2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷（文科）及答案解析

2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷(文科)

一、单选题(本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4=V3},B={x|2—%<1},则4nB=（）

A.{x|l<x<3]B.{x\x<1}C.{x\x<3}D.0

2.已知双曲线小胃一，=1（（1>0/>0）的一条渐近线的斜率为2,焦距为26，则。=（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知向量|N|=2,IKI=1»且I五—31|=则向量五花的夹角是（）

A.B.IC.vD.g

6o3J

4.如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代

数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色,

每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是()

11C1D1

----

A.8432

5.已知函数/(x)=—2cos(2x+今sin2x—微贝U()

A./(x)的最小正周期是兀

B./(x)在弓币上单调递增

C.f(x)的图象关于点有+工,0)(keZ)对称

D.fQ)在［-4,0］上的值域是［一1,争

6.在锐角△4BC中，角48,C所对的边分别为a,b,c.己知bcosA-acosB=a,则Ws讥B+

2sin2A的取值范围是()

A.(0,73+1)B.(2,V3+1)C.(1,3］D.(2,3］

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

X-y—30

7.已知实数％,y满足约束条件卜N2，则z=x+y的最大值为一.

y<3

8.已知a是第二象限角，且sin(a+是=4,则sin(2a+/=—.

O35

9.己知f(x)是定义在［-4,4］上的减函数，且/(%)的图象关于点(0,1)对称，则关于x的不等式

/(2x)+/(x-3)+3x-5>0的解集为—.

10.已知抛物线：y2=8x的焦点为产，过点F作两条互相垂直的直线"，%，且直线％分

别与抛物线C交于4B和D,E,则四边形40BE面积的最小值是—.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

11.(本小题12.0分)

国际足联世界杯(F/FAWo包dCizp),简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征

足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事.2022年卡塔尔世界杯共有32支球

参加比赛，共有64场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看世

界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表:

(1)求a的值，并完成列联表;

少于32场比赛不少于32场比赛总计

男球迷a+20Q+20

女球迷a+40a

总计

(2)若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请

判断能否有95%的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.

2

其中n=a+b+c+d.

参考公式：吟…黑花)

参考数据:

P(K2>fc0)0.100.050.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

12.(本小题12.0分)

已知正项数列｛斯｝的前n项和Sn满足4Sn=吗+2an.

(1)求｛an｝的通项公式；

⑵设时=工总目数列也｝的前n项和为彩，证明：〃<；.

13.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，四边形ABCD是直角梯形，AD1AB,AB//CD,PB=CD=

2AB=2AD,PD=y[2AB,PCIDE,E是棱PB的中点.

(1)证明：PD1平面4BC0；

(2)若F是棱力B的中点，AB=2,求点C到平面。EF的距离.

14.(本小题12.0分)

已知椭圆E：，+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为居，F2,E的离心率为争斜率为k的

直线，过E的左焦点，且直线I与椭圆E相交于4,8两点.

⑴若k=1，\AB\=l，求椭圆E的标准方程；

(2)若弱=5,需=：，k<0,求k的值.

15.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=ex-axe2-7.

(1)当a=2时，求曲线y=f(%)在％=2处的切线方程；

(2)若对任意的％N0,/(%)之恒成立，求Q的取值范围.

16.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为［J二::・嘉。s%(a为参数)，以坐标原点。为极

点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线［的极坐标方程是2pcos。-psind-1=0.

(1)求曲线C的普通方程和直线1的直角坐标方程：

(2)若直线2与曲线C交于4,B两点，点P(0,-1),求高y+高的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：A=[x\x<3],B={x|2-x<1}={x\x>1},

/InB={x|l<x<3}.

故选:A.

解不等式求得集合B，由交集定义可求得结果.

本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：双曲线C：真一，=1（。>0/>0）的渐近线方程为3/=±3，

由题意可得2=2,

a

即有b=2a,又c=2面，a2+b2=c2,

a=1.

故选：A.

求出双曲线的渐近线方程，可得b=2a,由a,b,c的关系和离心率公式计算即可得到所求值.

本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程，考查运算能力，属基础题.

3.【答案】D

【解析】解：■■\a-3b\2=\a\2-6a-b+9\b\2=13-6a-b=7>

.••a-b=l>

.r.ab1

•・30而『，

又<a,b>G[0,7r]>

•••<a,b>=

故选：D.

由|Z-35『=7可求得苍.b，根据向量夹角公式可求得结果.

本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：将四块三角形区域编号如下,

由题意可得总的涂色方法有24=16种，

若相邻的区域所涂颜色不同，即12同色，34同色，故符合条件的涂色方法有2种,

故所求概率P==

ioO

故选：A.

根据古典概型概率的计算公式即可求解.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：/(x)=-2(|cos2x——■sin2x)sin2x-■y=V3sinz2x-sin2xcos2x--y

.々兀、

=V-3-----V-3cos4.x--1sm.4.x——V3=-sin(4x+I

对于A,f(x)的最小正周期7=竽=5A错误；

对于从当用时，4x+|e［7r,y］,此时y=sin(4x+今单调递减，

・•・/(x)在弓币上单调递增，B正确；

对于C,令4x+：=/OT(kez),解得《Y(kez),此时〃x)=o,

3412

■-f(x)的图象关于点(塔-%0)(k6Z)对称，C错误；

41N

对于。,当30］时,钛+江［聋导则sin(4x+”［-1,争,

・••/。)在［-%0］上的值域为［一泉1］,。错误.

故选：B.

利用两角和与差的余弦公式、二倍角和辅助角公式化简/'(X),再根据正弦型函数的图象与性质判

断各选项即可.

本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数的图象和性质，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：•・，bcosA—acosB=a,

bcosA=(cosB+l)a,

••・由正弦定理得：sinBcosA={cosB+l)smX,&)sinBcosA=sinAcosB+sinA,

••・sin(B-4)=sinA,

4或8-A+A=7T,解得B=24或8=兀(舍去)，

又•••△48C为锐角三角形，则。=兀一4一8=兀-34，

0<A<^0<A<^

：.^0<B<0<2?1<-,解得X<>1<p

0<C0<n-3A<^

:.y/3sinB+2sin2A=y/3sin2A4-1—cos2A=2sin(2A—看)+1,

又吗<4昔

兀，cAIT71

-<2A—<一，

663，

•••1<sin(27l-m〈浮

・・・2<2sin(2A一2+1VV5+1,

6

即gsinB+2sin24的取值范围(2,遮+1).

故选：B.

由正弦定理边化角可得B=24,由△ABC为锐角三角形可得t<4<3,运用降次公式及辅助角公

O4

式将问题转化为求三角函数y=2s讥(24+1在G3)上的值域.

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

7.【答案】9

【解析】解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，

当2=x+y取得最大值时，y=-x+z在y轴截距最大，

由图形可知：当丫=一万+2过点4时，在y轴截距最大,

＜：y-3=0＜：t即做⑶

•••Zmax=6+3=9.

故答案为：9.

由约束条件作出可行域，将问题转化为y=-x+z在y轴截距最大值的求解，采用数形结合的方式

可求得结果.

本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.

8.【答案】一挈

9

【解析】解：「a是第二象限角，

•••，+2kn<a<TT+2/c7r(k6Z),

——F2kn<a+7<——F2kn(JcGZ),

•••cos(a+3)=_Jl—sin2(a+=-竽，

sin(2a+g)=2sin((z+?)cos(a+')=2xgx(—

故答案为：一殍.

利用同角三角函数关系和二倍角正弦公式可直接求得结果.

本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题.

9【答案】(1,2］

【解析】解：设函数g(x)=f(x)+x—l,因为f(x)的图象关于点(0,1)对称,

所以g(x)的图象关于原点对称，故g(x)是定义在［-4,4］上的奇函数.

因为f(x)是定义在［-4,4］上的增函数，所以g(x)也是定义在［-4,4］上的增函数.

由/'(2x)+-3)+3x-5>0,得/\2x)+2x-1+/(X-3)+x-3-1>0,

(2x>3—x

即g(2x)+g(x—3)>0,即g(2x)>-g(x—3)=g(3—x),则一442x44，

.—4<x—3<4

解得1<XW2,即不等式的解集为(1,2］.

故答案为：(1,2］.

构造函数g(x)=/-(x)+x-l,利用其单调性奇偶性解不等式即可.

本题考查函数的性质，奇偶性，单调性，属于中档题.

10.【答案】128

【解析】解：不妨设直线。的倾斜角为。，。6(0,今，

则直线11的倾斜角为。+看

对小设4到准线的距离为d,则根据抛物线的定义可得：

\AF\=d=p+\AF\cos9,

•.•时=』，同理可得加1=最，

.-.\AB\=\AF\+\BF\=^-,

sin0

同理可得REI=瑞项

・・・四边形4D8E面积为：

^\AB\\DE\=枭%X22P“

11112

22Sin6>sh?(e+舒

=-22P22=81,66(0,^),

sin20cos20sin”。2

••・当。=:时，四边形AOBE面积取得最小值为8P2=8x16=128,

故答案为：128.

根据抛物线的倾斜角的弦长公式，函数思想，即可求解.

本题考查抛物线的倾斜角的弦长公式的应用，函数思想，属中档题.

11.【答案】解：(1)由题意可得(a+20)+(a+20)+(a+40)+a=400,解得a=80.

列联表如下：

少于32场比赛不少于32场比赛总计

男球迷100100200

女球迷12080200

总计220180400

2

(2｝K2=400x(100x80~100xl20)=«404.因为4.04>3.841,所以有95%的把握认为该社区

200x200x220x18099

的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.

【解析】(1)根据男、女球迷各200名，把表格填完整；(2)直接代入K2公式计算即可.

本题考查独立性检验，属于基础题.

12.【答案】解：(1)因为4s九=嫌+2a”①，

所以4Sn+i=总+i+2。n+1②，

由②一①得，4an+i=成+i—磋+2azi+i—2an,

即(％i+i+an)(an+i—an—2)=0,因为an+i4-an>0,

所以a+i

n—an=2,

又由4sl=a?+2al解得的=2,

故数列｛斯｝为等差数列，公差d=2.

故%=2+(n-1)x2=2n；

(2)证明：因为an=2n,

1111/1、

=X

所以“I=2n(2n+2)4n(n+l)=4G-n+1^

【解析】(1)由4S==4S+i=a„+2a+i，两式相减得(Q+i+a)(Q+i—a九-2)=

n+2ann+1nnnn

0,再由斯>0得斯+1-斯=2,然后求出的,说明数列｛斯｝为等差数列，进而求得通项公式；

(2)由0n=2n先求出bn,然后利用裂项求和求出7；即可证明.

本题主要考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法在数列求和中的应用、不等式的放缩等基

础知识，属于中档题.

13.【答案】解：（1）证明：连接BD,

•••AB=AD,AB1AD,BD=V2AB,

又PD=V2AB，

.・.PD=BD,

­•'E为棱PB中点，

•••DE1PB,

又PCA.DE,PCCPB=P,PC,PBu平面PBC,

•••DEJ_平面PBC,

又BCu平面PBC,

DE1BC；

在直角梯形力BCD中，取CO中点M,连接BM,

•••DM=AB,

5LDM//AB,AB=AD,ABLAD,

四边形为正方形，

•••BM=AD,BMLCD,

•••BC=V2BM=&AD=丘AB，

又BD=&AB，

•••BD2+BC2=CD2,

•••BCLBD,

•:BDCDE=D,BD,DEu平面PBD,

BC1平面PBD,

vPDu平面PBD,

BC1PD；

■:PD=BD=V2AB,PB=2AB,

­.PD2+BD2=PB2,：.PD1BD,

又BCCBD=B,BC,BDu平面4BCC,

•••PD1平面4BCD.

(2)vAD=AB=2,CD=2AB=4,AB1AD,

S^CDF=]X4x24,

由(1)知：PD平面4BCD,PD=2>/2,

则点E到平面4BCD的距离&=\PD=V2,

..1n,1./7T4y/2

•••VE-CDF=^SACDF.由=§x4xV2=—：

VAD=2,PD=2V2，

PA=>JAD2+PD2=2V3.

"E,F分别为棱PB,中点，

EF=^PA=V3.

vAB1AD,AB=AD—2,

DF=V5.BD=2V2.

•••PD=BD=2V2,

PB=4,

・・.DE=2,

由余弦定理得：cos乙DEF=MM：=胃，则sinZ_OEF=^

2x2xV366

r1nV33>/11

•••SMEF=2x2xV3x=—^、

设点C到平面DE尸的距离为也，

.1Z_lz_1c〃_4/僦徂,_8V22

••^C-DEF-^E-CDF~LDEF'^2~~野倚•u2—'

即点C到平面CEF的距离为警.

【解析】(1)由线面垂直判定可证得。平面PBC,进而得到DELBC；利用勾股定理和线面垂直

的判定得到BC_L平面P8D,从而得到BCJ.PD：利用勾股定理可证得PD1BD,由此可得结论；

(2)设点C到平面DEF的距离为d2,利用等体积转换的方式，由%“£F=/_CDF，结合棱锥体积公

式可构造方程求得结果.

本题考查线面垂直的判定以及点到平面的距离求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中

档题.

14.【答案】解：(1)由£=乎，a2=b2+c2,可得a=d^c,b=c,

椭圆E的方程化为：x2+2y2=2c2.

直线，的方程为y=%+c,

联立仁2+2c2，化为3/+4CX=0,

解得％=0,y=c；x=-y,y=-jc.

•••\AB\=J(0+^c)2+(c+|c)2=|>

解得c=b=V2，a=2.

.••椭圆E的标准方程为［+<=L

42

(2)设B(xy),直线/的方程为my=%+c,m="

2,2K

-

'l/lfil\BF1\~2'K<U,

\AF^+\AF2\=2a,\BF1\+\BF2\=2a,

解得MF/=ga,|BFi|=ga,

y24・

联立出D，

+2yz=2cz

化为(m?+2)y2—2mcy-c2=0,

4>0,

.2mcc2

%+丫2=际，月丫2=一诉，

解得?n?=争m<0,

3V2

小=一迫

6

【解析】⑴由£=与M=炉+c2,可得Q=V2c,b=c,椭圆E的方程化为：x2+2y2=2c?.直

a2

线/的方程为y=x+c,联立化为3/+4CX=0,解得点4,B坐标，利用两点之间的距离公式即

可得出a,b,c,可得椭圆E的标准方程.

(2)设B(x2,y2)>直线/的方程为my=x+c,m=也根据器m=5,^k<0,

及其椭圆的定义可得MF/,|8&|,於=Y直线I的方程与椭圆方程联立化为(m2+2)y2-2mcy-

c2=0,利用根与系数的关系即可得出?n,k.

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相似三角形的性质、一元二次方程的根与系数的关系、转

化方法、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

15.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=ex-2x+e2-7,

所以/-2,

所以f(2)=2e2-11,1(2)=e2-2,

所以所求切线方程为y-(2e2-11)=(e2-2)(%一2),即y=(e2-2)x-7.

(2)对任意的％NO,恒成立，

等价于对任意的％>0,ex-ax+e2-7>恒成立.

①当％=0时，e2-6N0显然成立.

②当》>0时，不等式靖-ax+e2-7>等价于4a<4靖-7丁2-28.

>n./、4ex-7x2+4e2-28

以g(%)=-----------，

所以g，(X)=4(Al)/-『-4e2+28

设九(%)=4(%—l)ex—7x2—4e2+28,则九'(%)=4xex—14x=2x(2ex—7).

77

当工€(0/口2)时，hz(x)<0,当工€(In,,+8)时，"(x)>0,

所以/i(x)在(0,In今上单调递减，在(吗,+8)上单调递增.

因为h(o)=4(6-e2)<0,

所以如