2023年高考数学第19讲 轨迹方程的探求

第19讲轨迹方程的探求——几何法、参数法、交轨法

一、知识概要

常见求轨迹方程的方法归纳

(1)几何法.认真分析动点运动的变化规律，可以发现图形明显的几何特征，利用有关平面几

何或解析几何的知识将动点运动的变化规律与动点满足的条件有机联系起来，再利用直接法得

到动点的轨迹方程,称为几何法.

(2)参数法.若动点运动变化情况较为复杂，动点的横纵坐标之间的等量关系式难以尽快找到,

可以适当引人参数(一个或多个中间变量)，通过所设参数沟通动点横纵坐标之间的联系，从而得到

轨迹的参数方程，进而消去所设参数得出轨迹的(普通)方程,称为参数法.

(3)交轨法.若所求轨迹可以看成是某两条曲线(包括直线)的交点轨迹时，可由方程(组)直接消

去参数，地可引人参数来建立这两条动曲线之间的联系，再消参而得到轨迹方程，称为交轨法.实质

上交轨法可以看作参数法的一种特殊情况.

二、题型精析

【例1】(1)解方程：，龙2-10》+26—＞/_?+10%+26=6；

(2)求函数/(x)=y/x4-3x2-6x+13-yjx4-x2+1的最大值；

(3)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C：/+了2=1,动点加到圆。的切线长与|的

比等于常数九(几＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.线

【策略点击】本例三小题中前两题并非轨迹题，如果直接解方程或求无理函数的最值都相

当困难.如果通过构造几何图形找到相应的轨迹方程，则问题可以迅速获解.第⑶问求动点M的

轨迹方程，构造与点M相关的几何图形,找到等量关系，就可用直接法求解，这其中几何图形的寻

找是关键.

解:(1)原方程可以等价变形为J(x-5)2+1-J(X+5)2+1=6.

令1=V厕有7(x-5)2+(y-())2-J(x+5)2+(yT))2=6.

设尸(羽y),6(-5,0),8(5,0),则有|%|一|P4|=6,点P的轨迹为以为(一5,0),4(5,0),为

焦点的双曲线左支.2a=6,。=3,。=5,从=。2一/=16，于是构造了双曲线：

—■——1(*,—3).与y2=1联立解得x=±，八-,

9164

⑵将给定的函数表达式变形为f(x)=y/(x-3)2+(x2-2)2一,=+12一］)2,问题转化为

求点到点43,2)与3(0,1)距离之差的最大值而P点的轨迹为抛物线＞,如图所

示，由A,B的位置知直线AB必交抛物线y=f于第二象限的一点C,由三角形两边之差小于第

三边可知P位于C时J(x)才能取到最大值.

最大值/(%)_■AB\=7(3-0)2+(2-1)2=M

（3）如图所示.设直线MN切圆于点N,则动点M组成的集合是

「=｛知|政7|=2|加。|（/1>0为常数）｝.

圆的半径|ON|=1.|『一|ON『一1.

设点M的坐标为（x,y）厕4+/一1=一（一产+产

整理得（万-1）12+力―4於；+（1+4；12）=0,讨论如下:

⑴当A=1时，方程化为x=[，它表示一条直线该直线与x轴垂直，交x轴于点（：,0）

22'2j2、

2A21+32

⑵当/Iwl时，方程化为x-+y-=它表示圆心在k二,0，半径为

11+3公

下可的圆，

【例2]⑴已知圆/+>2=1,点A（1,O）,A46c内接于圆，且NB4C=60°,当在圆上

运动时,8。中点的轨迹方程为；

（2）已知抛物线y2=4Px（p>0），过顶点的两弦OA,OB互相垂直，则分别以04,OB为直径

的两圆的另一交点Q的轨迹方程为

【策略点击】第⑴问，由于3,C两点在圆上运动，可以利用圆的参数方程，结合三角函数知识

求解，由于8,C的运动受到范围的制约,在消去参数时必须把x的取值范围确定下来.第⑵问，运

用参数法求轨迹方程，如何选择参数,方法并不单一，根据参数的不同选择可以有多种解题方法.

解:⑴由于B,C两点在圆%2+=1上,可设点3（cosa,sina）,点C（cos£,sin£）.

NBAC=60°,ZBOC=120°.;/=a+120。,且Q,a<240°,

设线段BC中点为M（x,y），由中点坐标公式得

_cosa+cosJ3

X—

<2

_sintz+sinp'

由于〃=a+120。，

则x='（cosa+cos[cosa+cos（a+120。）]

2[16.]ri8.1=gcos（a+60。）

cosa——cosa---sina—cosa-——sina

222,222J

1

—cos（x+60。）①

2

同理,y=；sin（a+6（）。）.②

①2+②2可得f+y2=j.

4

0°„a<240°,/.60。,，a+60。<300°,

则—L,©05（°+60。）<5，即—5，,l<1.

综上所述，线段中点的轨迹方程为八y'；1

x<一

4

⑵解法二选择直线04斜率Z为参数，04的方程y=kx，代入丁=4内，可解得

则以04为直径的圆的方程为

2222

+y0=>kx+ky-4px-4pky-0.

同理以-I代替鼠可得以OB为直径的圆的方程为x2+V-4R?x+4p由=0.两式相加

k

可得+y2-4px=O(xH0)，故所求轨迹方程为X2+y2_4px=0(xH0).

解法二选择A3点的坐标为参数，并设直线AB的方程为x=my+a(a#0),

P(x,y),A(%,乂),8(%,%)

由OM_LAB,得m~~—，由y?=4px得x=〃w+a消去x得y?-4pmj-4pa=0，故

X

(、2

y%=Pdxx=a2

t2I4pJ

由OA_LO5得x%=_%%2=>Q2=4pa=>Q=4p.

故X=阳+4〃.将m=一上代入化简可得x2+y2-4px=0（x*0）即为所求.解法三选择

X

48点的纵坐标为参数,设「。,丫),4三,x],

，必

14P；/

=Tny%=T6p2①

OAJ_OB<=>kOA-kOB=—1o

4〃X4〃%

又3日去…皿

4〃4P

由OM_LABo上•您B=—1=>上=一乂+%.

x"x4p

直线AB的方程为y=^—\龙一三］+xny=也」+上工.③将①0)代入③整

乂+%14PJ>i+>2X+%

理消去参数%,当，可得x2+y2-4px=0,

当M+必=0时，可得A(4p,4p),B(4p,Yp),Q(4p,0)也适合上述方程.

又•.•AB不能与原点重合，故xR0.

故所求轨迹方程为d+V_4px=0(xH0).

【例3】求两直线4ix-2my+2=0,l2：2，?《+旷—4m=0的交点轨迹方程.

【策略点击】解答本题的关键是审题要细致，运用交轨法求轨迹方程不是单纯地消去参数加

就可以了，寻找两直线的特征，可以发现/,与/,各过定点，而且还可以发现(1/2，从而为运用向量

知识求解创设了条件，进一步分析，可以发现仁，0,又为轨迹中去掉某些点提供了依据，否则，不能

保证轨的方程的对应关系.此外，在使用直线的斜率时，还要考虑斜率不存在的情况,使解题过程严

密.这是轨迹探求题中不能疏忽的地方.

解：；直线/,过定点M(―2,0),直线/2过定点NQ,0).

当mW0时，它们的斜率分别为=—,k=-2m,

2m2-

.•.",=」一•(一2⑶,设P(x,y)为4与/，的交点.则

2m

PM=(-2-x,-y),PN=(2-x,-y).•.・/14，即「加，尸"，故尸M•PN=0,于是有

(-2-x)(2-x)+(—y)(—y)=0,化简，得/+丁=今

又仁=_L工o,故4与右的交点不能是N(2,0).否则，若N是4与/,的交点，则Ne人,此时

2m

直线4即为直线MN,其斜率&=0,这与女产0矛盾.当利=0时，易知4与4的交点为(-2,0)也

适合方程一+/=4.

故所求的轨迹方程为f+y2=4(xH2).

方法提炼

(1)几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足

的条件，从而得到动点的轨迹方程，有时候几何图形并非一目了然，需要构造法引路.

⑵参数法是指引入一个中间变量(参数)，使所求动点的横、纵坐标${x,y}$间建立起联系，然后

再从所求式子中消去参数得到$仅阴$之间的直接关系，即得到所求轨迹方程.参数的选择有时不

唯一面参数的范围确定曲线的范围限定是个难点.

(3)求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数,或者先引人参数来建立这些曲线的联系,

然后消去参数得到轨迹方程.

三、易错警示

【例】已知两点P(—2,2),Q(0,2)以及一条直线/:y=x.设长为血的线段A5在直线/上

移动.如图所示.求直线F4和QB的交点M的轨迹方程(要求把结果写成普通方程).

错解:设QB所在直线的斜率为勺(由题设知匕。1),则Q5所在直线方程为y-2=K【①

y-2=k,x,2

解方程组，1得点6横坐标4=丁丁.

y=x.1-Kj

设PA所在直线的斜率为k2(由题设知自。1)，则PA所在直线方程为y-2=2).

、y-2=k0(x+2)2k.+2

由方程组.-解得点A的横坐标乙二

y=xl-k2

由|且A,6在直线y=x上,「•％八一/=J^sin?=l.

即华=2=三+1.解得仁=养二!代入①，得QB所在直线方程为y=学=x+2.

\-k2\-kt3&2+13^2+1

M点是胡所在直线与QB所在直线的交点，

y=~-x+2(§)

••.M的轨迹方程为r3%+1

y=&(x+2)+2③

由③得X=三，代入②彳导点M的轨迹方程为r+3/-4xy+10x-10)+8=0.

【评析与正解】上述解法中对线段的长度与线段两端点坐标的关系不够清楚，忽视了点A在

点B左侧，应有乙＜乙,而由IAB|=V2得出了错误的结论xA-xB=l导致后面一错再错.

正确的解法补充如下：

解由|AB|=，根据题意得xs-xA=l,gp-华二=1,

1一占1一&

•••可解得仁=竺?,代入①得QB所在直线方程为'=学1》+2,

3+&3+左2

•••M是Q4所在直线与QB所在直线的交点，点M的坐标满足这两直线方程，

,3&2+1「

y=--——x+2

「•点M的轨迹方程为；3+&

y-2=&(x+2)

2

消去k2得点M的轨迹方程为x-/+2x-2y+8=0

四、难题攻略

【例】(2016年高考数学全国卷卷第20题)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，平行于x轴

的两条直线/,,/2分别交C于A,3两点，交C的准线于P,Q两点.

⑴若F在线段上，尺是PQ的中点，证明ARHFQ-,

(2)若APQF的面积是MBF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

【破难析疑】第(1)问，设出直线4%的方程，然后结合执物线的方程分别表示出的坐标，然后

通过证明直线AR与直线的斜率相等即可证明结果.第⑵问，可以设/与x轴的交点。(司,0),

即引进坐标参数,根据面积关系确定出川的值,然后设出满足条件的A8的中点E(x,y)，分情况

讨论即可得到AB中点的轨线方程，还可以用点差法求解.

解：(1)证明：由题设F||,oj,设lt:y=a,l2;y=b.则ab#O,且

记过两点的直线为/,则/的方程为2x—(a+b)y+"=O.

由于F在线段A8上，故1+"=0,1=—".

设AR的斜率为kt,FQ的斜率为屋，则4=±4=-^?=1.=0=一/,=e....

1+Qa—abaa

AR//FQ

(2)解法二设/与x轴的交点为。(玉,0),

则S.BF=g仍一。||F£>|=；/一。|X-(，S.QF=.

由题设可得不一工=乌卢，=0(舍去)，X]=L

222

设满足条件的AB的中点为E(x,y),

t

当AB与x轴不垂直时，由k=k可得--=，而

ABDEa+hx-]2

V=x-\(x^1)

当AB与x轴垂直时,E与D重合，即E(1,O)满足丁=x—1.

•••所求轨迹方程为V=x-1.

解法二由解法一知AB恒过定点(1,0)，设A3中点M(%,%)•

V2=2x

又