专题19 圆的基本性质-原卷版

专题19圆的基本性质★知识点1：圆的基础概念圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。确定圆的条件：1）圆心；2）半径。备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。典例分析【例1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列命题中，正确的个数是（）（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（3）半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，图中⊙O的弦共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．（2021秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（

）A．2 B．5 C．1 D．5或1★知识点2：弦、弧、弦心距弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。典例分析【例1】（2021秋·广东江门·九年级校考阶段练习）如图，点A，B，C，D，E均在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【例2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（

）

A．3 B．4 C．6 D．8即学即练1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（）

A． B．C． D．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，则度数是（）A． B． C． D．★知识点3：垂径定理求值垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。常见辅助线做法（考点）：（1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；（2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。典例分析【例1】（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，的半径垂直于弦，垂足为点，连接并延长交于点，连接，．若，，则的面积为（

）

A．12 B．15 C．16 D．18【例2】．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是的中点，，且，则这段弯路所在圆的半径为（

）

A． B．20m C．30m D．即学即练1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，圆的半径垂直弦于点，连接并延长交圆于点，连接．若，，则长为()A． B． C． D．2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4★知识点4垂径定理求平行弦问题典例分析【例1】．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）半径为5，弦，，，则与间的距离为（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【例2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（）A．若平分，则 B．若，则平分C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分即学即练1．（2021秋·全国·九年级专题练习）的半径为，弦，，，则、间的距离是：（

）A． B． C．或 D．以上都不对2．（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（

）A． B． C．6 D．★知识点5垂径定理求其它问题典例分析【例1】（2023春·九年级课时练习）已知△ABC的边BC=，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（）A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【例2】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（）cmA．5 B．4 C． D．即学即练1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（

）A． B． C． D．2．（2022春·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（

）A． B． C． D．★知识点6判断点与圆的位置关系位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部QUOTEd>r?d>r?点QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的外部.点在圆上点在圆周上QUOTEd=r?d=r?点QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的圆周上.点在圆内点在圆的内部QUOTEd<r?d<r?点QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的内部.典例分析【例1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）在中，，，．以点C为圆心，4为半径画圆，则（）A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点B在圆上 D．点B在圆外【例2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（）A．的内部 B．的外部C．上或的内部 D．上或的外部即学即练1.（2023秋·河南信阳·九年级校联考期末）在平面直角坐标系中，以原点为圆心的半径是4，点的坐标为，则点与的位置关系是（

）A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定2．（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）如图，平面直角坐标系被一块圆形铁皮覆盖了一部分．下列有序实数对表示的点中，被这块圆形铁皮覆盖的是（

）A． B． C． D．★知识点7利用点与圆的位置关系求半径典例分析【例1】（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）已知点P在半径为的圆内，则点P到圆心的距离可以是（

）A． B． C． D．【例2】（2023秋·浙江·九年级期末）已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则的半径可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．5即学即练1．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作圆，当点在上时，的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5★知识点8:求三角形外心的坐标典例分析【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，，，，则外心的坐标为（

）A． B． C． D．【例2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（

）A． B． C． D．即学即练1.（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）2．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．则△ABC的外心坐标为（

）A． B． C． D．★知识点9确定圆心典例分析【例1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则该弧的圆心的坐标为（）

A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1）【例2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（

）A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断即学即练1.（2010·河北·中考真题）如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（

）A．点P B．点Q C．点R D．点M2．（2023·山东德州·统考一模）如图，在中，．小丽按照下列方法作图：①作的角平分线，交于点D；②作的垂直平分线，交于点E．根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（

）A．点E是的外心 B．点E是的内心C．点E在的平分线上 D．点E到边的距离相等★知识点10三角形外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）外接圆圆心和三角形位置关系：1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.典例分析【例1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，小明为检验，，，四点是否共圆，用尺规分别作了，的垂直平分线，它们交于点，则，，，四点中，不一定在以为圆心，为半径的圆上的点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【例2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（

）A．72 B．96 C．120 D．144即学即练1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，，，，则此Rt△ABC的重心P与外心Q之间的距离为（

）A． B． C． D．★知识点11三点定圆的方法经过点QUOTEAA的圆：以点QUOTEAA以外的任意一点QUOTEOO为圆心，以QUOTEOAOA的长为半径，即可作出过点QUOTEAA的圆，这样的圆有无数个．经过两点QUOTEA、BA、B的圆：以线段QUOTEABAB中垂线上任意一点QUOTEOO作为圆心，以QUOTEOAOA的长为半径，即可作出过点QUOTEA、BA、B的圆，这样的圆也有无数个．3）经过三点时：情况一：过三点的圆：若这三点QUOTEA、B、CA情况二：若QUOTEA、B、CA、B、C三点不共线时，圆心是线段QUOTEABAB与QUOTEBCBC的中垂线的交点，而这个交点QUOTEOO是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．三点定圆的画法：连接线段AB,BC。分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．典例分析【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（

）A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2）【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）下列判断中正确的是（

）A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦 D．三点确定一个圆即学即练1．（2020·湖南湘西·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（

）A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（）A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或41．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，正方形的边长为4，点在边上，，点在上，与直线交于点（点在点右侧），则的长度为（

）

A． B．8 C． D．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022秋·九年级课时练习）一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（

）

A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm4．（2022·九年级单元测试）点M在内，cm，若的半径是5cm，则过点M的最短弦的长度为（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（）①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）下列说法错误的是（

）A．直径是圆中最长的弦B．半圆是弧C．已知圆O的半径为，P为平面内一点，且，则点P在圆O外D．如果圆A的周长是圆B周长的2倍，那么圆A的面积是圆B面积的2倍7．（2022秋·北京·九年级专题练习）若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为8，最小距离为2，则的直径为（

）A．6 B．10 C．6或10 D．无法确定8．（2021春·九年级课时练习）已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.A． B． C． D．9．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的外接圆，则点O是的（

）A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（

）

A． B． C． D．11．（2023·河南焦作·统考一模）一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（

）A． B．5 C． D．812．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，已知中，弦，是上一点，，，则；

13．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在中，直径，垂足为C，，则．14．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期中）在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为．15．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为．16．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为．17．（2022·河北唐山·统考二模）如图，，，点D在AC边上，．求