,则（）

A.2B.-2C.8D.-8

2.sin5Osin25O-sin95°sin65。的值是()

Bc.B

A-1-4D.一把

22

3.已知复数z满足z=（l+2i）（2+i）（i为虚数单位），则|z|=（)

A.2B.4C.5D.6

4.已知13110,13尸是方程；（：2-5*+6=0的两根,那么1311（2+/?）=（）.

A.1B.2C.-1D.-2

5.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人

称其为“赵爽弦图如图1,它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大

正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形

AB'C'拼成的一个大等边三角形48C,若A8'=2,cos/AgB'=2，则（）

6.如图所示，矩形A8CO的边A5=2,AL>=1,以点C为圆心,CB为半径的圆与CD交于点£,

若点P是圆弧（含端点B、E）上的一点厕•尸8的取值范围是（）

C.[0,2-272]D.[2-2>/2,0]

7.若乃J,且。Y（^£川+^叨卜亘地口叫分厕下列结论正确的是（）

A.2a+/?=yB.2a-p=^-

C.a+。=0D.a-/）=%

8.在，4?C中，已知ABAC=9,sinfi=cosA-sinC,S.=6,P为线段48上的点，且

八八CACB34x

。产二心可+门内,则一+1的最小值为（）

\CA\CBx3y

A.2+4>/3B.4C.3D.4+2百

二、多选题（共4小题,每小题5分，共20分）

9.（多选）关于平面向量a,0,c,下列说法中错误的是（）

A.若“〃〃且6//C,则a〃CB.[a+b^-c=a-c+b-c

C.若不力=a.c,且a40,则b=CD.（a-b\c=a（b-c^

10.己知复数z满足|z-i|=2（其中i是虚数单位），则下列说法中正确的有（）

A.|z|的最大值为3B.|z|的最小值为1

C.（z-i）2=4D.卜一2卜卜一到有且只有两解

11.已知4=（1,6）,。=（8$仇411。）厕下列命题正确的有（）

A.若。工b,则e=gB.a力的最大值为2

C.存在仇使|a+切=|“|+|。|D.卜-■的最大值为3

12.在；ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且3〃<：0$。+3<;<：058=42,则下歹!!说法

正确的是（）

A.若B+C=2A,则一ABC的外接圆的面积为37t

B.若A=：,且MC有两解，则6的取值范围为[3,3&]

C.若C=24,且“ABC为锐角三角形，则c的取值范围为93,36）

D.若4=2C,且$出8=2疝。,。为£加。的内心,则AOB的面积为更上

4

三、填空题（共4小题,每小题5分，共20分）

13.已知夕为第二象限角，且如(g+工)=亚厕3。=_________.

u4J10

14.已知点A(-1,0),8(1,0),点。为圆C:J+>2-6x-8y+17=0上的动点，则AB,AP的最大

值为.

7T17

15.已知常数8£(0,,),若函数/(%)在R上恒有/(-5+3工)=/(耳+3幻,且

[2sin7tx-1<X<1

/3)=।4।,，则函数y=/(x)-cos。-1在区间[-5,14]上零点的个数

[log2X\<x<3

是.

16.已知中,AB=l,AC=3,cosA=；^£在直线8c上，且满足：BE=AB+lAC(leR),

则|AE|=.

四、解答题(共6小题洪70分)

17.已知向量a=(-3,1),人=(1,一2),〃=a—eR).

(1)若w与向量2a垂直,求实数k的值；

(2)若向量c=(l,T),且〃与向量妨+c平行，求实数〃的值.

18.已知sin(2a-0='|,sin4=-£,且&仁仁,兀),求cos2a、sina的值.

19.如图，在中，。是BC的中点,E在边AB上,8£=2E4力。与CE交于点0.

20.在4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,h=4,(«-c)sinA-(b-c)(sinB+sinC).

(1)求角B；

(2)求△ABC周长的最大值.

21.已知向量4=,05%5吗，6=卜0$[,-$呜),且丁(0目.

(1)求a-b及,+。|；

(2)若〃力=。⑦-2刖+耳的最小值为求正实数，的值.

22.如图，某小区有一块空地,ABC,其中A8=50,4C=50,NBAC=90。,小区物业拟在中间挖一个

7T

小池塘△/!£下£/在边BC上(E,尸不与B,C重合，且E在8/之间)，且NE4F=-.

⑴若8E=10&,求所的值；

(2)为节省投入资金,小池塘AAEF的面积需要尽可能的小.设ZE4B=6,试确定6的值，使得

△AEF的面积取得最小值,并求出AAE尸面积的最小值.

1.A

【分析】

由平面向量共线的坐标表示可求得x的值.

【详解】

由已知可得2x=4,解得x=2.

故选：A.

2.D

【分析】

根据三角函数的和、差公式计算即可.

【详解】

原式=sin5°sin25°-cos5°cos25°=-cos(25°+5°)=-

故选：D.

3.C

【分析】

利用复数的乘法运算法则化简后,计算模即可.

【详解】

z=(l+2i)(2+i)=2+i+4i-2i?=5i,

#1=5,

故选：C.

4.C

【分析】

2

根据tana,tan/是方程x-5x+6=0的两根，利用韦达定理得到

tana+tan万=5,tanc-tan分=6,再利用两角和的正切公式求解.

【详解】

解：因为tanajan£是方程方-5x+6=0的两根,

所以tana+tan6=5,tana♦tan方=6,

tana+tan/?_5__1

所以tan(a+/)==

1-tan«-tanp1-6

故选：C

5.C

【分析】

由同角关系求sinZABB',由两角差正弦公式求sin设88'=f,由正弦定理求f,由余弦定

理求A8.

【详解】

因为cosAABB'=《，ZABB'e((),兀),

所以sinZABB'=Jl-cos?NA88'=—

14

(60-NABB，=笔

而ZAB'B=120,sinZBAB'=sin

在_ABB'中，设=则4?'=f+2,

t+2

由正弦定理得,解得f=3,

sinNBAS'sinNAM'

由余弦定理AB2=BB'2+AB'2-2BB'-AB'cosZAB'B=49,

所以AB=7.

故选：C.

6.D

【分析】

建立坐标系,表示出P的坐标，利用数量积的运算结合三角函数的性质可得答案.

【详解】

以点C为原点，以直线EC为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系，

3兀

则A(-2,-1),8(0,7),设P(cos0,sin。),(TC<^<—),

•*-PA=(-2-cos0^—1—sin0),PB=(-cos0,-1—sin0),

PAPB=2cos6»+2sin6,+2=2V2sin(61+-)+2,

4

巴J,

444

-1<sin(^+—)

42

•••2-2y/2<PAPB<0,

•••RVPB的取值范围是[2-2&,0].

故选：D.

【分析】

由。€信乃)及二倍角的余弦公式可得sina(l+sinp)=cosacos夕,根据两角和的余弦公式可得

sina=cos(a+0,由诱导公式及以力的范围即可求解.

【详解】

a,/?e(5,;r),二.sina#O.

由(1-cos2<z)(l+sin/?)=sin2acos^，可得2sin2a(l+sin/7)=2sinacosacos/?,

艮|Jsina(l+sin/?)=cosacos/7.

/.sina=cosacos/y-sinasinp=cos(cr+^),

/.cos(a+/?)=cos^y-a^,

口,匹停“"<£+尸<2%,且一、苫-&<0,

根据函数丫=。。5工易知：a+£=]-a+2〃,即得：2a+p-.

故选：A

8.C

【分析】

xy,

因为P为线段A3上的点，所以A、B、P三点共线，根据向量共线定理可知向+向=1,根据

34x

题中三角函数关系解出三角形三边长，最后利用基本不等式即可求解二十r的最小值.

x3y

【详解】

AB-AC=9,:.bccosA=9,

6=SABC=—bcsinA,

4

/.taiWA=—,

3

一443

sinA=—,cosA=—.

55

：.bc=\5.

sinB=cosA-sinC,

,3

••F

件=15rb=3

k3，解得<

b=—cc=5

5i

a2=b2+c2-2bccosA=32+52-18=16.

a—4.

CACB

CP=x->—I+y-1—I

1可1调

:.CP=；x.CA+；yCB

11,

:.-x+—y=\

34

3y=12-4x>0.解得0cxv3.

mil34x34x3x.3-x+e=3,

x3yx12-4xx3-xx3

当且仅当U3—x=4x,即X=3：时，等号成立.

x5-x2

故选：C.

9.ACD

【分析】

A.由向量/?=0判断；B.由向量的运算律判断;C.由数量积的运算律判断；D.由向量共线判

断.

【详解】

A.若向量，=0,则a,c不一定平行，故错误；

B.根据向量的运算律可知,B正确；

C.4包=无。0小（〃一e）=0,且所以/?=°或。J_（b-。）,故错误;

D.(a.^Ac表示与向量c共线的向量,“-(b-c)表示与向量a共线的向量,(a4),。与・c)不

一定相等，故错误.

故选：ACD

10.ABD

【分析】

根据复数模的展开公式，得到复数z的轨迹方程，即可判断出A、B选项；只有实数或者纯虚

数平方等于实数，由此可判断C；根据复数模的展开公式展开卜-2卜卜-利求解即可判断D

选项.

【详解】

解：设z=x+yi,(x,ywR),

因为|z-i|=2,

所以》2+(广|)2=4,点的轨迹是以(0,1)为圆心，以2为半径的圆，

IZ|的最大值为7o2+l2+2=3,最小值2-712+02=1,A,B正确；

只有实数或者纯虚数平方等于实数，所以(z-i)2不一定等于实数4,C错误；

由|z-2b|z-2i|得,J(x-2)2+y2=J彳2+(y-2)2,

整理得,①，

因为=2②，

①②联立只有2解,D正确.

故选：ABD.

11.BCD

【分析】

根据向量的数量积公式即可求解AB,当a,b同向时，则有|a+6|=|a|+闻,将卜-司转化为三

角函数的最值问题即可求解.

【详解】

依题意，

对于A：a上b=0,

(

EP67'/?=(l,G)・(cose,sinO)=6sin6+cos8=2sin6+.=0,

7Tjr

所以。+工=配,四€2)=，=E一2任€2),故人错误;

66

对于B：由A知。心=2sin(e+^),

■jrrrrr

所以当。+上=2+2E,(％£2)=6=2也+!(％£2)时,

623'

有最大值2,故B正确；

对于C：当9=1时,“=(1,6),匕=

2,~2

a+h3

=(1,6)+2'2)

25

所以|a+/?|=3,

l4=J+(可=2,W=

=1>

所以14+/|=|a|+仍I,故C正确;

对于D：a-b=(l,6)-(cose,sin6)=(l-cose,百-sind),

所以,_司=(l-cos0『+(百_sin。)

=5-(2\Z5sin，+2cose)=5-4sin(e+e),

当sin(0+/)=-l,

jrjr2冗

即e+—=——+2E,(Z£Z)n6=——+2版,(左£2)时・，

623

\a-b^取得最大值9,所以卜-司的最大值为3,故D正确.

故选：BCD.

12.ACD

【分析】

根据条件36cosc+3ccosB=a?求出a=3.

选项A：根据条件8+C=2A求角A,根据正弦定理求外接圆的半径，从而求外接圆的面积；

选项B：由余弦定理得9=〃+°?一伤c,将此式看作关于c的二次方程,由题意得此方程有两

个正解，求得b的取值范围；

选项C：根据正弦定理把边c表示为6C0SA,利用为锐角三角形求角A的范围，从而求

边c的范围；

选项D：利用正弦定理求出角C,从而判断出..A3C是直角三角形，利用直角三角形内切圆半

径公式求一43c的内切圆半径，从而求408的面积.

【详解】

因为36cosc+3c^cosB=a2,所以由正弦定理,得3sin8cosC+3sinCcos8=asinA,

即3sin（8+C）=asinA,

因为4+3+。=兀,所以$111（8+。）=$也4,且$出/1*0,所以。=3.

选项A：若8+C=2A,则A=1,

所以ABC的外接圆的直径2/?=三=26，所以R=G,

sinA

所以一ABC的外接圆的面积为无x（石丫=3加，选项A正确；

选项B：由余弦定理a2=b2+c2-2仇,cosA得9=b2+c2-垃be，将此式看作关于。的二次方程

一一9＞0

c2-万＞c+b2-9=0,由题意得此方程有两个正解，故"伍）2_4（/_9）＞0，解得〃

«3,3垃），所以选项B错误；

c

选项c：由正弦定理，得一二=,Epc=2acosA-6cosA,

smAsin2A

0<A<-0＜A（一

22

因为为锐角三角形，所以，0<B<y，即.0＜兀一34＜四,所以&＜4〈二，

264

0<C<-0<2A<-

22

所以c=6cosAe（30,3g），故选项C正确；

选项D：因为sinB=2sinC,所以。=2c,

因为A=2C,所以sin8=sin（A+C）=sin3C,

hc2「c

所以由正弦定理一得即sin3C=2sinC,

sinBsinesin3Csine

所以sin2CcosC+cos2CsinC=2sinC,

即2sinCcos2C+2cos2CsinC-sinC=2sinC,所以2cos?C+2cos2C=3,

所以高c],又因为A=2C,所以C='=，b=2瓜c=5

即_45C是直角三角形，所以内切圆的半径为/'=g(a+c-切=三叵

所以A08的面积为S=4"='xGx三立=36-3,选项口正确

2224

故选：ACD.

【点睛】

在三角形中，常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是(0,万),如8=(,

则AG(0,g),特别是在求值域问题时会用到.

②在锐角三角形中，不要只考虑A,B,Ce(0,5),还要想到另外两角之和在(方,兀)内，若再知其

中一角，要考虑其它角的范围，如B=f，则A==-C<g,所以若知其中两角关系,

33263

0<A<-

2

也要考虑角的范围，如在本题中A=2C,综合三个角为锐角有0〈兀-3AM,得，AM.

264

0<2A<-

2

13.4

【分析】

071

根据d的范围可求得?+?的范围，结合sin一十一>0可确定与+(为第二象限角，结合同角

24

071

三角函数关系求得cos一+一，利用二倍角公式和诱导公式可求得cos氏由同角三角函数关

24

系可求得结果.

【详解】

。为第二象限角，...2k;r+5<e<2br+7^€Z),

0n3V10c.r,、兀0冗c,34(,

又sin=------->0,••2攵TTH<1<244H-----(kEZ)

24102244'9

e7i67C

/.cos一+一<0,.,.cos1-sin2

2424

•■.2sin(3+jcosg+?)=sin(6>+m=cos，=-',又6为第二象限角，

sin0=Vl-cos20=—tan0=‘出"=--.

5cos03

4

故答案为：

【点睛】

易错点点睛：已知三角函数值求解函数值时,易错点是忽略角所处的范围，造成在求解三角函

数值时出现符号错误.

14.8+4夜

【分析】

根据向量乘积公式可知，若求A5.A尸的最大值，则需要找到AP在AB上的投影的最大值即可,

画出题中圆方程所示圆，根据几何关系即可找出求解.

【详解】

圆的标准方程为：(X-3)2+(>-4)2=8，圆心为(3,4),半径为R=20,

AB-AP=\AB\\AP\'cosNPAB,

当点P动到S点时,卜内•cosZPAB取得最大值，即为AS在AB上的投影,

y.AB-AP=\AB\-\AP|-cos^PAfi=|AB|-|AT|=2x(l+3+2V2)=8+4V2.

15.15

【分析】

I7

根据f(-5+3x)=f(；+3x)可得函数周期，作出函数一个周期上的图象,利用数形结合即可求

解.

【详解】

17

函数/(x)在R上恒有/(--+3x)=/(-+3x),

•■,/H+3X)=/H+3X+4

•••函数周期为4.

常数匹(0中,

.".COS0+1e(l,2),

函数y=/(x)—cose-1在区间[-5,14]上零点，即函数y=/(x)(xe[-5,14])与直线y=1

及直线y=2之间的直线的交点个数.

[2sin7ix-1<x<1

由/(犬)=।4।,，可得函数/⑺一个周期内的图象做草图如下：

[log2xl<x<3

由图可知,在一个周期内，函数y=/(x)-cos6-l有3个零点，

故函数y=/(x)-cos6-l在区间［-5,14］上有15个零点.

故填15.

【点睛】

本题主要考查了函数零点的个数判断,涉及数形结合思想在解题中的运用，属于难题.

16.710

【分析】

^BE=ABC=A(AC-AB)=AB+IAC，得BE=—BC,由余弦定理解得8C,再利用向量线性

运算得AE=AB-BC,则|AE|=&AB—BC『展开即可得结果.

【详解】

设BE=28C=/l(AC-A8)=4B+/AC,所以/=/l=T

故8E=-BC,则AE=AB+BE=A8-BC

由余弦定理的cosA=A8-+AC__8C-=，又《二3

2ABAC4

所以BC=典，贝I]23ABe•cosB=8*+Be?-AC?=J.

22

由|AE|=4AB-Bcj=YIAB'-2ABBC+BC'=^l+^+y=VlO

故答案为：Vio

【点睛】

关键点点睛：本题的关键先求解1=一1，得BE=-3C,然后再由向量模计算方法运算.

【分析】

(1)求出及=(—3—4,1+2&),解方程(-3-Qx(-7)+(l+2幻x4=0即得解；

(2)由已知得妨+c=(A+L—2A—1),解方程(一3-4>(-2"1)=(1+2幻曲+1)即得解.

【详解】

(1)由已知得“=a-Z〃=(一3—&,1+2%),

2a-h=(-JA),

所以〃"2”6)=0,

即(-3-)t)x(-7)+(l+2jl)x4=0,

解得人=-|;

(2)由已知得左6+0=(左+1,—2左一1),

因为“〃(姐+c),

所以(-3-&)-)=(1+2幻.(/+1),

解得

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识

的理解掌握水平.

c_56.37130

1O8.cos2a-~~,sina=------

65130

【分析】

求出2a-£的取值范围，利用同角三角函数的基本关系可求得cos（2。-/?）、cos^,利用两角

和的余弦公式可求得cos2a的值，再利用半角公式可求得sina的值.

【详解】

因为ae（玄兀），夕€（-],（）），则兀<2a-£<与，

因为sin（2a-£）=|,sin/?=_^|^27t<2a_,<:£,

所以,cos（2a_g）=Jl_sin2（2a_0==~>

8s£=正面£[1一局）*，

cos2a=cos[(2a-〃)+/?]=cos(2a-(3^cosy?一sin(2a-⑶sin£

453(12、56

—x---------x-------=——

5135I13J65

3V130.

130

111

19.⑴EC=——A8+AC,AO=-A8+—AC；

344

唬=6

【分析】

（1）由EC=AC-AE即可求出EC;设40=44。，60=〃£<7,由向量的线性运算分别得到

21

40=]（48+40）,40=亨48+〃4（7,解出入〃,即可求得40;

1132

（2）利用（1）中结论结合数量积运算律求得6Ao-EC=-=AB-+AB-AC+=AU,进而得

22

123o

到_A8=二AU,即可求解.

22

【详解】

（1）EC=AC-AE=--AH+AC,

3

设AO=AAD,EO=,则AO=AAD=—+AC),

又AO=AE+EO=AE+〃EC=AE+〃(AC-AE)=(1-〃)AE+〃AC=^1^A8+〃AC,

A]—〃

A=-

2~~3211

所以;，解得所以AO=/8+/C；

144

1­2=〃户

(2)64O.EC=6.(；A8+；Ac)

AB+AC\=6\-—AB2+-ABAC+-AC2

I1264

1232

=——AB+A3AC+—AC,

22

则ABAC=--AB2+ABAC+-AC[所以』AB，=3AC?,所以\AB(=31Ad|21所以

2222IIII

71

20.(1)B=_；(2)12.

3

【分析】

(1)利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，由此求得cosB进而,求得从

(2)将a+c表示为角的形式，结合三角恒等变换以及三角函数最值的求法，求得三角形ABC

周长的最大值.

【详解】

(1)由正弦定理知，三b

sinBsinC

V(a—c)sinA=(b—c)(sinB+sinC),

/.(。-。)。=(0-。)(。+，),整理得a2+c2-/?2=ac,

由余弦定理知,cos8="N/二优=必=1,•；3e(O,万)，B=9.

laclac23

IT27r

(2)由(1)知|,8=5，；.A+C=,

«_c_Z?_4_8

由正弦定理知,sinAsinCsinB尸G，

,3

8.8,

/.a=—i=sinAc=—j=sinC

6G

/.a+c=-^-(sinA+sinC)=-^=军.A

sinA+sin

MinA+^cosA+lsinAk4--A+^cosA

氏22J022

当A+m=g,即A=g吐〃+c取得最大值，为8,

62J

...“+计匹8+4=12,故△ABC周长的最大值为12.

21.(1)a/=cos2x;|a+〃|=2cosx；(2)A=—.

【分析】

(1)计算得a力=cos2x,由cosxNO,卜+。[=4cos、开方即可；

(2)/(X)=2cos2x_4/lcosx-l=2(cosx-/l)2-1-222,cosxw[0,l],讨论彳和1的大小，求最值

即可.

【详解】

3x,3.x

(1)a-b=cos—xcos--sin—xsin—=cos2x

2222

f3x.3.x)

.〃+/?=cos—x+cos—,sin—x+sin—,

(2222/

=2+21cos-xcos--sin-xsin-I=2+2cos2x=4cos2x.

V0,yCOSX之0,因此卜+,=2cosx.

(2)由(1)知/(x)=cos2x-4Acosx=2cos2x-4/lcosx-1,

/(x)=2(cosx-/l)2-l-Z/l'cosxGpl],

①当0＜义＜1吐当COSuX=2时，

“X)有最小值-1-2万=-£4,解得4=j1

②当/INI时，当cosx=l时,/(x)有最小值1-4/=-耳,

A=|(舍去)，综上可得义=工

o2

22.(1)身也

4

(2)1250(72-1)

【分析】

（1）在—E48中，利用余弦定理、正弦定理求得sin0=*，在△ACE中，利用正弦定理结合

三角恒等变换可求C尸,即可得结果；

51250

（2）利用正弦定理用6表示隹示尸，再结合条件得到“心,.而（26+巴）+1，最后根据三

角函数的性质求最值即可.

【详解】

（1）由题意可得+=50、历，

设N£A8=，e（0,&］，则/以。=二一。,/4代=q+6,

I4）42

在.EAB中，由余弦定理AE2=AB2+BE--2ABBE-cosZABE,

则AE?=502+（10V2）2-2X50X1072=1700,BPAE