重难专题07 将军饮马之一点两线与两点两线模型（解析版）

2023-2024学年八年级数学上册重难点突破专题07将军饮马之一点两线与两点两线模型一、一点两线模型条件：点P是∠AOB内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小。结论：作点P关于OA，OB的对称点P'，P"，连接P'P"，分别交OA，OB于点M，N，此时△PMN的周长最小，最小值为P'P"的长。二、两点两线模型条件：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小结论：作点P，Q关于OA，OB的对称点P'，Q'，连接P'Q'，交OA，OB于点M，N，此时四边形PQNM周长最小，最小值为P'Q'+PQ。如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是．【答案】【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小．【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，∴；∵点P关于的对称点为D，∴，∴，，∴是等边三角形，∴．∴的周长的最小值．故答案为：．（1）如图1，在直线AB的同一侧有两点C，D，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，在OA，OB上是否分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M，N，在OA，OB上是否分别存在点E，F，使得E，F，M，N四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点．（显示找点的过程）【分析】（1）由于的周长，而是定值，故只需在直线上找一点，使最小．如果设关于直线的对称点为，使最小就是使最小；（2）作关于、的对称点、，连接角、于、．此时周长有最小值；（3）如图3，作关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于，此时使得、、、，四点组成的四边形的周长最短．【详解】解：（1）如图1，作关于直线的对称点，连接交于点．则点就是所要求作的点．理由：在上取不同于的点，连接、、．和关于直线对称，，，而，即周长小于周长；（2）如图2，作关于的对称点，关于的对称点，连接，交于，于，连接，，则点，就是所要求作的点，理由：在，上取不同于，的点，，连接、、、，，和关于直线对称，和关于直线对称，，，，，，，，；（3）如图3，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，交于，于，则点，就是所要求作的点．连接，．理由：在，上取不同于，的点，，连接、，，和关于直线对称，，，，，由（2）得知．一、单选题1．如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(

)A．82° B．84° C．88° D．92°【答案】D【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，的周长的最小值为长度，然后依据等腰等腰中，，即可得出，代入求解即可．【详解】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，∴，，，根据轴对称的性质可得，，∴的周长的最小值为长度，由轴对称的性质可得，∴等腰中，，∴，，，故选：D．2．如图所示，点为内一定点，点，分别在的两边上，若的周长最小，则与的关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称的性质可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，其中交于，交于，此时的周长最小值等于的长，由轴对称性质可知：，，，，，，，即，故选：D．3．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（

）A．140° B．100° C．80° D．50°【答案】B【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°．【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2＋∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP1M＋∠OP2N＝100°，故选：B．4．如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时的周长最小，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．【详解】解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，∵B（0，2），∴B′（0，-2），∵C（5，3），∴CH=B′H=5，∴∠CB'H=45°，∴∠BB'A'=45°，∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，∴OB'=OA'=2，则此时A'坐标为（2，0）．m的值为2．故选：C．5．在△ABC中，AB=BC，点D在AC上，BD=6cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小值为6cm，则(

)A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】作点D关于AB的对称点G，关于BC的对称点H，连接GH交AB于E，交BC于F，连接BG、BH，此时△DEF的周长最小，根据轴对称关系得到BG=BD=BH=6cm，又由△DEF的周长=DE+DF+EF=GH=6cm，得到∠GBH=60°，由此即可求出∠ABC的度数.【详解】作点D关于AB的对称点G，关于BC的对称点H，连接GH交AB于E，交BC于F，连接BG、BH，此时△DEF的周长最小，由轴对称得：BG=BD=BH=6cm，∠GBA=∠DBA，∠HBC=∠DBC，∵△DEF的周长=DE+DF+EF=GH=6cm，∴△BGH是等边三角形，∴∠GBH=60°，∴∠ABC=∠GBH=30°，故选：C.6．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是()A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小．【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，∵AF=CF，∴FM⊥AC，∴∠CFE′=90°，故选D．二、填空题7．如图，，点P为内一点，．点M、N分别在上．当△PMN周长最小时，下列结论：①等于；②等于；③等于；④周长最小值是5：⑤周长最小值是10；⑥周长最小值是15．其中正确结论的序号是．【答案】①⑤【分析】分别作点P关于的对称点，连接，交于M，交于N，可得的周长的最小值，然后证明是等边三角形，即可求解．【详解】解：分别作点P关于的对称点，连接，交于M，交于N，则，，∴即的周长的最小值，∵，∴，∴是等边三角形，∴，，即的周长的最小值为10，∴①⑤正确，故答案为：①⑤．8．如图，，，分别为射线，上的动点，为内一点，连接，，．若，则周长的最小值为．【答案】5【分析】首先分别作点P关于，的对称点C、D，连接，分别交，于点M、N，连接、、，，易得是等边三角形，且此时的长即为周长的最小值，继而求得答案．【详解】解：如图所示：分别作点P关于，的对称点C、D，连接，分别交，于点M、N，连接、、，，∵点P关于的对称点为点C，，，；∵点P关于的对称点为点D，，，，，，是等边三角形，，的周长为：，周长的最小值为5，故答案为：5．9．如图，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则∠MPN的度数是．【答案】【分析】首先求出证明，，推出，可得结论．【详解】解：∵P点关于的对称点是，P点关于OA的对称点是，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案为：．10．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB=．【答案】30°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COB=∠POB；PN=CN，OP=OD，∠DOA=∠POA，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA，∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD=5，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故答案为：30°．三、解答题11．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；（2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；（3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解．【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；理由：根据作法得：，∴，∴当点共线时，最小；（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；理由：根据作法得：，，∴，∴当点共线时，的周长最小；（3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小，，平分，，在和中，，≌，，，∵，OM=OM，∴△COM≌△EOM，，，∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，过点C作CF⊥AB于点F，∵，，，，∴，即，解得：，∵，，∴的最小值为．12．如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．(1)求的最小值，并说明理由．(2)求周长的最小值．【答案】(1)6，理由见解析(2)10【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论；（2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短；原因：两点之间，线段最短．（2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上，∴点C关于直线m的对称点是点B，则，∵，∵，要使周长最小，即最小，当点P是直线m与AB的交点时，最小，即，此时．13．已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．(1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；(2)求证：BD＝PC；(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．【答案】(1)△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由见解析(2)见解析(3)45°【分析】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠BEC=∠ACB=67.5°，∠A=∠ACD=45°，∠CPE=∠CEP=67.5°，可得结论；（2）在线段DA上取一点H，使得DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=EC，可得结论；（3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的值最小，证明∠M+∠F=67.5°，可得结论．【详解】（1）解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∠A=45°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-45°)=67.5°，∵∠ABE＝∠ABC，∴∠ABE=22.5°，∴∠CBE=45°，∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∴∠BEC=∠ACB，∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠ACD=90°–∠A=45°∴∠A=∠ACD=45°，∴DA=DC，∴△ADC是等腰三角形，∵∠CPE=∠BPD=90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP=67.5°，∴∠CPE=∠CEB=67.5°，∴CP=CE，∴△CPE是等腰三角形，综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；（2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，∵DH=DB，CD⊥AB，∴BC=CH，∴∠BHC=∠ABC=67.5°，∵∠BEC=∠ACB=67.5°，∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，∵BC=CB，∴△BCH≌△CBE，∴BH=CE，∵CE=CP，∴BH=CP，∴；（3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，∴∠BCD=