一模测试卷（临考押题）-2021-2022学年九年级数学上学期期末挑战满分冲刺卷（沪教版）（解析版）

2021-2022学年九年级数学上学期期末（一模）测试卷01一、单选题（每小题4分，共24分）1．在中，，那么锐角的正弦等于（）A． B． C． D．．【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果．【解析】在中，，那么锐角的正弦=，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义．2．下列命题中，说法正确的是（）A．四条边对应成比例的两个四边形相似B．四个内角对应相等的两个四边形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似【答案】D【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．【解析】A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大．3．将抛物线向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用顶点式得到抛物线的顶点坐标为（0，-3），再利用点平移的坐标规律得到点（0，-3）平移后所得对应点的坐标为（2，-3），然后利用顶点式写出平移后得到的抛物线的解析式．【解析】解：∵原抛物线的顶点坐标为（0，-3），∴向右平移2个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（2，-3），∴新抛物线表达式是．故答案为：D．【点睛】本题考查了二次函数的平移；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点，用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数．4．已知、是两个单位向量，向量，，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由、是两个单位向量的方向不确定，从而判定A与B错误；又由平面向量模的知识，即可判定选项C正确，选项D错误．【解析】解：∵、是两个单位向量，方向不一定相同，∴与不一定相等，选项A错误；∵、是两个单位向量，方向不一定相同，∴与不一定相等，选项B错误；∵，，∴，选项C正确，选项D错误；故选：C【点睛】本题考查了单位向量的定义和向量的数量积，注意平面向量的模的求解方法与向量是有方向性的．5．在梯形中，，对角线与相交于点O，下列说法中，错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的性质及等积法可直接进行排除选项．【解析】解：如图所示：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，，，故D正确，∴，∴，故C错误；∵，∴，A正确；∴，即，故B正确；故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等积法是解题的关键．6．如图所示是二次函数图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（）．A． B．抛物线的对称轴为直线C． D．点和在拋物线上，则【答案】B【分析】根据图象分别求出a、c的符号，即可判断A；根据抛物线与x轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x=1，即可判断B；把x=-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C；将x=-2与x=2带入二次函数，可得出y与y的值，即可判断D．【解析】解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∴ac＜0选项A正确；∵由图像可看出，抛物线与x轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称，∴抛物线的对称轴不是x=1选项B错误；把x=-1代入y=ax+bx+c得：y=a-b+c，由图像可知，x=-1时y=0，∴a-b+c=0选项C正确；把x=-2和x=2代入y=ax+bx+c中，由图像可知，y＞0，y＜0，∴y＞y选项D正确；故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a、b、c之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型．二、填空题（每小题4分，共48分）7．若，则＝___．【答案】【分析】根据可化为，然后整理计算即可得解．【解析】解：∵，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记相关性质是解题的关键．8．如果抛物线有最高点，那么的取值范围是________．【答案】【分析】根据二次函数有最高点，得出抛物线开口向下，即k+1＜0，即可得出答案．【解析】解：∵抛物线有最高点，∴抛物线开口向下，∴k+1＜0，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．9．已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．【答案】【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．【解析】解：∵，∴坡角=30°．【点睛】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．10．点是线段上的一点，如果，那么的值是________．【答案】【分析】设AB=1，AP=x，则BP=1-x，代入AP2=BP·AB求出x的值，最后代入即可．【解析】解：设AB=1，AP=x，则BP=1-x，∵AP2=BP·AB∴x2=（1-x）·1，即x2+x-1=0，解得x=或x=（舍）∴．故答案为．【点睛】本题考查了成比例线段，设出合适的未知数、根据比例列式求出未知数成为解答本题的关键．11．如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是___________．【答案】【分析】根据相似三角形的性质，即相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于相似比.【解析】解：∵两三角形相似，且对应边比为2:3，∴相似比k=2:3∴它们对应中线的比为2:3.故答案为：2：3.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应中线的比等于相似比的性质.12．已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图像的对称轴是直线________．【答案】x=5【分析】根据抛物线的对称性可知：点和关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论．【解析】解：∵二次函数图像经过点和，∴该二次函数图像的对称轴是直线x==5故答案为：x=5．【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键．13．如图，在中，，点、分别在边、上，，，与交于点，如果，那么的长等于__________．【答案】【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得点E为斜边AB的中点，推出DE为的中位线，通过可得出最终结果．【解析】解：，点D为BC边的中点，为直角三角形，=3，点E为斜边AB的中点，如图，连接DE，DE为的中位线，则且，，，已知CE=3，CF=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线性质，还涉及中位线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，做出辅助线证明相似求解是解决本题的关键．14．如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么__________．【答案】【分析】由点G是△ABC的重心，可得GE：AG=1：2，则GE：AE=1：3，再GF∥AB，得出结论．【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴GE：AG=1：2，∴GE：AE=1：3，∴GF∥AB，△EGF∽△EAB∴，故答案为．【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．也考查了相似三角形的判定与性质．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，OB=2OD，设，，那么____．（用向量、的式子表示）【答案】【分析】先证明△AOD∽△COB，推出=，求出，由三角形法则得出即可根据求出答案．【解析】∵OB=2OD，∴，∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=，∴，∵,∴=，故答案为：．【点睛】此题考查了平面向量的知识与相似三角形的判定及性质，解题时注意三角形法则的应用．16．如图，矩形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE=2DG，那么DG=______厘米．【答案】【分析】如图，记的交点为设再证明：利用相似三角形的性质可得：再列方程，解方程可得答案．【解析】解：如图，记的交点为设四边形为矩形，故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．17．如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线：向右平移得到新抛物线，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线的表达式为______．【答案】【分析】先求抛物线：向右平移（＞）个单位的函数解析式，再把代入平移后的解析式，求解即可得到答案．【解析】解：抛物线：向右平移（＞）个单位可得：：把代入或或经检验：不合题意，取故答案为：【点睛】本题考查的是抛物线的平移，抛物线上的点的坐标特点，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．18．如图，在中，点在边上，将沿直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于__________．【答案】【分析】由轴对称的性质可得：，，，结合平行四边形的性质，结合，设则，证明，再证明，可得：，求解：，从而可得答案．【解析】解：，，，，，，设则，，，，，，，，，，，，故答案为：【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（第19-22题每小题各10分，第23-24题每小题各12分，第25小题14分，共78分）19．计算：．【答案】【分析】根据=，，求解即可．【解析】解：原式．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．20．如图，已知抛物线与轴于点，且对称轴是直线．（1）求的值与该抛物线顶点的坐标﹔（2）已知点的坐标为，设，用向量表示．【答案】（1）a=2，顶点；（2）【分析】（1）根据对称轴方程可求出a值，即可得出抛物线的解析式，化成二次函数的顶点式即可得顶点坐标；（2）根据二次函数解析式可得出A点坐标，根据B、P两点坐标可得PB//OA，PB=2OA，可用a表示出PB，进而根据可表示出OB．【解析】（1）∵对称轴是直线，∴，解得：a=2，∴抛物线的解析式为=，∴顶点P坐标为（1，4）．（2）∵，∴当x=0时，y=3，∴A（0，3），∴OA=3，∵P（1，4），B（1，-2），∴PB//OA，PB=6，∴PB=2OA，∴，∴．【点睛】本题考查二次函数的性质及平行向量的计算，熟练掌握二次函数的性质及向量的运算法则是解题关键．21．已知在中，，，为边上的中线．（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长；（2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解．【解析】（1）∵，∴∴AB=10∴=；（2）过点F作FG⊥BD，∵为边上的中线．∴F是AD中点∵FG⊥BD，∴∴FG是△ACD的中位线∴FG=3CG=∴在Rt△BFG中，=．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．22．如图，是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆始终在同一平面内)，连杆垂直于底座且长度为厘米，连杆的长度为厘米，连杆的长度可以进行伸缩调整．（1）如图，当连杆在一条直线上，且连杆的长度为厘米,时，求点到底座的高度（计算结果保留一位小数）（2）如图，如果保持不变，转动连杆，使得，假如时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆的长度（计算结果保留一位小数）(参考数据：）【答案】（1）；（2）【分析】（1）过点作，交的延长线于点，先求解再利用求解，从而可得答案；（2）作，垂足分别为，证明：四边形为矩形，求解：，从而可得的长度，再利用，利用锐角三角函数可得答案．【解析】解：（1）过点作，交的延长线于点，到底面高度为；（2）作，垂足分别为，四边形为矩形，，，，，的长度为．【点睛】本题考查的是解直角三角形，矩形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．23．如图，在中，点、分别在边、上，，，与交于点，且．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据题意证明△AFE∽△BFD，即可得到∠FDB=∠AEF，故可求解；（2）根据题意证明△AEF∽△CBA，得到,再得到AB=CD，故可求解．【解析】证明：（1）∵∴∵∠BFD=∠AFE∴△AFE∽△BFD∴∠FDB=∠AEF，∴180°-∠FDB=180°-∠AEF，即（2）∵∴180°-∠ADC-∠C=180°-∠BED-∠C即∠DAC=∠EBC∵BE=CE,∴∠C=∠DAC=∠EBC∵AD=AB，∴∠ADB=∠ABD∵∠ADB=∠C+∠DAC，∠ABD=∠ABE+∠EBC，∴∠ABE=∠DAC=∠C=∠EBC∵∠AEB=∠C+∠EBC∴∠BEA=∠ABE+∠EBC=∠ABC∴△AEF∽△CBA，∴∴∵∠C=∠DAC∴CD=AD∵AB=AD∴AB=CD∴．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及相似三角形的判定定理．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；（3）联结BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）；（3）C（2，3）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，利用平行证明△ADG∽△ABO，列比例式可以计算OG和DG的长，从而得D（1，），最后由平移的性质可得m的值；（3）如图2，作辅助线，构建等腰△ABF，确定点F的坐标，计算BF的解析式，联立抛物线和BF的解析式，方程组的一个解就是点C的坐标．【解析】解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，∴DG∥OB，∴△ADG∽△ABO，∴，∵AD＝3BD，∴AG＝3OG，∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴OG＝1，DG＝，∵D（1，），由平移得：点C的横坐标为1，当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3，∴m＝3﹣＝；（3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限，∴点C在AB的上方，如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E，∴BE∥OA，∴∠BAO＝∠ABE，∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，∴∠FBE＝∠ABE，∵∠BEF＝∠AEB＝90°，∴∠F＝∠BAF，∴AB＝BF，∴AE＝EF＝OB＝2，∴F（4，4），设BF的解析式为：y＝kx+n，则，解得：，∴BF的解析式为：y＝x+2，∴，解得或，∴C（2，3）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，包括二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；解题关键是会利用待定系数法求抛物线和一次函数的解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用数形结合的思想解决数学问题．25．在ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=，点D为边AC的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且BQ=BP，联结PQ、QD、DP．（1）求证：PQ⊥AB；（2）如果点P在线段BC上，当PQD是直角三角形时，求BP的长；（3）将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点，如果点位于ABC内，请直接写出BP的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）；（3）＜BP＜．【分析】（1）由勾股定理得出AB，再根据相似三角形的判定得出△AB