重难专题17 分式方程的解的问题专项训练（解析版）

专题17分式方程的解的问题专项训练一、单选题1．若分式方程有增根，则a的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【详解】解：已知方程去分母得，解得，由分式方程有增根得，，．故选：D．2．若分式方程有增根，则a的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【详解】解：去分母得：，由分式方程有增根，得到或，把代入整式方程得：，即；把代入整式方程，无解，则的值为，故选：C．3．若关于x的分式方程的解为非负数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】分式方程依次去分母、去括号、移项、合并同类项，求出分式方程的解，再根据分式方程的解是非负数，且分母不能为零，得到关于a的不等式，求解即可得到答案．【详解】解：原分式方程可化为，去括号，可得：，移项，可得：，合并同类项，可得，解得：，根据题意可得：，且，解得：，且．故选：C．4．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是(

)A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】先解关于x的方程得到用m的代数式表达的x的值，再根据原方程的解为正数，列出关于m的不等式组，解此不等式组即可求得m的取值范围．【详解】解：由题意可知解关于x的方程得：，∵关于x的方程的解为正数，∴，解得：且．故选：B．5．关于x的方程的解是负数，则m的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】可解得，由方程的解是负数，可求，可求，即可求解．【详解】解：，，方程的解是负数，，解得：，，，，m的取值范围是且．故选：D．6．若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（

）A．2或3 B．4或5 C．3或5 D．3或4【答案】D【分析】解方程得，，因为分式方程由正整数解，进而可得到整数m的值．【详解】解：原方程为，，可化为整式方程，，解得，经检验，是分式方程的解，∵分式方程有正整数解，∴整数m的值是3或4，故选：D．7．若关于的分式方程有增根，且关于的不等式中有2个整数解，则整数是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】先根据分式方程有增根可求出，从而可得，再根据关于的不等式中有2个整数解可得，由此即可得．【详解】解：，方程两边同乘以，得，解得，∵关于的分式方程有增根，，解得，，∵关于的不等式中有2个整数解，，解得，则整数是3，故选：A．8．关于的分式方程的解为非负整数，且关于的不等式组有解，则满足上述要求的所有整数的值的和为（

）A．5 B．6 C．4 D．8【答案】B【分析】先解分式方程得，根据分式方程有意义条件以及解为非负整数，得出a可取的值，再求分别求解两个不等式，根据不等式组有解得出a的取值范围，最后确定a的值，即可求解．【详解】解：，，，，∵分式方程的解为非负整数，∴，解得：，，由①可得：，由②可得：，∵关于y的不等式组有解，∴，解得：，∴符合条件的整数a有：，∴满足要求的所有整数的值的和．故选：B．9．关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（

）A．0 B．1 C．5 D．6【答案】B【分析】利用关于的一元一次不等式组的解集为，通过解不等式组确定的一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定的一个取值范围，同时满足两个条件的整数解即为答案．【详解】解：由不等式组，解得，∵不等式组的解集是，∴，由分式方程，解得：，且，即，当时，∵分式方程有非负整数解，∴满足条件的所有整数为：，1，3，则符合条件的所有整数a的和是，故选：B．10．若整数a既能使分式方程有整数解，且使一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的整数a的值有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】依据关于的一次函数的图象不经过第二象限，求得的取值范围，依据关于的分式方程有整数解求得的值，即可得到满足条件的整数的个数．【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限，且．．解分式方程得到：且．关于的分式方程有整数解，或或且．解得：．整数的值为：、0共有3个．故选：B．二、填空题11．已知关于x的分式方程的解为，则．【答案】【分析】先把a当做一个已知数，解分式方程，当根据分式为0的条件，进行求解即可．【详解】解：，，，，；∵，∴，，解得：，故答案为：．12．已知不等式的解集为，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为．【答案】且【分析】先根据不等式的解集确定m，再求得方程的解，根据非负性转化为不等式，求解集，注意增根的陷阱．【详解】∵不等式的解集为，又不等式的解集为，∴，解得，∴分式方程变形为，解方程，得，∵分式方程的解为非负数，∴，解得，∵时，分式无意义，∴∴，∴，故a的取值范围是且，故答案为：且．13．若整数既能使关于的不等式组有解，也能使关于的分式方程有整数解，则整数的值为．【答案】【分析】先解一元一次不等式组得到，根据不等式组有解求出的范围，再解分式方程，再由解为整数且，，即可求出的值．【详解】解：解关于的不等式组得：，不等式组有解，，解得：，解关于的分式方程得：，，，，，且，且为整数，且为整数，解得：，或(舍去)，或(舍去)，整数的值为．故答案为：．14．若解分式方程产生增根，则它的增根是，这时．【答案】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．【详解】解：方程两边都乘得原方程有增根，最简公分母，解得，当时，，故的值是，故答案为：；．15．已知关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解是正整数，则整数m的值为．【答案】1或0【分析】根据不等式组无解得到，得到，再结合分式方程的解是正整数，进行求解即可．【详解】解：∵关于x的不等式组无解，∴，∴；∵，解得：，∵分式方程的解是正整数，且且m为整数，∴或或或，∴；∵且，∴．故答案为：1或0.16．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为．【答案】【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式求得m的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且列出不等式，求得m的范围；综上所述，求得m的范围．根据m为整数，求出m的值，最后求和即可．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式组的解集为，∴；分式方程两边都乘以得：，解得：，∵分式方程的解是整数，∴或或或，∵，∴的值为，3，0，，，，a为偶数，∵分式要有意义，∴，即，∴，即，∴符合条件的所有整数m的数有3，0，，，∴符合条件的所有整数的和为．故答案为：．17．已知分式方程的解x满足，m的取值范围．【答案】且【分析】求出分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可．【详解】解：分式方程的解为：，∵分式方程有可能产生增根1或，∴且，∴且，∵分式方程的解x满足，∴，解得：，综上，m的取值范围为：且．18．若关于x的分式方程的解比分式方程的解大2，则a的值为．【答案】【分析】先求出分式方程的解，从而得出分式方程的解为5，再把代入分式方程即可求解．【详解】解：去分母得：去括号得：移项合并同类项得：∵关于x的分式方程的解比分式方程的解大2，∴是式方程的解，∴把代入分式方程得：，，．故答案为：．三、解答题19．已知关于x的分式方程．(1)若分式方程有增根，求a的值；(2)若分式方程无解，求a的值．【答案】(1)；(2)a的值为或2．【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解；（2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解．【详解】（1）解：方程两边同乘得整理可得：∵原方程有增根∴，即或，当时，，故应舍去，当时，，解得，∴时，方程有增根；（2）解：由（1）知：时，原方程无解当，方程无解∴时，原方程无解综上所述，a的值为或2．20．已知关于x的分式方程．(1)当时，求方程的解．(2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．【答案】(1)(2)且【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程即可求解；（2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．【详解】（1）当时，，，去分母得：，解得：，检验：当时，故方程的解为：；（2），，去分母得：，解得：，由分式方程有解且解为非负数，且，即：且，即：且21．阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解．分别为，．应用上面的结论解答下列问题：(1)方程的两个解分别为、，则______，______；(2)方程的两个解中较大的一个为______；(3)关于x的方程的两个解分别为（），求的值．【答案】(1)，2(2)3(3)2【分析】（1）根据材料可得：，，计算出结果；（2）设方程的两个解为a，b，同理得，，解出可得结论；（3）将原方程变形后变为：，未知数变为整体，根据材料中的结论可得：，，代入所求式子可得结论．【详解】（1）解：∵方程的两个解分别为、，∴，，故答案为：，2；（2）解：设方程的两个解为a，b，则，，∴或，∴两个解中较大的一个为3；故答案为：3；（3）解：∵，∴，即，∴或，或，∵，∴，，∴．22．阅读理解：如果a，b是两个不等的非零实数，则有以下两个正确结论：①若，则或．②．应用上面的结论解答下列问题：(1)方程的两个解中较大的一个为；(2)解关于x的方程．首先两边同时加上3，将原方程化为．设的两个解分别为，则，；(3)若关于x的方程的两个解为，求的值．【答案】(1)4(2)2，0(3)﹣32【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；（2）将所求的方程变形为，再由阅读材料可得或，求出方程的解即可；（3）将所求的方程变形为，再由阅读材料可得，整理得，求出，再代入代数式求值即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴或，∴较大的解为4．故答案为4．（2）解：∵，∴或，∴．故答案为：2，0．（3）解：∵，∴，由题意可知：，整理得：，∴，∴．23．对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“易解方程”．例如：可化为，容易检验，是方程的解，∴是“易解方程”：又如可化为，容易检验，是方程的解，∴也是“易解方程”．根据上面的学习解答下列问题：(1)判断是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解，；若不是，说明理由．(2)若，是“易解方程”的两个解，求的值；(3)设n为自然数，若关于x的“易解方程”的两个解分别为，，求的值．【答案】(1)是“易解方程”，，(2)(3)【分析】（1）可化为，根据“易解方程”的定义即可判断；（2）根据“易解方程”的定义可知，，代入即可求解；（3）设，方程可化为，根据“易解方程”的定义求出方程的解，代入即可求解．【详解】（1）解：是“易解方程”，理由：可化为，，∴是“易解方程”．该方程的解为，；（2）解：由题意可得，，故；（3）解：由题意得是“易解方程”，设，方程可化为，易知n和是这个方程的解，∵n为自然数，∴，∴必有，，∴，，∴．24．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．①求G所代表的代数式；②求x的值；(3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整值”(2)①；②(3)或【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果；（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案；（3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可．【详解】（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下：∵，，∴．∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”；（2）解：①∵，，∴∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，∴，∴；②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，∴或，∴（舍去）；（3）解：由题意可得：，∴，∴，∴，整理得：，∵方程无解，∴或方程有增根，解得：，当，方程有增根，∴，解得：，综上：的值为：或．25．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．①求G所代表的代数式；②求x的值；(3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整值”；(2)①；②(3)的值为：或．【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果；（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案；（3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴．∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”；（2）①∵，，∴∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，∴，∴；②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，∴或，∴（舍去）；（3）由题意可得：，∴，∴，∴，整理得：，∵方程无解，∴或方程有增根，解得：，当，方程有增根，∴，解得：，综上：的值为：或．26．已知，关于x的分式方程．(1)当，时，