2023年初中数学8年级上册同步压轴题 期中考试压轴题考点训练2（教师版含解析）

期中考试压轴题考点训练(二)1．将长为2、宽为a(a大于1且小于2)的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为()A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.2【答案】B【详解】解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣(2﹣a)＝2a﹣2，①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜时，则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、(2﹣a)﹣(2a﹣2)＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；②2a﹣2＞2﹣a，即a＞时则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、(2a﹣2)﹣(2﹣a)＝3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．故选：B．2．如图是一个正方体，小敏同学经过研究得到如下5个结论，正确的结论有(

)个①用剪刀沿着它的棱剪开这个纸盒，至少要剪7刀，才能展开成平面图形；②用一平面去截这个正方体得到的截面是三角形ABC，则∠ABC=45°；③一只蚂蚁在一个实心正方体木块P点处想沿着表面爬到C点最近的路只有4条；④用一平面去截这个正方体得到的截面可能是八边形；⑤正方体平面展开图有11种不同的图形．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：(1)AB、BC、AC均是相同正方形的对角线，故AB=BC=AC，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°，②错误；(2)用一平面去截n棱柱，截面最多是(n+2)边形，正方体是四棱柱，所以截面最多是六边形，④错误；(3)正方体的展开图只有11种，⑤正确；(4)正方体的11种展开图，六个小正方形均是一连一关系，即必须是5条边相连，正方体有12条棱，所以要剪12-5=7条棱，才能把正方体展开成平面图形，①正确；(5)正方体有六个面，P点属于“前、左、下面”这三个面，所以从P到C，可以走“前+上、前+右、左+上、左+后、下+右、下+后”这六处组合的面，这其中任何一个组合的两个面展开均是相同的长方形，而P到C的最短路线是这个长方形的对角线，这些对角线均相等，故从P到C的最短路线有6条；③错误．综上所述，正确的选项是①⑤，故选B3．如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】D【详解】解：设△PAB的AB边上的高为h∵∴∴h=2表明点P在平行于AB的直线EF上运动，且两平行线间的距离为2，如图所示∴BF=2∵四边形ABCD为矩形∴BC=AD=3，∠ABC=90゜∴FC=BC-BF=3-2=1延长FC到G，使CG=FC=1，连接AG交EF于点H∴BF=FG=2∵EF∥AB∴∠EFG=∠ABC=90゜∴EF是线段BG的垂直平分线∴PG=PB∵PA+PB=PA+PG≥AG∴当点P与点H重合时，PA+PB取得最小值AG在Rt△GBA中，AB=5，BG=2BF=4，由勾股定理得：即PA+PB的最小值为故选：D．4．如图所示，在平面直角坐标系中，A(0，0)，B(2，0)，是等腰直角三角形且，把绕点B顺时针旋转180°，得到，把绕点C顺时针旋转180°，得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为(

)A．(4043，－1) B．(4043，1) C．(2022，－1) D．(2022，1)【答案】A【详解】解：过点P1作P1M⊥x轴于M，∵,，是等腰直角三角形且，P1M⊥x轴，∴AM=BM=，∴AM为的中点，在中，，AM为的中点，∴P1M==1，∴点P1的坐标为(1,1)其中横坐标为：2×1－1,纵坐标为：，同理可得点P2的坐标为(3,-1)其中横坐标为：纵坐标为：，点P3的坐标为(5,1)其中横坐标为：2×3－1,纵坐标为：，点P4的坐标为(7,-1)其中横坐标为：2×4－1,纵坐标为：，∴点Pn的坐标为，∴点的坐标为，即．故选：A．5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是(

)A．180° B．200° C．210° D．240°【答案】A【详解】解：过点作于，如图，是的角平分线，，，，在和中，，，，，．故选：A．6．如图，在四边形中，于，则的长为__________【答案】【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，∵，，∴≌，，，即，，故答案为．7．在等边△ABC中，E是∠B的平分线上一点，∠AEB＝105°，点P在△ABC上，若AE＝EP，则∠AEP的度数为______．【答案】或【详解】解：根据题意作出图形，如图所示，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=30°，∵∠AEB=105°，∴∠BAE=45°．当AE=EP且点P在边AB上时，∴∠EAB=∠APE=45°，∴∠AEP=90°；当且点在边BC上时，连接CE，∵BD垂直平分AC，∴AE=AC=，∴∠EAD=∠ECD=15°，∴∴∴

∴．故答案为：90°或120°．8．如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝_________时，△PDQ的周长最小．【答案】28°【详解】过点D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，过点D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，连接EF，则EF的长为△PDQ的最小值，根据作图知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF，∴DQ＝FQ，PD＝PE，∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ，根据两点之间线段最短，所以EF的长是△PDQ的最小值，此时有：∠FDQ∠DQP，∠MDP∠DPQ，在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝50°，∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°，∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP＝180°﹣40°﹣36°(∠DQP+∠DPQ)＝104°(180°﹣∠PDQ)＝104°﹣90°∠PDQ，解得：∠PDQ＝28°．故当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小．故答案为：28°9．如图，在中，，D、E是内两点．AD平分，，若，则______cm．【答案】10【详解】解；过点E作，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作，垂足为G．，，，，，，．又，，，AD平分，，且．，，，四边形DGFH是矩形．．.故答案为：10.10．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．【答案】52°【详解】解：、分别平分、，，，，，即，，，、分别平分、，，，，，∴，∴，、分别平分、，，，∴，，故答案为：52°．11．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O．(1)求证：．(2)如图1，若∠A=60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系．(3)如图2，∠A=90°，F是ED的中点，连接FO．①求证：BC−BE−CD=2OF．②延长FO交BC于点G，若OF=2，△DEO的面积为10，直接写出OG的长．【答案】(1)见解析(2)BE+CD=BC，(3)①见解析；②【解析】(1)证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−(180°−∠A)=∠A+90°；(2)解：BE+CD=BC．在BC上截取BM=BE，连接OM，如图：∵∠BOC=∠A+90°=120°，∴∠BOE=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO=∠MBO，∴△BOE≌△BOM，∴∠BOE=∠BOM=60°，∴∠MOC=∠DOC=60°，∵OC为∠DCM的角平分线，∴∠DCO=∠MCO，在△DCO与△MCO中，，∴△DCO≌△MCO(ASA)，∴CM=CD，∴BC=BM+CM=BE+CD；(3)①证明：如图，延长OF到点M，使MF=OF，连接EM，∴OM=2OF．∵F是ED的中点，∴EF=DF，∵∠DFO=∠EFM，∴△ODF≌△MEF(SAS)，∴OD=EM．过点O作CE，BD的垂线，分别交BC于点K，H，∴∠OCK+∠OKC=90°．∵∠A=90°，∴∠ACE+∠AEC=90°∵∠ACE=∠OCK，∴∠AEO=∠OKC，∴∠BEO=∠BKO，∴△OBE≌△OBK(AAS)，同理可得△ODC≌△OHC，∴EO=OK，OD=OH=EM，BE=BK，CD=CH．由(1)可知∠DOE=∠BOC=×90°+90°=135°，∴∠BOE=∠COD=45°，∴∠OEM=∠KOH=45°，∴△OME≌△KHO，∴KH=OM，∴KH=2OF．∵BC−BK−CH=KH=2OE，∴BC−BE−CD=KH=2OF；②解：∵△OME≌△KHO，∴∠EOM=∠OKH，∴FG⊥BC．由①可知KH=2OF=4，△ODF≌△MEF，∴S△DEO=S△OME=S△KHO=10，∴KH×OG×=10，∴OG=5．12．如图1，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AC和BC上的动点，BD⊥AE，垂足为F．(1)求证∠CAE=∠ABD；(2)连接DE，满足∠AEB=∠DEC，求证：BD=DE+AE；(3)点G在BD的延长线上，连接EG，满足∠AEB=∠GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)BG=AE+EG，见解析【解析】(1)证明：∵BD⊥AF，∴∠BFA=90°，∵∠CAE+∠BAF=90°，∠ABD+∠BAF=90°∴∠CAE=∠ABD．(2)证明：如图，作CM⊥AD于点C，CM交AE的延长线于点M由①知，∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAM中，，∴△ABD≌△CAM(ASA)∴BD=AM，∵∠AEB=∠CEM，∴∠DEC=∠CEM，又∵∠ACBA=45°∴∠MCE=45°在△EDC和△EMC中，，∴△EDC≌△EMC(ASA)∴EM=ED，∵AM=AE+EM，∴BD=DE+AE．(3)证明：如图，延长AE至点N，作EN=EG，∵∠AEB=∠GEC，∠AEB=∠CEN，∴∠GEC=∠CEN，∴∠BEG=∠BEN，在△BEG和△BEN中，∴△BEG≌△BEN(SAS)，∴BN=BG，∠GBC=∠NBC，∵∠GBC=45°－∠ABD，∴∠ABN=90°－∠ABD，∵∠BAN=90°－∠CAE，且∠ABD=∠CAE，∴∠ABN=∠BAN，∴AN=BN=BG，∵AN=AE+EN=AE+EG∴BG=AE+EG．13．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．(1)求证：；(2)如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．(3)如图3，若点是线段上一点(不与点重合)，连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)OF=OG+OA，理由见解析【详解】解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，∴OA=OC，在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，∴OC=2OD，∴OA=2OD；(2)证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴BG=CG，∴∠GCB=∠GBC，∵CG平分∠BCE，∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，∴∠BGC=150°，∵∠BGF=60°，∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，∴∠BGC=∠FGC，在△CGB和△CGF中，，∴△CGB≌△CGF(ASA)，∴GB=GF；(3)解：OF=OG+OA．理由如下：连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，∵CA=CB，CE⊥AB，∴AE=BE，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，∵OM=OG，∴△OMG是等边三角形，∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，∵∠BGF=60°，∴∠BGF=∠MGO，∴∠MGF=∠OGB，∵∠GMF=120°，∴∠GMF=∠GOB，在△GMF和△GOB中，，∴△GMF≌△GOB(ASA)，∴MF=OB，∴MF=OA，∵OF=OM+MF，∴OF=OG+OA．14．△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上(不与点A、B重合)，以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°．(1)如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；(2)在图1中，连接AE交BC于M，如图2，求的值；(3)如图，3，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，探究线段HE，HG与DG之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析；(2)2；(3)HE=GH+GD，证明见解析【解析】(1)证明：∵△CDE为等腰直角三