专题训练(三)-相似三角形的五种基本模型

专题训练(三)相似三角形的五种基本模型►模型一“X”字型1．如图3－ZT－1，P是▱ABCD的边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中的相似三角形有()图3－ZT－1A．0对B．1对C．2对D．3对2．2018·杭州西湖区一模如图3－ZT－2，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得CD＝BC.(1)求证：△AEB∽△CED；(2)若AB＝2，BC＝4，AE＝1，求CE的长．图3－ZT－23．如图3－ZT－3，E是▱ABCD的边BC延长线上一点，AE交CD于点F，FG∥AD交AB于点G.(1)填空：图中与△CEF相似的三角形是________(写出图中与△CEF相似的所有三角形)；(2)从(1)中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似．图3－ZT－3►模型二“A”字型4．如图3－ZT－4，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠AED＝∠B.若AB＝10，AC＝8，AD＝4，求AE的长．图3－ZT－45．如图3－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C出发，以2cm/s的速度沿折线C－A－B向点B运动，同时，点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t(s)(0＜t＜8)．(1)求AB的长；(2)当△BDE是直角三角形时，求t的值．图3－ZT－5►模型三子母型6．如图3－ZT－6所示，点D在△ABC的边AB上，AD＝2，BD＝4，AC＝2eq\r(3).求证：△ACD∽△ABC.图3－ZT－67．如图3－ZT－7，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E是BC上任意一点，EF⊥AB于点F.求证：AC2＝AD·AF＋CD·EF.图3－ZT－78．如图3－ZT－8，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F.(1)△AEF与△ABE相似吗？说明你的理由．(2)BD2＝AD·FD吗？请说明理由．图3－ZT－8►模型四旋转型9．已知：如图3－ZT－9，△ABD∽△ACE.求证：(1)∠DAE＝∠BAC；(2)△DAE∽△BAC.图3－ZT－910．如图3－ZT－10，已知：在△ABC和△EDC中，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，点A，D在直线CE的同侧，直线AE，BD交于点F.(1)当点B，C，E在同一直线上，且∠BAC＝60°时(如图(a))，则∠AFB＝________°.(2)当点B，C，E不在同一条直线上时(点F不与点A，B重合)，如图(b)或图(c)．①若∠BAC＝α，则在图(b)中，求∠AFB的度数(用含α的式子表示)．②在图(c)中，①中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，则∠AFB等于什么？写出推理过程．图3－ZT－10►模型五一线三等角型11．如图3－ZT－11，等边三角形ABC的边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF＝60°.(1)求证：△BDE∽△CFD；(2)当BD＝1，CF＝3时，求BE的长．图3－ZT－11

详解详析1．[解析]D∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选D.2．解：(1)证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE.∵CD＝BC，∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABE.又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED.(2)∵BC＝4，∴CD＝4.∵△AEB∽△CED，∴eq\f(CE,AE)＝eq\f(CD,AB)，即eq\f(CE,1)＝eq\f(4,2)，∴CE＝2.3．[解析](1)根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中与△CEF相似的三角形；(2)根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．解：(1)△DAF，△BEA，△GFA(2)答案不唯一，选证△DAF∽△CEF.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BE∥AD，∴∠1＝∠E，∠2＝∠D，∴△DAF∽△CEF.4．[解析]利用两角分别相等的三角形相似得到△AED与△ABC相似，由相似得比例式求出AE的长即可．解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,AC).∵AB＝10，AC＝8，AD＝4，∴eq\f(AE,10)＝eq\f(4,8)，∴AE＝5.5．解：(1)由勾股定理，得AB＝eq\r(62＋82)＝10(cm)．(2)当点D在AC上运动时，∠DEB＝∠C＋∠CDE＞90°，∴△BDE不可能是直角三角形．若点D在AB上，如图①，当∠BED＝90°时，△BDE是直角三角形，则BE＝t，AC＋AD＝2t，∴BD＝6＋10－2t＝16－2t.∵∠BED＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，∴eq\f(BE,BC)＝eq\f(BD,AB)，∴eq\f(t,8)＝eq\f(16－2t,10)，解得t＝eq\f(64,13)；如图②，当∠EDB＝90°时，△BDE是直角三角形，则BE＝t，BD＝16－2t.在△BDE和△BCA中，∵∠BDE＝∠C，∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(BD,BC)，∴eq\f(t,10)＝eq\f(16－2t,8)，解得t＝eq\f(40,7).∴当△BDE是直角三角形时，t的值为eq\f(64,13)或eq\f(40,7).6．[解析]首先利用已知得出eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．证明：∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，eq\f(AC,AB)＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB).又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.7．[解析]根据垂直的定义得到∠ACB＝∠ADC＝90°，推出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质得到eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,AC)，即AC2＝AD·AB，由于AB＝AF＋FB，等量代换得AC2＝AD·(AF＋FB)＝AD·AF＋AD·FB.通过△ACD∽△EBF，根据相似三角形的性质得到eq\f(AD,EF)＝eq\f(CD,FB)，于是得到AD·FB＝CD·EF，即可得到结论．证明：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(AD,AC)，∴AC2＝AD·AB.∵AB＝AF＋FB，∴AC2＝AD·(AF＋BF)＝AD·AF＋AD·BF.∵EF⊥AB于点F，∴∠ADC＝∠EFB＝∠ACB＝90°.∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△EBF，∴eq\f(AD,EF)＝eq\f(CD,BF)，∴AD·BF＝CD·EF，∴AC2＝AD·AF＋AD·BF＝AD·AF＋CD·EF.8．[解析](1)△AEF与△ABE相似，首先根据等边三角形的性质，可得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，即可证明△ABD≌△BCE，即可以求得∠AFE＝∠BAD＋∠ABE＝60°＝∠BAE，再根据∠AEF＝∠BEA，即可证明△AEF∽△BEA；(2)易证△ABD∽△BFD，即可得BD2＝AD·DF.解：(1)△AEF与△ABE相似．理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°.在△ABD和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABD＝∠C，,BD＝CE，))∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD＝∠CBE.又∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE＋∠ABE＝60°，∴∠AFE＝∠BAC.在△AEF和△BEA中，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE，∴△AEF∽△BEA.(2)BD2＝AD·DF.理由如下：在△ABD和△BFD中，∵∠BDF＝∠ADB，∠FBD＝∠BAD，∴△ABD∽△BFD，∴eq\f(BD,FD)＝eq\f(AD,BD)，∴BD2＝AD·FD.9．[解析](1)先利用相似三角形的性质得∠BAD＝∠CAE，则∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，从而得到结论；(2)先利用△ABD∽△ACE得到eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)，再利用比例的性质得eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，而∠DAE＝∠BAC，根据相似三角形的判定方法可得到结论．证明：(1)∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC.(2)∵△ABD∽△ACE，∴eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，而∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC.10．解：(1)60(2)①∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，∴∠ACB＝∠ECD，eq\f(BC,DC)＝eq\f(AC,EC)，∴∠BCD＝∠ACE，eq\f(BC,AC)＝eq\f(DC,EC)，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∴∠AFB＝180°－∠CAE－∠BAC－∠ABD＝180°－∠BAC－∠ABC＝∠ACB.∵AB＝AC，∠BAC＝α，∴∠ACB＝90°－eq\f(1,2)α，∴∠AFB＝90°－eq\f(1,2)α.②不成立，∠AFB＝90°＋eq\f(1,2)α.推理过程如下：∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，∴∠ACB＝∠ECD，eq\f(BC,DC)＝eq\f(AC,EC)，∴∠BCD＝∠ACE，eq\f(BC,AC)＝eq\f(DC,EC)，∴△BCD∽△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∴∠BDC＝∠AEC，∴∠AFB＝∠BDC＋∠CDE＋∠DEF＝∠CDE＋∠CED＝180°－∠DCE.∵EC＝ED，∠BAC＝∠CED＝α，∴∠DCE＝90°－eq\f(1,2)α，∴∠AFB＝180°－(90°－e