山东省青岛市第十七中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

青岛十七中20232024学年度第一学期期中阶段性检测数学试题命题人：李春娟审核人：王克辉、孙安涛本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试限定用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考号分别填写在试卷和答题纸规定的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.设，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数的定义域为（）A. B. C. D.5.已知函数，则的大致图象是A. B.C. D.6.已知关于不等式的解集是，则不等式的解集是（）A. B. C. D.7.当生物死亡后，它机体内原有的碳会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳含量作为一个单位，大约每经过年一个单位的碳衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳，那么死亡生物组织内的碳至少经过了（）个“半衰期”.（参考数据）A. B. C. D.8.已知是奇函数，且在上是增函数，又，则解集为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若幂函数的图象过，下列说法正确的有（）A.且 B.是偶函数C.在定义域上是减函数 D.值域为10.已知，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.11.下列说法正确的为（）A.对任意实数，函数的图象必过定点B.C.与关于原点对称D.函数在上单调递增12.设，且，则下列结论正确的是（）A.的最小值为 B.的最大值为1C.的最小值为 D.的最大值为6第Ⅱ卷（非选择题，共100分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则=___________.14.命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是_______.15.若lg2＝a，lg3＝b，则log512等于________．16.已知函数是上单调函数，那么实数的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17化简求值：（1）；（2）.18.已知函数（且）的图象过点.（1）求的值及的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由.19.已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）解关于的不等式.20.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）判断函数在区间上的单调性，并证明.21.截至2022年10月，杭州地铁运营线路共12条.杭州地铁经历了从无到有，从单线到多线，从点到面，从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发出城市新活力.已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车的载客量与发车时间间隔t相关，当时，列车为满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为502人，记列车载客量为（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时的载客量；（2）若该线路每分钟净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.22.设函数（，且）．（1）若，证明是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；（2）若，求使不等式恒成立时，实数的取值范围；（3）若，，且在上的最小值为，求实数的值．五、附加题（本小题满分10分）23.（1）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，若，则的值为___________.（2）已知关于的方程有四个不同的实根，则的取值范围为___________.

青岛十七中20232024学年度第一学期期中阶段性检测数学试题命题人：李春娟审核人：王克辉、孙安涛本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试限定用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考号分别填写在试卷和答题纸规定的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由特称命题否定是全称命题判断.【详解】由特称命题的否定是全称命题可得，“”的否定为“”.故选：B2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式确定集合后再求交集即可．【详解】由题意，，所以．故选：A．3.设，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求得不等式的解集，由此判断出充分、必要条件.【详解】由得，即，所以“”是“”充分不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.4.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为.故选：B5.已知函数，则的大致图象是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特殊值、、，排除错误选项.【详解】当时，，排除A，当时，，排除D，当时，，排除C，故选B.【点睛】从函数解析式结合选项，发现零点、单调性、奇偶性、过特殊点等性质，是求解函数图象问题的常见方法.6.已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集确定是方程的两个实数根，且，进而得，化简为，即可求得答案.【详解】由题意关于的不等式的解集是，可知是方程的两个实数根，且，则，则，故即，即或，即不等式的解集是，故选：C.7.当生物死亡后，它机体内原有的碳会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳含量作为一个单位，大约每经过年一个单位的碳衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳，那么死亡生物组织内的碳至少经过了（）个“半衰期”.（参考数据）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设生物组织内原有的碳含量为，经过n个半衰期后含量为，根据题意建立不等式求解即可.【详解】由题意可设生物组织内原有的碳含量为，需要经过个半衰期才能不被测到碳，则，即，所以，，，所以.故选：B8.已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及在上的单调性确定函数值的正负情况，结合可得相应不等式组，即可求得答案.【详解】因为定义在R上的奇函数在上单调递增，且，所以在上也是单调递增，且，所以当时，，当时，，所以由可得或,即或，解得或，即的解集为，故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及单调性的综合应用，考查抽象不等式的解法，解答时要明确函数的对称性质，进而判断函数值的正负情况，解答的关键时根据不等式结合函数值情况得到相应不等式组，求得结果.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若幂函数的图象过，下列说法正确的有（）A.且 B.偶函数C.在定义域上是减函数 D.的值域为【答案】AB【解析】【分析】根据幂函数的定义可得，由经过可得，进而得，结合选项即可根据幂函数的性质逐一求解.【详解】对于A;由幂函数定义知，将代入解析式得，A项正确；对于B;函数的定义域为，且对定义域内的任意x满足，故是偶函数，B项正确；对于C;在上单调递增，在上单调递减，C错误；对于D;的值域不可能取到0，D项错误.故选：AB10.已知，则下列选项正确的是（）A B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用可推导出，然后利用不等式的基本性质可判断各选项的正误.【详解】由可得，，则，由不等式的性质可得，即.对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，则，B选项正确；对于C选项，，则，即，C选项正确；对于D选项，，由不等式的基本性质可得，D选项正确.故选：BCD.11.下列说法正确的为（）A.对任意实数，函数的图象必过定点B.C.与关于原点对称D.函数在上单调递增【答案】BC【解析】【分析】根据指数函数图像及性质可判断，；结合奇函数性质可判断；根据复合函数单调性可判断.【详解】对于，函数过定点，则，即，，故错误；对于，，，因为，所以,而，所以，故正确；对于，令，则，因为,所以，同理，当时，也成立，当时，,综上所诉，与关于原点对称，故正确；对于，令，则在上单调递减，而单调递增，所以在上单调递减，故错误.故选：.12.设，且，则下列结论正确的是（）A.的最小值为 B.的最大值为1C.的最小值为 D.的最大值为6【答案】AC【解析】【分析】根据，且，结合基本不等式逐项求解最值即可判断正误.【详解】解：对于A选项：，当成立，故A正确；对于B选项：，由于，所以，当且仅当成立，故无最大值，故B错误；对于C选项，，当时，又能取等号，故C正确；对于D选项，，当成立，故最小值为6，故D错误.故选：AC.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则=___________.【答案】1【解析】【分析】先求出，继而计算.【详解】.故答案为：1.14.命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】根据题意，分离参数，再由二次函数最值，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，为真命题，则在上恒成立，令，，则，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：15.若lg2＝a，lg3＝b，则log512等于________．【答案】【解析】【分析】先用换底公式把换成常用对数，再把真数12化为，利用对数运算法则.【详解】解：故答案为：.16.已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】分段函数单调，则每一段均单调，并且注意分界点位置高度判断.【详解】∵函数是上的单调函数，①是上的单调递增函数，则，无解；②是上的单调递减函数，则，解得.综上所述：的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.化简求值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据分数指数幂以及根式的运算法则，化简求值，可得答案;（2）根据对数的运算法则化简求值，可得答案.【小问1详解】;【小问2详解】.18.已知函数（且）的图象过点.（1）求的值及的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）,（2）奇函数【解析】【分析】（1）代点求值，对数真数大于0求定义域.（2）一求定义域是否关于原点对称，二找的关系.【小问1详解】已知函数（且）的图象过点，∴，即.又，即,解得.∴的定义域为.【小问2详解】为奇函数，理由如下：由（1）知：，的定义域为，定义域关于原点对称，又，即，∴为奇函数.19.已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）解关于的不等式.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】(1)设二次函数的解析式为()，根据题意利用待定系数法求出a、b、c即可；(2)将原不等式化为，分类讨论，结合一元二次不等式的解法求出不等式当、、时的解集即可.【小问1详解】设，由，得又，则，解得，所以.【小问2详解】由已知，即，即，①当时，原不等式即为：，解得；②当时，解得；③当时，解得综上，当时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：.20.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）判断函数在区间上的单调性，并证明.【答案】（1）（2）（3）在上单调递增；证明见详解【解析】【分析】（1）根据函数解析式及函数是奇函数，先求出，进一步计算即可；（2）根据函数是奇函数当时，，，求出解析式，根据奇函数的性质知，最后写成分段函数形式；（3）根据函数性质判断函数的单调性，用单调性定义证明即可.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，故，所以，则【小问2详解】依题，当时，，，又，故.【小问3详解】当时，，故函数在上单调递增，证明如下：任取且，则，因为且，所以，故，即所以函数在上单调递增.21.截至2022年10月，杭州地铁运营线路共12条.杭州地铁经历了从无到有，从单线到多线，从点到面，从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发出城市新活力.已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车的载客量与发车时间间隔t相关，当时，列车为满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为502人，记列车载客量为（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时的载客量；（2）若该线路每分钟净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.【答案】（1），发车时间间隔为5分钟时的载客量为550人（2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为116元【解析】【分析】（1）由已知函数模型求出解析式，然后计算时的发车量；（2）由（1）的函数式求出该线路每分钟净收益，然后分段求最大值，一段利用基本不等式，一段利用函数的单调性求解后比较可得．【小问1详解】当时，当时，设而，，∴，，即发车时间间隔为5分钟时的载客量为550人.【小问2详解】当时当且仅当，即时等号成立.当时，单调递减，当时，取到最大为当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为116元．22.设函数（，且）．（1）若，证明是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；（2）若，求使不等式恒成立时，实数的取值范围；（3）若，，且在上的最小值为，求实数的值．【答案】（1）证明见解析，是减函数；（2）(－3，5)；（3）2﹒【解析】【分析】(