直线与椭圆的综合问题检测题与详解答案

直线与椭圆的综合问题检测题与详解答案A级——保大分专练1．(2019·长春二检)椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,9) D．－eq\f(9,4)解析：选A设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4xeq\o\al(2,1)＋9yeq\o\al(2,1)＝144,4xeq\o\al(2,2)＋9yeq\o\al(2,2)＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝k，代入解得k＝－eq\f(2,3).2．已知直线y＝－x＋1与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，焦距为2，则线段AB的长是()A．eq\f(2\r(2),3) B．eq\f(4\r(2),3)C．eq\r(2) D．2解析：选B由条件知c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝eq\r(2)，b＝1，椭圆方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(1,3)))，所以|AB|＝eq\f(4\r(2),3).3．斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2 B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(4\r(10),5) D．eq\f(8\r(10),5)解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4t2－1,5).∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5－t2)，当t＝0时，|AB|max＝eq\f(4\r(10),5).4．(2019·石家庄质检)倾斜角为eq\f(π,4)的直线经过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),3)解析：选B由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝x－c，))得(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(－2b2c,a2＋b2)，,y1y2＝\f(－b4,a2＋b2)，))又eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，∴－y1＝2y2，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y2＝\f(－2b2c,a2＋b2)，,－2y\o\al(2,2)＝\f(－b4,a2＋b2).))∴eq\f(1,2)＝eq\f(4c2,a2＋b2)，∴e＝eq\f(\r(2),3)，故选B.5．已知点P是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且eq\o(F1M,\s\up7(→))·eq\o(MP,\s\up7(→))＝0，则|eq\o(OM,\s\up7(→))|的取值范围是()A．[0,3) B．(0,2eq\r(2))C．[2eq\r(2)，3) D．(0,4]解析：选B如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.∵eq\o(F1M,\s\up7(→))·eq\o(MP,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(F1M,\s\up7(→))⊥eq\o(MP,\s\up7(→)).又MP为∠F1PF2的平分线，∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点．∵O为F1F2中点，∴OM綊eq\f(1,2)F2G.∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，∴|eq\o(OM,\s\up7(→))|＝eq\f(1,2)|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.∵4－2eq\r(2)<|PF2|<4或4<|PF2|<4＋2eq\r(2)，∴|eq\o(OM,\s\up7(→))|∈(0,2eq\r(2))．6．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为________．解析：由题意知椭圆C的焦点在x轴上，且c＝1，可设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1(a＞1)，由|AB|＝3，知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在椭圆上，代入椭圆方程得4a4－17a2＋4＝0，所以a2＝4或a2＝eq\f(1,4)(舍去)．故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝17．已知焦点在x轴上的椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞0)的焦点在x轴上，所以c＝eq\r(a2－1)，又过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得eq\f(c2,a2)＋y2＝1，则y＝±eq\r(1－\f(c2,a2))，又|AB|＝1，所以2eq\r(1－\f(c2,a2))＝1，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,4)，所以该椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)8．已知P(1,1)为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1①，eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),2)＝1②，①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,4)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,2)＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴eq\f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).∴此弦所在的直线方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝09．(2019·湖北武汉部分学校调研)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1，a∈R)上，过O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点．(1)若△FAB的面积的最大值为1，求a的值；(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－eq\f(1,3)，求椭圆C的离心率．解：(1)因为S△FAB＝eq\f(1,2)|OF|·|yA－yB|≤|OF|＝eq\r(a2－1)＝1，所以a＝eq\r(2).(2)由题意可设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)，则eq\f(x2,a2)＋y2＝1，eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋yeq\o\al(2,0)＝1，kMA·kMB＝eq\f(y－y0,x－x0)·eq\f(y＋y0,x＋x0)＝eq\f(y2－y\o\al(2,0),x2－x\o\al(2,0))＝eq\f(1－\f(x2,a2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),a2))),x2－x\o\al(2,0))＝eq\f(－\f(1,a2)x2－x\o\al(2,0),x2－x\o\al(2,0))＝－eq\f(1,a2)＝－eq\f(1,3)，所以a2＝3，所以a＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).10．(2019·成都一诊)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(eq\r(3)，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．解：(1)由题可知c＝eq\r(3)，eq\f(a,b)＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1.∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,x2＋4y2＝4))消去x，可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝eq\f(－2m,4＋m2)，y1y2＝eq\f(－3,4＋m2).∵点B在以MN为直径的圆上，∴eq\o(BM,\s\up7(→))·eq\o(BN,\s\up7(→))＝0.∵eq\o(BM,\s\up7(→))·eq\o(BN,\s\up7(→))＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，∴(m2＋1)·eq\f(－3,4＋m2)＋(m－1)·eq\f(－2m,4＋m2)＋2＝0，整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝eq\f(5,3).∴直线l的方程为x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0.B级——创高分自选1．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(1,2)，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，且MN⊥PQ，求线段MN所在的直线方程．解：(1)由e＝eq\f(1,2)，得a＝2c，易知|AF1|＝2，|AF2|＝2a－2，由余弦定理，得|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cosA＝|F1F2|2，即4＋(2a－2)2－2×2×(2a－2)×eq\f(1,2)＝a2，解得a＝2，则c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝eq\f(－6k,3＋4k2)，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k2,3＋4k2)，\f(－3k,3＋4k2))).又Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，则kMN＝eq\f(\f(1,8)＋\f(3k,3＋4k2),0－\f(4k2,3＋4k2))＝－eq\f(24k＋3＋4k2,32k2).∵MN⊥PQ，∴kMN＝－eq\f(1,k)，得k＝eq\f(1,2)或eq\f(3,2)，则kMN＝－2或kMN＝－eq\f(2,3)，故直线MN的方程为16x＋8y－1＝0或16x＋24y－3＝0.2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy中，长为eq\r(2)＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\r(2)eq\o(PD,\s\up7(→)).记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，当点M在曲线E上时，求直线l的方程．解：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．由eq\o(CP,